數(shù)學二次函數(shù)中絕對值問題的求解策略-文庫吧
2025-03-20 04:23 本頁面
【正文】 打開局面的有利條件，可謂“高招”！六、雞尾酒療法，相是益彰好每一種解法都不是萬能的，如果把各種解題方法靈活地相互結(jié)合、滲透，那么不但能解決實際問題，而且思路開闊，有利于培養(yǎng)創(chuàng)造能力、提升數(shù)學品質(zhì)。例8 函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0），對一切，都有f(x)≤1，求證：對一切，都有f(x)≤7.分析 函數(shù)y=|ax2+bx+c| (a≠0)在區(qū)間[p,q]上的最大值，由圖象易知只能在x=p或x=q或處取得，于是由題意只需證明|f(－2)|≤7且|f(2)|≤7且由已知|f(－1)|=|a+b－c|,|f(1)|=|a+b+c|,|f(0)|=|c|,|f(－2)|=|4a－2b+c|=|3f(－1)+f(1)－3f(0)|≤3|f(－1)|+|f(1)+3|f(0)|=31+1+31=7同理|f(2)|≤7.若,則由以上可知命題已證。若，則∵|c|≤1,又因此，對一切,都有|f(x)|≤7.例9 （1998年“希望杯”高三賽題）若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，對一切x[0,1],恒有|f(x)|≤1.（1）對所有這樣的f(x)，求|a|+|b|+|c|可能的最大值；（2）試給出一個這樣的f(x)，使|a|+|b|+|c|確實取到上述最大值。解（1）由解得所以故|a|+|b|+|c|可能最大值為17.（2）取a=8,b=－8，c=1，則f(x)=8x2－8x+1f(x)在[0,1]上確實有|f(x)|≤1，且|a|+|b|+|c|=17.解題思維訓練是鞏固所學知識的重要環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)優(yōu)良教學素養(yǎng)的有效手段，在學習中應(yīng)當有意識地培養(yǎng)思維的“方向感”和思路的“歸屬感”，促進數(shù)學思維空間的拓展，也有助于思維品質(zhì)的提升。 例談二次函數(shù)區(qū)間最值的求解策略如何求解二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，是一個綜合性較強的問題，影響二次函數(shù)在某區(qū)間上最值的是區(qū)間和對稱的位置。本文就區(qū)間和對稱軸動與靜的變化進行分類，探索求最值的方法。一、定區(qū)間與定軸區(qū)間和對稱軸都確定時，則將函數(shù)式配方，再根據(jù)對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求最值。例1 已知，求f(x)最值。分析 這2002年上海高考題的一個變式題，對f(x)配方，得，其圖象開口向上，對稱軸故二、定區(qū)間與動軸區(qū)間確定而對稱軸變化時，應(yīng)根據(jù)對稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)和穿過區(qū)間這三種情況分別討論，再利用二次函數(shù)的示意圖，結(jié)合單調(diào)性求解。例2 已知當時，f(x)最大值為1，求m值。分析 f(x)的圖象開口向下，對稱軸為x=m。（1）當m0時，f(x)在[0，1]上遞減，由m－1=1，得m=2這與m0矛盾。（2）當0≤m≤1時，由m2+m－1=1，得m=1，這與m1矛盾?；騧=2 ,m=2與0≤m≤1矛盾。綜上可知m=1。三、動區(qū)間和定軸對稱軸確定而區(qū)間在變化時，只需對動區(qū)間能否包含拋物線的頂點的橫坐標進行分類討論。例3 已知函數(shù)且b0，若求b。分析 這是1990年全國高考題的一道壓軸題中半部分的代數(shù)求值問題。將表達式配方，得由于x[－b,b]，對稱軸,所以應(yīng)對及分類討論。（1）若，即時，f(x)在[－b,b]上遞減，當x=－b時，由f(x)max=7，得，與矛盾。（2）若，即b≥，則對稱穿過區(qū)間[－b，b]，那么當時，由f(x)max=7，得b2=1,又0，∴b=1。綜上可知b=1.四、動區(qū)間與動軸當區(qū)間和對稱軸均在變化時，亦可根據(jù)對稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)及穿過區(qū)間三種情況討論，并結(jié)合圖形和單調(diào)性處理。例4 已知f(x)=－x2+(a－1)x+a,x[1,a]的最大值為100，求a值。分析 由x[1,a]，可知a1，f(x)圖象開口向下，對稱軸為（1）當,即1a≤3時，f(x)max=f(1)=2a－2.由2a－2=100,得a=51這與1a
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