【正文】 、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)，偶數(shù)位與奇數(shù)位的差99從后往前，兩位一段，各段之和是99的倍數(shù)，此數(shù)是99的倍數(shù)整除性質(zhì)① 如果c|a、c|b，那么c|(ab)。② 如果bc|a，那么b|a，c|a。③ 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。④ 如果c|b,b|a,那么c|a.⑤ a個連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個數(shù)能被a整除。⑥ 6672□□這樣的用試除法；⑦ ()k 247。（K1），若（a+b+c）10 = (K1)10(n)10，則可整除，反之，余 =（余）10；帶余除法=一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0）,那么一定有另外兩個整數(shù)q和r，0≤r＜b,使得a=bq+r當(dāng)r=0時，我們稱a能被b整除。當(dāng)r≠0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為a247。b=q……r, 0≤r＜b a=bq+r6. 唯一分解定理任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1 p2...pk約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1 p2...pk那么：n的約數(shù)個數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) 證明：關(guān)鍵是乘法原理n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk）約數(shù)積：約數(shù)是成對出現(xiàn)的例：12的約數(shù)積，1X12=12，3X4=12， 2X6=12 123兩數(shù)的約數(shù)也是兩數(shù)差的約數(shù)； （a,b）是a,b。 ab。 a+b。 [a,b]的約數(shù)；同余定理① 同余定義：若兩個整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a，b對于模m同余，用式子表示為a≡b(mod m) ②若兩個數(shù)a，b除以同一個數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。③兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)和。④兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)差。⑤兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)積。 余數(shù)相同：減同余補數(shù)相同：加同補10．棄九法 （1）自然數(shù)N和它的數(shù)字和除以9同余； （2）在其他進制里同理：如7進制里，數(shù)N和它的各個數(shù)字和除以6同余 證明：位值法11．完全平方數(shù)性質(zhì)①平方差： AB=（A+B）（AB），其中我們還得注意A+B， AB同奇偶性。②約數(shù)：約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個的是完全平方數(shù)。 約數(shù)個數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。③質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。④平方和。 322 = 1024 是第一個四位數(shù) 992 = 9801 四位數(shù)里最大的四位數(shù) 332 = 四位數(shù)里第1個奇數(shù)⑥ 一個完全平方數(shù)的個位數(shù)的個位數(shù)字一定是0,1,4,5,6,9⑦ 完全平方數(shù)除以4的性質(zhì)最重要，偶數(shù)除以4余0，奇數(shù)除以4余1，除以4余3一定不是完全平方數(shù)；12．孫子定理（中國剩余定理）見下13．余數(shù)應(yīng)用 求某數(shù)、某式的末一位、二位、三位……是幾？ （1）末一位，相當(dāng)于求除10 = 25 末二位，相當(dāng)于求除100 = 425 末三位，相當(dāng)于求除1000 = 8125 （2）以大化小 （3）找余數(shù)1：費馬小定理： 如a247。p = …… (p1)、P為質(zhì)數(shù)； 則a2247。p = ……1 如(1) p 是質(zhì)數(shù)，且a和p互質(zhì) 則：則ap1247。p = ……1 14．輾轉(zhuǎn)相除法根本在于輾轉(zhuǎn)相減例：求2010 2948 的最大公約數(shù) 29482010 = 938 2010938 = 1072 1072938 = 134 938134 = 804 804134 = 670 。 134134 = 0 所以最大公約數(shù)是134。15. 質(zhì)數(shù)（1）質(zhì)數(shù)有無窮個，質(zhì)數(shù)的分布有漸稀性，（2）特別注意：質(zhì)數(shù)中2是唯一偶數(shù)（奇偶性）；5（唯一一個末尾是5的質(zhì)數(shù)）； 3兩次余數(shù)，（3）如果兩個數(shù)互質(zhì)，這兩個數(shù)的和與其中任意一個數(shù)互質(zhì)，差也是；100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：101010109，4位最小的質(zhì)數(shù)：1009 1003=17X591007=19X53（4）判斷質(zhì)數(shù)的方法（5）制造連續(xù)合數(shù)（16．求最大公因數(shù)，最小共倍數(shù) （1）分解質(zhì)因數(shù) （2）短除法 （3）分數(shù)：分子求正面，分母求相反； （4）ab = (a,b)[a,b]17．?dāng)?shù)論解題的常用方法枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對、估計中國古代求解一次同余式組（見同余）的方法。是數(shù)論中一個重要定理。又稱中國剩余定理。 　　公元前后的《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二 ，五五數(shù)之余 三 ，七七數(shù)之余二，問物幾何？”答為“23”。也就是求同余式組x≡2 （mod3），x≡3 （mod5 ），x≡2 （mod7）（式中a≡b （modm）表示m整除a－b ）的正整數(shù)解。明朝程大位用歌謠給出了該題的解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓月正半，除百零五便得知。”即解為x≡270＋321＋215≡233≡23(mod105）。此定理的一般形式是設(shè)m = m1 ，… ，mk 為兩兩互素的正整數(shù)，m＝m1，…mk ，m＝miMi，i＝1，2，… ，k 。則同余式組x≡b1(modm1)，…，x≡bk(modmk)的解為x≡M39。1M1b1＋…＋M39。kMkbk （modm）。式中M39。iMi≡1 （modmi），i＝1，2，…，k 。直至18世紀 。孫子定理對近代數(shù)學(xué)如環(huán)論，賦值論都有重要影響。 　　解法中的三個關(guān)鍵數(shù)70，21，15，有何妙用，有何性質(zhì)呢?首先70是3除余1而5與7都除得盡的數(shù)，所以70a是3除余a,而5與7都除得盡的數(shù)，21是5除余1，而3與7都除得盡的數(shù)，所以21b是5除余b，而3與7除得盡的數(shù)。同理，15c是7除余c，3與5除得盡的數(shù)，總加起來 70a+21b+15c 是3除余a，5除余b ，7除余c的數(shù)，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，這數(shù)加減105(105=3*5*7)仍有這樣性質(zhì)，可以多次減去105而得到最小的正數(shù)解。 　　附：如70，其實是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。 　　孫子問題的解法，以現(xiàn)代的說法，是找出三個關(guān)鍵數(shù)70，21，15。解法的意思就是用70乘3除所得的余數(shù)，21乘5除所得的余數(shù)，15乘7除所得的余數(shù)，然后總加起來，除以105的余數(shù)就是答案。 　　即題目的答案為 702+213+152 　　=140+63+30 　　=233 　　2332105=23 　　公式：70a+21b+15c105n 　?。ㄖ袊Ｓ喽ɡ鞢RT）設(shè)m1,m2,...,mk是兩兩互素的正整數(shù)，即gcd(mi, mj) =1, i≠j, i,j = 1,2,...,k 　　則同余方程組： 　　x≡b1 mod m1 　　x≡b2 mod m2 　　... 　　x≡bk mod mk 　　模[m1,m2,...,mk]有唯一解，即在[m1,m2,...,mk]的意義下，存在唯一的x,滿足： 　　x≡bi mod [m1,m2,...,mk], i = 1,2,...,k 　　中國剩余定理”算理及其應(yīng)用： 　　為什么這樣解呢？因為70是5和7的公倍數(shù)，且除以3余1。21是3和7的公倍數(shù)，且除以5余1。15是3和5的公倍數(shù)，且除以7余1。（任何一個一次同余式組，只要根據(jù)這個規(guī)律求出那幾個關(guān)鍵數(shù)字，那么這個一次同余式組就不難解出了。）把70、215這三個數(shù)分別乘以它們的余數(shù)，再把三個積加起來是233，符合題意，但不是最小，而105又是7的最小公倍數(shù)，去掉105的倍數(shù)，剩下的差就是最小的一個答案。用歌訣解題容易記憶，但有它的局限性，只能限于用7三個數(shù)去除，用其它的數(shù)去除就不行了。后來我國數(shù)學(xué)家又研究了這個問題，運用了像上面分析的方法那樣進行解答。例1：一個數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個數(shù)最小是幾？題中5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。則〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。為了使20被3除余1，用202=40；使15被4除余1，用153=45；使12被5除余1，用123=36。然后，401＋452＋364=274，因為，27460，所以，274－604=34，就是所求的數(shù)。例2：一個數(shù)被3除余2，被7除余4，被8除余5，這個數(shù)最小是幾？題中8三個數(shù)兩兩互質(zhì)。則〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。為了使56被3除余1，用562=112；使24被7除余1，用245=120。使21被8除余1，用215=105；然后，1122＋1204＋1055=1229，因為，1229168，所以，1229－1687=53，就是所求的數(shù)。例3：一個數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小的自然數(shù)。題中11三個數(shù)兩兩互質(zhì)。則〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。為了使88被5除余1，用882=176；使55被8除余1，用557=385；使40被11除余1，用408=320。然后，1764＋3853＋3202=2499，因為，2499440，所以，2499－4405=299，就是所求的數(shù)。 　　例4：有一個年級的同學(xué)，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，問這個年級至少有多少人 ？（幸福123老師問的題目）題中5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。為了使35被9除余1，用358=280；使45被7除余1，用455=225；使63被5除余1，用632=126。然后，2805＋2251＋1262=1877，因為，1877315，所以，1877－3155=302，就是所求的數(shù)。 　　例5：有一個年級的同學(xué)，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，問這個年級至少有多少人 ？ 題中5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。為了使35被9除余1，用358=280；使45被7除余1，用455=225；使63被5除余1，用632=126。然后，2806＋2252＋1263=2508，因為，2508315，所以，2508－3157=303，就是所求的數(shù)。（例5與例4的除數(shù)相同，那么各個余數(shù)要乘的“數(shù)”也分別相同，所不同的就是最后兩步。） 關(guān)于“中國剩余定理”類型題目的另外解法“中國剩余定理”解的題目其實就是“余數(shù)問題”，這種題目，也可以用倍數(shù)和余數(shù)的方法解決。不懂論壇上有沒人發(fā)過。小學(xué)奧賽考試時學(xué)習(xí)過，也用過，現(xiàn)在把方法寫出來，如果懂的也別笑我，呵呵。例一，一個數(shù)被5除余2，被6除少2，被7除少3，這個數(shù)最小是多少？解法：題目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 ?？吹侥莻€“被6除余4，被7除余4”了么，有同余數(shù)的話，只要求出6和7的最小公倍數(shù)，再加上4，就是滿足后面條件的數(shù)了，6X7＋4＝46。下面一步試下46能不