【正文】 的參數(shù)值 },)。 這時(shí) ， 通常視為(偏 )自相關(guān)系數(shù)截尾 。它認(rèn)為序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)主要由它的低階矩決定，所以只要保證序列低階矩平穩(wěn)（二階），就能保證序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定。 由于掌握了尼羅河泛濫的規(guī)律 ， 使得古埃及的農(nóng)業(yè)迅速發(fā)展 ， 從而創(chuàng)建了埃及燦爛的史前文明 。 ? 按照時(shí)間的順序把隨機(jī)事件變化發(fā)展的過程記錄下來就構(gòu)成了一個(gè)時(shí)間序列 。 平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)定義 ? 滿足如下條件的序列稱為嚴(yán)平穩(wěn)序列 ? 滿足如下條件的序列稱為寬平穩(wěn)序列 ),(),( 21,21, 2121 mtttmttt xxxFxxxF mm ?? ?? ??? ????有，正整數(shù)，正整數(shù) ????? Ttttm m, 21 ?TtskksttskkstTtEXTtEXtt??????????????且，為常數(shù)，,),(),()3,)2,)1 2????嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系 ? 一般關(guān)系 ? 嚴(yán)平穩(wěn)條件比寬平穩(wěn)條件苛刻，通常情況下，嚴(yán)平穩(wěn)（低階矩存在）能推出寬平穩(wěn)成立，而寬平穩(wěn)序列不能反推嚴(yán)平穩(wěn)成立 ? 特例 ? 不存在低階矩的嚴(yán)平穩(wěn)序列不滿足寬平穩(wěn)條件，例如服從柯西分布的嚴(yán)平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列 ? 當(dāng)序列服從多元正態(tài)分布時(shí)，寬平穩(wěn)可以推出嚴(yán)平穩(wěn) 平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) ? 常數(shù)均值 ? 自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)只依賴于時(shí)間的平移長(zhǎng)度而與時(shí)間的起止點(diǎn)無關(guān) ? 延遲 k自協(xié)方差函數(shù) ? 延遲 k自相關(guān)系數(shù) )0()(??? kk ??為整數(shù)kkttk ??? ),()( ??自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) ? 規(guī)范性 ? 對(duì)稱性 ? 非負(fù)定性 ? 非唯一性 平穩(wěn)時(shí)間序列的意義 ? 時(shí)間序列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的特殊性 ? 可列多個(gè)隨機(jī)變量，而每個(gè)變量只有一個(gè)樣本觀察值 ? 平穩(wěn)性的重大意義 ? 極大地減少了隨機(jī)變量的個(gè)數(shù) ， 并增加了待估變量的樣本容量 ? 極大地簡(jiǎn)化了時(shí)序分析的難度 ， 同時(shí)也提高了對(duì)特征統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)精度 平穩(wěn)性的檢驗(yàn)（圖檢驗(yàn)方法） ? 時(shí)序圖檢驗(yàn) ? 根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，平穩(wěn)序列的時(shí)序圖應(yīng)該顯示出該序列始終在一個(gè)常數(shù)值附近隨機(jī)波動(dòng)，而且波動(dòng)的范圍有界、無明顯趨勢(shì)及周期特征 ? 自相關(guān)圖檢驗(yàn) ? 平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性 。 截尾階數(shù)為 d。~(m a x {)~,。 ? 確定性序列，若 ? 隨機(jī)序列，若 ? ?ty tytqtqtt yyy ???? ????? ??? ?1210}{ t? 2)( qtV a r ?? ?2lim 0qq ??? ?)(lim 2 tqq yV a r??? ?ARMA模型分解 tt BBx ??)()(????確定性序列 隨機(jī)序列 Cramer分解定理（ 1961） ? 任何一個(gè)時(shí)間序列 都可以分解為兩部分的疊加：其中一部分是由多項(xiàng)式?jīng)Q定的確定性趨勢(shì)成分，另一部分是平穩(wěn)的零均值誤差成分，即 }{ txtttx ?? ?? 確定性影響 隨機(jī)性影響 taB )(???djjjt0?對(duì)兩個(gè)分解定理的理解 ? Wold分解定理說明任何平穩(wěn)序列都可以分解為確定性序列和隨機(jī)序列之和。 ? Cramer 分解定理是 Wold分解定理的理論推廣，它說明任何一個(gè)序列的波動(dòng)都可以視為同時(shí)受到了確定性影響和隨機(jī)性影響的綜合作用。因而似然方程組實(shí)際上是由 p+q+1個(gè)超越方程構(gòu)成，通常需要經(jīng)過復(fù)雜的迭代算法才能求出未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值 ()S ? ln? ???????????????????????0~)~(21~ln21)~。 序列自相關(guān)圖 序列偏自相關(guān)圖 擬合模型識(shí)別 ? 自相關(guān)圖顯示延遲 3階之后，自相關(guān)系數(shù)全部衰減到 2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)波動(dòng)，這表明序列明顯地短期相關(guān)。 ?例 ? 對(duì) 1950年 —— 1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄所占比例序列的平穩(wěn)性與純隨機(jī)性進(jìn)行檢驗(yàn) 例 例 例 延遲階數(shù) LB統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn) LB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值 P值 6 12 第三章 平穩(wěn)時(shí)間序列分析 本章結(jié)構(gòu) ? 方法性工具 ? ARMA模型 ? 平穩(wěn)序列建模 ? 序列預(yù)測(cè) 方法性工具 ? 差分運(yùn)算 ? 延遲算子 ? 線性差分方程 差分運(yùn)算 ? 一階差分 ? 階差分 ? 步差分 pk1???? ttt xxx111 ??? ????? tptptp xxxkttk xx ????延遲算子 ? 延遲算子類似于一個(gè)時(shí)間指針，當(dāng)前序列值乘以一個(gè)延遲算子，就相當(dāng)于把當(dāng)前序列值的時(shí)間向過去撥了一個(gè)時(shí)刻 ? 記 B為延遲算子，有 1, ???? pxBx tppt延遲算子的性質(zhì) ? ? ? ? ? ， 其中 10 ?B為任意常數(shù)cxcxBcxcB ttt ,)()( 1??????11)( ?? ??? tttt yxyxBnttn xxB ??iniinnn BCB ?????0)1()1( )!(! ! ini nC in ??用延遲算子表示差分運(yùn)算 ? 階差分 ? 步差分 pkitpiipptptp xCxBx??? ?????0)1()1(tkkttk xBxx )1( ????? ?線性差分方程 ? 線性差分方程 ? 齊次線性差分方程 )(2211 thzazazaz ptpttt ????? ??? ?02211 ????? ??? ptpttt zazazaz ?齊次線性差分方程的解 ? 特征方程 ? 特征方程的根稱為特征根，記作 ? 齊次線性差分方程的通解 ? 不相等實(shí)數(shù)根場(chǎng)合 ? 有相等實(shí)根場(chǎng)合 ? 復(fù)根場(chǎng)合 02211 ????? ?? pppp aaa ????p??? , 21 ?tppttt cccz ??? ???? ?2211t pptddtddt cctctccz ??? ??????? ??? ?? 111121 )(tpptitittt ccececrz ???? ????? ? ?3321 )(非齊次線性差分方程的解 ? 非齊次線性差分方程的 特解 ? 使得非齊次線性差分方程成立的任意一個(gè)解 ? 非齊次線性差分方程的通解 ? 齊次線性差分方程的通解和非齊次線性差分方程的特解之和 ttt zzz ?????tz?)(2211 thzazazaz ptpttt ????????????? ??? ?tz ARMA模型的性質(zhì) ? AR模型（ Auto Regression Model） ? MA模型（ Moving Average Model） ? ARMA模型（ Auto Regression Moving Average model） AR模型 的定義 ? 具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為 階自回歸模型，簡(jiǎn)記為 ? 特別當(dāng) 時(shí)，稱為中心化 模型 ????????????????????????tsExtsEV a rExxxxtsstttptptpttt,0,0)(,)(0)(0222110?????????????，?p)( pAR00 ?? )( pAR AR(P)序列中心化變換 ? 稱 為 的中心化序列 ，令 p?????????101??? tt xy}{ ty }{ tx自回歸系數(shù)多項(xiàng)式 ? 引進(jìn)延遲算子，中心化 模型又可以簡(jiǎn)記為 ? 自回歸系數(shù)多項(xiàng)式 )( pARttxB ??? )(pp BBBB ??? ?????? ?2211)(AR模型平穩(wěn)性判別 ? 判別原因 ? AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的 AR模型都是平穩(wěn)的 ? 判別方法 ? 單位根判別法 ? 平穩(wěn)域判別法 例 :考察如下四個(gè) 模型的平穩(wěn)性 1( 1 ) t txx ????1( 2 ) 1 .1t t txx ??? ? ?12( 3 ) 0 .5t t t tx x x ???? ? ?tttt xxx ???? ?? 11 )4(例 1( 1 ) t txx ???? 12( 3 ) 0 .5t t t tx x x ???? ? ?例 1( 2 ) 1 .1t t txx ??? ? ? tttt xxx ???? ?? 11 )4(AR模型平穩(wěn)性判別方法 ? 特征根判別 ? AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的 p個(gè)特征根都在單位圓內(nèi) ? 根據(jù)特征根和自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根成倒數(shù)的性質(zhì)，等價(jià)判別條件是該模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外 ? 平穩(wěn)域判別 ? 平穩(wěn)域 },{21 單位根都在單位圓內(nèi)p??? ?AR(1)模型平穩(wěn)條件 ? 特征根 ? 平穩(wěn)域 1〈??? ?AR(2)模型平穩(wěn)條件 ? 特征根 ? 平穩(wěn)域 24242211222111??????????????}11,{ 12221 ??? ????? ，且例 ?? ? ? ??? ? ??211i???212i??? 2 2 1 2 10 . 5 , 0 . 5 , 1 . 5? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2311??? 2 312 ??? 2 2 1 2 10 . 5 , 1 . 5 , 0 . 5? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?模型 特征根判別 平穩(wěn)域判別 結(jié)論 (1) 平穩(wěn) (2) 非 平穩(wěn) (3) 平穩(wěn) (4) 非 平穩(wěn) 平穩(wěn) AR模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) ? 均值 ? 方差 ? 協(xié)方差 ? 自相關(guān)系數(shù) ? 偏自相關(guān)系數(shù) 均值 ? 如果 AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有 ? 根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且 為白噪聲序列，有 ? 推導(dǎo)出 p???????? ?101)( 110 tptptt xxEEx ???? ????? ?? ?TtEEx tt ???? ,0)(, ??}{ t?Green函數(shù)定義 ? AR模型的傳遞形式 ? 其中系數(shù) 稱為 Green函數(shù) },2,1,{ ??jG jjtjjjpijtjiipi jtjiipitiittGkBkBkBx????? ???????? ?? ?????????????????00 11 01)(1)(Green函數(shù)遞推公式 ? 原理 ? 方法 ? 待定系數(shù)法 ? 遞推公式 ??????????????????? pkpkjGGGkkkjjkkj ,0,2,1110 ???其中， ?tttttt BGBBGxxB ???? ????????? )()()()(方差 ? 平穩(wěn) AR模型的傳遞形式 ? 兩邊求方差得 函數(shù)為 G r e e nGGxV a r jjjt ,)(202??????jtjjt Gx ????? ?0例 :求平穩(wěn) AR(1)模型的方差 ? 平穩(wěn) AR(1)模型的傳遞形式為 ? Green函數(shù)為 ? 平穩(wěn) AR(1)模型的方差