【正文】 制系統(tǒng)的基本要求 ①穩(wěn)定性 穩(wěn)定性是保證系統(tǒng)能正常工作的先決條件，任何系統(tǒng)只有在穩(wěn)定的情況下才有可能正常工作。 系統(tǒng)的穩(wěn)定是有域 度的，也稱為穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度越大，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越深，系統(tǒng)抗干擾的能力就越強(qiáng)。 ②穩(wěn)態(tài)性 理論上講控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能是指 時(shí)系統(tǒng)的性能。但通常地是將系統(tǒng)引到一個(gè)穩(wěn)定的工作狀態(tài)時(shí)的性能稱為穩(wěn)態(tài)性。通常它由穩(wěn)態(tài)精度來描述和刻劃，亦稱為穩(wěn)態(tài)誤差。這里誤差是指希望輸出與實(shí)際輸出的差別。 ③動(dòng)態(tài)性 動(dòng)態(tài)性能是指系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變化到另一個(gè)狀態(tài)，即過渡過程的性能。過渡過程的性能主要由快速性能和振蕩性能來描述。一般的對(duì)控制系統(tǒng)來說，快速性是越快越好，振蕩性是越小越好，有的系統(tǒng)不允許有振蕩。 如：火炮系統(tǒng)的快速性很重要 車床的給進(jìn)系統(tǒng)不允許有振蕩 控制系統(tǒng)示例 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 本章主要內(nèi)容： 引言 微分方程模型 傳遞函數(shù)模型 脈沖響應(yīng)模型 方框圖模型 信號(hào)流圖模型 頻域特性模型 數(shù)學(xué)模型的實(shí)驗(yàn)測(cè)定方法（辨識(shí)） 引言 主要解決的問題： 什么是數(shù)學(xué)模型 為什么要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本要求 什么是數(shù)學(xué)模型 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形表達(dá)式或數(shù)字表達(dá)式。 亦：描述能系統(tǒng)性能的數(shù)學(xué)表達(dá)式（或數(shù)字、圖像表達(dá)式） 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型按系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性分為：靜態(tài)模型 動(dòng)態(tài)模型 靜態(tài)模型：在穩(wěn)態(tài)時(shí)（系統(tǒng)達(dá)到一平衡狀態(tài)）描述系統(tǒng)各變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。 動(dòng)態(tài)模型：在動(dòng)態(tài)過程中描述系統(tǒng)各變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。 關(guān)系：靜態(tài)模型是 t 時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型。 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以有多種形式，建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法可以不同，不同的模型形式適用于不同的分析方法。 為什么要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是由具體的物理問題、工程問題從定性的認(rèn)識(shí)上升到定量的精確認(rèn)識(shí)的關(guān)鍵?。ㄟ@一點(diǎn)非常重要，數(shù)學(xué)的意義就在于此） 一方面，數(shù)學(xué)自身的理論是嚴(yán)密精確和較完善的，在工程問題的分析和設(shè)計(jì)中總是希望借助于這些成熟的理論。事實(shí)上凡是與數(shù)學(xué)關(guān)系密切的學(xué)科發(fā)展也是快的，因?yàn)樗袊?yán)謹(jǐn)和完整的理論支持；另一方面，數(shù)學(xué)本身也只有給它提供實(shí)際應(yīng)用的場(chǎng)合 ，它才具有生命力?！?1”本身是沒有意義的，只有給它賦予了單位（物理單位）才有意義。 建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法很多，主要有兩類：機(jī)理建模 白箱 實(shí)驗(yàn)建模（數(shù)據(jù)建模） 黑箱或灰箱 系統(tǒng)辨識(shí) 對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本要求 亦：什么樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式能用于一個(gè)工程系統(tǒng)的描述。 理論上，沒有一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式能夠準(zhǔn)確（絕對(duì)準(zhǔn)確 ）地描述一個(gè)系統(tǒng)，因?yàn)?，理論上任何一個(gè)系統(tǒng)都是非線性的、時(shí)變的和分布參數(shù)的，都存在隨機(jī)因素，系統(tǒng)越復(fù)雜，情況也越復(fù)雜。 而實(shí)際工程中，為了簡(jiǎn)化問題，常常對(duì)一些對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程影響不大的因素忽略，抓住主要問題進(jìn)行建模，進(jìn)行定量分析，也就是說建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該在模型的準(zhǔn)確度和復(fù)雜度上進(jìn)行折中的考慮。因此在具體的系統(tǒng)建模時(shí)往往考慮以下因素： ? 模型類型（與物理性能、分析、設(shè)計(jì)方法有關(guān)） ? 系統(tǒng)允許的誤差條件（在允許的條件下盡可能取簡(jiǎn)單的模型形式） 微分方程模型（亦 :時(shí)間域模型） 根 據(jù)系統(tǒng)物理機(jī)理建立系統(tǒng)微分方程模型的基本步驟： （ 1）確定系統(tǒng)中各元件的輸入輸出物理量； （ 2）根據(jù)物理定律或化學(xué)定律（機(jī)理），列出元件的原始方程，在條件允許的情況下忽略次要因素，適當(dāng)簡(jiǎn)化； （ 3）列出原始方程中中間變量與其他因素的關(guān)系； （ 4）消去中間變量，按模型要求整理出最后形式。 例 1：機(jī)械位移系統(tǒng)如圖，建立 ～ 間的微分方程關(guān)系式。 質(zhì)量 彈簧 阻尼器系統(tǒng) 分析： 輸入： 力 輸出： m的位移 m 的受力分析 對(duì)于 m，由牛頓定律 ，有 （ 2）彈簧力 －彈簧系數(shù) 與位移成正比 阻尼器力 －阻尼系數(shù) 與位移的變化量成正比 由上面兩式有 整理 注意： ? 習(xí)慣上將系統(tǒng)（元件）的輸出及輸出的各階導(dǎo)數(shù)放在等式的左邊，輸入及輸入的各階導(dǎo)數(shù)放在等式 的右邊； ? 由于系統(tǒng)總是存在著儲(chǔ)能元件，一般地，等式左邊的階次高于右邊的階次； ? 上式中左邊輸出的最高階次為二，稱該系統(tǒng)為二階系統(tǒng)。 例 2： RLC 電路如圖，建立輸入輸出間的微分方程關(guān)系式。 由基爾霍夫定律 電流 與 的關(guān)系 有 注意：該系統(tǒng)也是一個(gè)二階系統(tǒng) 與例 1 相比，它們具有相同的模型形式。當(dāng) 與 在數(shù)值上具有一定關(guān)系時(shí)，上述二個(gè)微分方程具有完全相同的形式。也就是說，在數(shù)學(xué)上 ～ ， ～ 具有相同的關(guān)系（靜、動(dòng)態(tài)關(guān)系），由此可見利用數(shù)學(xué)模型研究控制系統(tǒng)的重要性、方便性。另外，用電氣系統(tǒng)模擬機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究也是工程中的常用方法，就系統(tǒng)理論而言，可以撇開系統(tǒng)的具體屬性進(jìn)行普遍意義的分析和研究。 例 3：電樞控制的直流電動(dòng)機(jī) 特性：電動(dòng)機(jī)是將電能（電信號(hào)）轉(zhuǎn)變成機(jī)械能（機(jī)械信號(hào)）的一種物理器件，即輸入量是電，輸出量是機(jī)械量。直流電動(dòng)機(jī)是指輸入的電是直流電（不是交流電），電樞控制是指該 種電動(dòng)機(jī)是以電樞電壓的改變來改變電動(dòng)機(jī)的機(jī)械輸出（電動(dòng)機(jī)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度或轉(zhuǎn)速）。 電動(dòng)機(jī)中物理量的轉(zhuǎn)換 電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)的符號(hào) 電動(dòng)機(jī)能將電能轉(zhuǎn)變成機(jī)械能的基本原理是根據(jù)馬科斯威爾的電磁理論。（即電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的力矩正比與磁通量Φ和角速度ω乘積的電壓）即在磁場(chǎng)中電流的流動(dòng)能產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的方向由左手定則判定，電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)的符號(hào)如上圖。 直流伺服機(jī)的調(diào)節(jié)特性 不同電樞電壓對(duì)應(yīng)的機(jī)械特性 不同負(fù)載時(shí)直流伺服機(jī) 初始電壓（壓區(qū)電壓）， T：電磁轉(zhuǎn)矩 T 增大， n 減?。? 的調(diào)節(jié)特性 時(shí)電磁轉(zhuǎn)矩少于 Td： 堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩（ n=0）； Ts：負(fù)載轉(zhuǎn)矩 軸上的阻轉(zhuǎn)矩，電機(jī)不轉(zhuǎn)。 n0：空載轉(zhuǎn)速（ T＝ 0）。 電機(jī)在控制系統(tǒng)中是常用的執(zhí)行元件。為了求該元件的數(shù)學(xué)模型更進(jìn)一步地將電動(dòng)機(jī)（電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)）畫為如圖的形式： 永磁式 激磁式 其中： ：電樞回路總電感（亨） ：電樞回路總電阻（歐） ：電樞反電勢(shì)（電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的反電勢(shì)）（伏） ：電動(dòng)機(jī)角速度（弧度 /秒） ：電樞電壓（伏） ：電樞電流（安） ：電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 (公斤米秒 ) ：電動(dòng) 機(jī)和負(fù)載折合到電機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù) (公斤米秒 ) (1)電樞回路方程由基爾霍夫定律： 其中 （ －反電勢(shì)系數(shù)，由電機(jī)決定，常數(shù)（伏 /秒）） （ 2）電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程式： 其中 （公斤米）：電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩， （公斤米）：總負(fù)載轉(zhuǎn)矩（電機(jī)軸上） （ 3）電磁轉(zhuǎn)矩方程： 其中： （公斤米 /安）：電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)，由電機(jī)決定，常數(shù) 將 作為輸出， 作為輸入， 視為外作用，整理有： 工程中，通常電樞電感非常小，可忽略不計(jì)，即 有： 記 （ －電機(jī)時(shí)常數(shù)， －電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)系數(shù)） 若電機(jī)不帶負(fù) 載，則上式中 只是電機(jī)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和粘性摩擦系數(shù)。 則 （一階系統(tǒng)） 當(dāng)輸出是角度時(shí)，即 有 （二階系統(tǒng)） 例 4：直流測(cè)速發(fā)電機(jī) 發(fā)電機(jī)的功能和電動(dòng)機(jī) 正好相反，它是將機(jī)械能轉(zhuǎn)換成電能的一種元件，其機(jī)理是在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)線能產(chǎn)生電流，直流測(cè)速機(jī)指的是產(chǎn)生的是直流電信號(hào)。 直流測(cè)速機(jī)的示意圖 其中：測(cè)速機(jī)軸上角速度 ， 負(fù)載電阻 （復(fù)雜時(shí)可以是阻抗）， 電樞回路電流 激磁電流 （常數(shù)，產(chǎn)生磁場(chǎng)） 電樞電阻 電樞電感 （不計(jì)） 感應(yīng)電勢(shì) 磁通 （韋伯，常量） 電勢(shì)系數(shù) （常量） 有： 有： 若無負(fù)載（開路） 電機(jī)的輸出電壓 與軸上的角速度 成正比。 例 5：圖示控制系統(tǒng)（一個(gè)速度控制系統(tǒng)） 建立一個(gè)復(fù)雜的控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，重要是分析構(gòu)成系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)，以及環(huán)節(jié)間的偶合（有無負(fù)載效應(yīng)），在無負(fù)載效應(yīng)的情況下，先列寫各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型，最后整理得系統(tǒng)得數(shù)學(xué)模型，對(duì)于該系統(tǒng)，構(gòu)成系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)如上圖所示，各環(huán)節(jié)得數(shù)學(xué)模型為： （ 1）運(yùn)算放大器Ⅰ （ －希望輸出信號(hào)， －實(shí)際輸出信號(hào)， ， －誤差信號(hào)） 該環(huán)節(jié)兼有放大和比較二個(gè)功能。 （ 2）運(yùn)算放大器Ⅱ 微分網(wǎng)絡(luò) 放大器 ( －微分時(shí)常數(shù) ) （ 3）功率放大器 （ 4）直流電動(dòng)機(jī) （直接用例 3 的結(jié)論） 均是考慮負(fù)載值折合到電機(jī)軸上的值。 （ 5）設(shè)齒輪系的速比為 ，則 減 速后的 為 （ 6）測(cè)速電機(jī) 直接用例 4的結(jié)果 由（ 1）～（ 6）消去中間變量整理得： 其中： , , 上面的例子均是線性系統(tǒng)的線性模型，其特點(diǎn)是可以應(yīng)用迭加原理（即具有可迭加性和齊次性）。 設(shè) 若 時(shí) 時(shí) 則 當(dāng) 時(shí) 若 時(shí) 則 當(dāng) 時(shí) 由此，對(duì)于線性系統(tǒng)在多個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)的情況，可以 將它們分別分析，再將其輸出迭加，也可以利用齊次性去求取對(duì)輸入信號(hào)放大時(shí)的系統(tǒng)的輸出。 非線性微分方程的線性化 嚴(yán)格地說，實(shí)際物理元件或系統(tǒng)都是非線性的 如：彈簧的剛度與其形變有關(guān)，彈性系數(shù) K 與位移 x有關(guān)，且非常值； 電阻、電容、電感等值也與周圍環(huán)境及經(jīng)過它們的電流有關(guān)； 電動(dòng)機(jī)本身的摩擦、死區(qū)等非線性因素也存在。 常用兩種處理方法： 忽略不計(jì) 取常值 切線法或小偏差法 切線法或小偏差法特別適用于具有連續(xù)變化的非線性特性函數(shù)，其本質(zhì)是在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來代替。數(shù)學(xué)上的處理是取其泰勒展開式的線性項(xiàng)。 設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù) 取平衡狀態(tài) A 為工作點(diǎn)，對(duì)應(yīng)，當(dāng) 有 ，設(shè) 在（ ）點(diǎn)連續(xù)可微 ,則在（ ）點(diǎn)附近的泰勒級(jí)數(shù)展開式為： ?? 當(dāng)增量（ ）很小時(shí)，略去高次冪項(xiàng)，則有： 記 （ ） 略去增量符號(hào) ，便得函數(shù)在 A點(diǎn)附近的線性化方程 （ 是比例系數(shù)，它是 在 A 點(diǎn)處的斜率） 對(duì)于有兩個(gè)自變量 的非線性函數(shù) ，同樣可在某工作點(diǎn)（ ）附近用泰勒級(jí)數(shù)展開，取 其線性項(xiàng)，去掉高次（二階以上）項(xiàng)： 其增量形式 這種小偏差線性化方法對(duì)于控制系統(tǒng)中大多數(shù)連續(xù)工作狀態(tài)是可行的。 在線性化處理時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： （ 1）線性化方程中的參數(shù)（如上面的 ）與選擇的工作點(diǎn)有關(guān)，工作點(diǎn)不同相應(yīng)的參數(shù)也不同。因此處理時(shí)，首先應(yīng)確定工作點(diǎn)。 （ 2）當(dāng)輸入量變化較大時(shí)，用上述方法處理誤差較大，注意小范圍內(nèi)。 （ 3）如系統(tǒng)在工作點(diǎn)處的非線性性是不連續(xù)的，其泰勒級(jí)數(shù)不收斂，這時(shí)上述方法不能用，這種非線性稱為本質(zhì)非線性。 非線性 本質(zhì)非線性 不能進(jìn)行線性化處理 非本質(zhì)非線性 在一定條件下可線性化處理 傳遞函數(shù)模型 傳遞函數(shù)的概念 傳遞函數(shù)的性質(zhì) 傳遞函數(shù)的列寫 定義 線性定常系 統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。 三要素：線性定常系統(tǒng) 零初始條件 輸出與輸入的拉氏變換之比（復(fù)域模型） 形式上記為：