【正文】 ??iniinnn BCB ?????0)1()1( )!(! ! ini nC in ??用延遲算子表示差分運(yùn)算 ? 階差分 ? 步差分 pkitpiipptptp xCxBx??? ?????0)1()1(tkkttk xBxx )1( ????? ?線性差分方程 ? 線性差分方程 ? 齊次線性差分方程 )(2211 thzazazaz ptpttt ????? ??? ?02211 ????? ??? ptpttt zazazaz ?齊次線性差分方程的解 ? 特征方程 ? 特征方程的根稱為特征根，記作 ? 齊次線性差分方程的通解 ? 不相等實(shí)數(shù)根場(chǎng)合 ? 有相等實(shí)根場(chǎng)合 ? 復(fù)根場(chǎng)合 02211 ????? ?? pppp aaa ????p??? , 21 ?tppttt cccz ??? ???? ?2211t pptddtddt cctctccz ??? ??????? ??? ?? 111121 )(tpptitittt ccececrz ???? ????? ? ?3321 )(非齊次線性差分方程的解 ? 非齊次線性差分方程的 特解 ? 使得非齊次線性差分方程成立的任意一個(gè)解 ? 非齊次線性差分方程的通解 ? 齊次線性差分方程的通解和非齊次線性差分方程的特解之和 ttt zzz ?????tz?)(2211 thzazazaz ptpttt ????????????? ??? ?tz ARMA模型的性質(zhì) ? AR模型（ Auto Regression Model） ? MA模型（ Moving Average Model） ? ARMA模型（ Auto Regression Moving Average model） AR模型 的定義 ? 具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為 階自回歸模型，簡(jiǎn)記為 ? 特別當(dāng) 時(shí)，稱為中心化 模型 ????????????????????????tsExtsEV a rExxxxtsstttptptpttt,0,0)(,)(0)(0222110?????????????，?p)( pAR00 ?? )( pAR AR(P)序列中心化變換 ? 稱 為 的中心化序列 ，令 p?????????101??? tt xy}{ ty }{ tx自回歸系數(shù)多項(xiàng)式 ? 引進(jìn)延遲算子，中心化 模型又可以簡(jiǎn)記為 ? 自回歸系數(shù)多項(xiàng)式 )( pARttxB ??? )(pp BBBB ??? ?????? ?2211)(AR模型平穩(wěn)性判別 ? 判別原因 ? AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的 AR模型都是平穩(wěn)的 ? 判別方法 ? 單位根判別法 ? 平穩(wěn)域判別法 例 :考察如下四個(gè) 模型的平穩(wěn)性 1( 1 ) t txx ????1( 2 ) 1 .1t t txx ??? ? ?12( 3 ) 0 .5t t t tx x x ???? ? ?tttt xxx ???? ?? 11 )4(例 1( 1 ) t txx ???? 12( 3 ) 0 .5t t t tx x x ???? ? ?例 1( 2 ) 1 .1t t txx ??? ? ? tttt xxx ???? ?? 11 )4(AR模型平穩(wěn)性判別方法 ? 特征根判別 ? AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的 p個(gè)特征根都在單位圓內(nèi) ? 根據(jù)特征根和自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根成倒數(shù)的性質(zhì)，等價(jià)判別條件是該模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外 ? 平穩(wěn)域判別 ? 平穩(wěn)域 },{21 單位根都在單位圓內(nèi)p??? ?AR(1)模型平穩(wěn)條件 ? 特征根 ? 平穩(wěn)域 1〈??? ?AR(2)模型平穩(wěn)條件 ? 特征根 ? 平穩(wěn)域 24242211222111??????????????}11,{ 12221 ??? ????? ，且例 ?? ? ? ??? ? ??211i???212i??? 2 2 1 2 10 . 5 , 0 . 5 , 1 . 5? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2311??? 2 312 ??? 2 2 1 2 10 . 5 , 1 . 5 , 0 . 5? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?模型 特征根判別 平穩(wěn)域判別 結(jié)論 (1) 平穩(wěn) (2) 非 平穩(wěn) (3) 平穩(wěn) (4) 非 平穩(wěn) 平穩(wěn) AR模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) ? 均值 ? 方差 ? 協(xié)方差 ? 自相關(guān)系數(shù) ? 偏自相關(guān)系數(shù) 均值 ? 如果 AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有 ? 根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且 為白噪聲序列，有 ? 推導(dǎo)出 p???????? ?101)( 110 tptptt xxEEx ???? ????? ?? ?TtEEx tt ???? ,0)(, ??}{ t?Green函數(shù)定義 ? AR模型的傳遞形式 ? 其中系數(shù) 稱為 Green函數(shù) },2,1,{ ??jG jjtjjjpijtjiipi jtjiipitiittGkBkBkBx????? ???????? ?? ?????????????????00 11 01)(1)(Green函數(shù)遞推公式 ? 原理 ? 方法 ? 待定系數(shù)法 ? 遞推公式 ??????????????????? pkpkjGGGkkkjjkkj ,0,2,1110 ???其中， ?tttttt BGBBGxxB ???? ????????? )()()()(方差 ? 平穩(wěn) AR模型的傳遞形式 ? 兩邊求方差得 函數(shù)為 G r e e nGGxV a r jjjt ,)(202??????jtjjt Gx ????? ?0例 :求平穩(wěn) AR(1)模型的方差 ? 平穩(wěn) AR(1)模型的傳遞形式為 ? Green函數(shù)為 ? 平穩(wěn) AR(1)模型的方差 itiitiitt BBx ??????? ???? ??????01011)(1?,1,0,1 ?? jG jj ?2122021021)()(????? ?? ???? ?????? jjtjjt V arGxV ar協(xié)方差函數(shù) ? 在平穩(wěn) AR(p)模型兩邊同乘 ，再求期望 ? 根據(jù) ? 得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式 )()()()( 11 kttktptpkttktt xExxExxExxE ?????? ???? ??? ?ktx? 1, ??k0)( ?? ktt xE ? 1, ??kpkpkkk ??? ???? ??????? ?2211例 :求平穩(wěn) AR(1)模型的協(xié)方差 ? 遞推公式 ? 平穩(wěn) AR(1)模型的方差為 ? 協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為 0111 ????? kkk ?? ?2120 1 ??? ???1,1 2121 ???? kkk ???? ?例 :求平穩(wěn) AR(2)模型的協(xié)方差 ? 平穩(wěn) AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為 ???????????????????????21)1)(1)(1(12211201122121220kkkk，??????????????????自相關(guān)系數(shù) ? 自相關(guān)系數(shù)的定義 ? 平穩(wěn) AR(P)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式 0??? kk ?1 1 2 2k k k p k p? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?常用 AR模型自相關(guān)系數(shù)遞推公式 ? AR(1)模型 ? AR(2)模型 0,1 ?? kkk ?????????????????2110,1221121kkkkkk???????AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) ? 拖尾性 ? 呈復(fù)指數(shù)衰減 1()pkiiikc???? ? 不能恒等于零pccc , 21 ?1()pkiiikc???? ? 0?例 :考察如下 AR模型的自相關(guān)圖 ttttttttttttttxxxxxxxxxx??????????????????????212111)4()3()2()1(例 — ? 自相關(guān)系數(shù)按復(fù)指數(shù)單調(diào)收斂到零 1( 1 ) 0 . 8t t txx ????例 :— 1( 2) 0. 8t t txx ??? ? ?例 :— ? 自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出 “ 偽周期 ” 性 12( 3 ) 0 .5t t t tx x x ???? ? ?例 :— ? 自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減 12( 4) 0. 5t t t tx x x ???? ? ? ?偏自相關(guān)系數(shù) ? 定義 對(duì)于平穩(wěn) AR(p)序列，所謂滯后 k偏自相關(guān)系數(shù)就是指在給定中間 k1個(gè)隨機(jī)變量 的條件下，或者說(shuō)，在剔除了中間 k1個(gè)隨機(jī)變量的干擾之后， 對(duì) 影響的相關(guān)度量。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述就是 121 , ???? kttt xxx ?ktx? tx2, )?[()]?)(?[(11ktktktktttxxxx xExExExxExEkttktt???????????? ??偏自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算 ? 滯后 k偏自相關(guān)系數(shù)實(shí)際上就等于 k階自回歸模型第個(gè) k回歸系數(shù)的值。 ???????????????????????02211202112112022?????????????????????kkkkkkkkkkkkkkkkk???????????])?[()]?)(?[(2ktktktktttkk xExExExxExE????????偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性 ? AR(p)模型偏自相關(guān)系數(shù) P階截尾 pkkk ?? ,0?例 :考察如下 AR模型的偏自相關(guān)圖 ttttttttttttttxxxxxxxxxx??????????????????????212111)4()3()2()1(例 — ? 理論偏自相關(guān)系數(shù) ? 樣本偏自相關(guān)圖 1( 1 ) 0 . 8t t txx ????0 . 8 , 10 , 2kkkk???? ???例 :— ? 理論偏自相關(guān)系數(shù) ? 樣本偏自相關(guān)圖 1( 2) 0. 8t t txx ??? ? ?0 . 8 , 10 , 2kkkk? ???? ???例 :— ? 理論偏自相關(guān)系數(shù) ? 樣本偏自相關(guān)圖 12( 3 ) 0 .5t t t tx x x ???? ? ?2,1