20xx專(zhuān)題五：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(含近年高考試題)-文庫(kù)吧
2025-04-01 08:53 本頁(yè)面
【正文】 令F(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋x＋1，F(xiàn)′(x)＝3x2＋2ax＋，令F′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－，∵a0，∴x1x2，由F′(x)0得，x－或x－；由F′(x)0得，－x－.∴單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間為.[針對(duì)訓(xùn)練](2013重慶高考)設(shè)f(x) ＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6)．(1)確定a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．解：(1)因?yàn)閒(x)＝a(x－5)2＋6ln x，故f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－16a＝(6－8a)(x－1)，由點(diǎn)(0,6)在切線上可得6－16a＝8a－6，故a＝.(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.當(dāng)0x2或x3時(shí)，f′(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上為增函數(shù)；當(dāng)2x3時(shí)，f′(x)0，故f(x)在(2,3)上為減函數(shù)．由此可知f(x)在x＝2處取得極大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3處取得極小值f(3)＝2＋6ln 3.考點(diǎn)三：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍[典例] (2014山西診斷)已知函數(shù)f(x)＝ln x－a2x2＋ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解] (1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ln x－x2＋x，其定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝－2x＋1＝－，令f′(x)＝0，即－＝0，解得x＝－或x＝1.∵x0，∴x＝1.當(dāng)0x1時(shí)，f′(x)0；當(dāng)x1時(shí)，f′(x)0.∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減．(2)顯然函數(shù)f(x)＝ln x－a2x2＋ax的定義域?yàn)?0，＋∞)，∴f′(x)＝－2a2x＋a＝＝.①當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝0，∴f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，不合題意．②當(dāng)a0時(shí)，f′(x)≤0(x0)等價(jià)于(2ax＋1)(ax－1)≥0(x0)，即x≥，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.由得a≥1.③當(dāng)a0時(shí)，f′(x)≤0(x0)等價(jià)于(2ax＋1)(ax－1)≥0(x0)，即x≥－，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.由得a≤－.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是∪[1，＋∞)．[針對(duì)訓(xùn)練](2014荊州質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由題意得即(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a0)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)0，當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)0，當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)．(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依題意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋20成立，即x∈(－2，－1)時(shí)，amax＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)“x＝”即x＝－時(shí)等號(hào)成立，所以滿(mǎn)足要求的a的取值范圍是(－∞，－2)． 考點(diǎn)四：用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題[典例] (2013福建高考節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝x－1＋(a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線平行于x軸，求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值．[解] (1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.又曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處
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