【正文】 2 3 4 5 年末 終值 4%1012 0 0 0 ）（ ?3%1012 0 0 0 ）（ ?2%1012 0 0 0 ）（ ?1%1012 0 0 0 ）（ ?0%1012 0 0 0 ）（ ?＋ FVA =12210 5 【 例題 1 】 求每年收入為 2022元， 期限為 5年，利息率為 10%的這一系列金額 的終值。 期限為 5年，利率為 10%，金額為 2022元的年金的終值計(jì)算圖 例題 1用列式來計(jì)算就是： 0%1012 0 0 0 ）（ ? 4%1012 0 0 0 ）（ ?3%1012 0 0 0 ）（ ?2%1012 0 0 0 ）（ ?1%1012 0 0 0 ）（ ?＋ ＋ ＋ ＋ 4 6 0 0 03 3 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 ????????? 我們可以將以上例題的圖示和計(jì)算列式一般化，將期限為 n，利率為 i的 年金 A的終值用下面的圖表和計(jì)算公式表示，就可以得出計(jì)算年金終值的一般性解： FVA = 5 =12210 0 1 2 … n 1 n A A … A A 終值 0)1( iA ?1)1( iA ?2)1( ?? niA1)1( ?? niAFVA ＋ ： ： n普通年金終值計(jì)算圖示 上述計(jì)算可以列式如下： 01 ）（ iA ? 1)1( ?? niA21( ?? niA ）11( ）iA ?＋ ＋ ＋ ＋ … （ 1） 將 （ 1） 式兩邊乘以 （ 1+i),得 （ 2） 式： 11( ）iA ? ＋ 21( ）iA ? 1)1( ?? niA21( ?? niA ）＋ ＋ ＋ … ＋ niA )1( ? （ 2） （ 2） 式減 （ 1） 得 : niA )1( ?－ 01 ）（ iA ? ＝ niA )1( ? A ＝ A )1)1(( ?? niFVA = nFVA (1+i)= nFVA (1+i) FVA = n n即： FVA i= nA )1)1(( ?? ni所以， FVA = nAii n 1)1( ?? － － ? A = ? FVIFA（ i,n) ? 我們稱年金終值計(jì)算公式（ ）中的 ii n 1)1( ?? 為年金終值因子（系數(shù)），也可 以編成表，以便于計(jì)算，請參見教材 P412~413。 用公式 1的結(jié)果為： FVA = 5 A ? FVIFA（ 10%,5) = 2022 = 12210（元） 結(jié)論 ： 年金終值等于年金與年金終值系數(shù)的乘積 普通年金的現(xiàn)值： 是指在一定期間內(nèi) (n)，在一定利率下 (i),每期期末等額系列收付金額 (A)的現(xiàn)值之和。這里也先以例題來進(jìn)行說明。 其中： A— 年金， i— 利率， n— 期限 2） 普通年金的現(xiàn)值（ PVA ） n 期限為 5年，利率為 10%，金額為 1000元的年金的終值計(jì)算 1 2 3 4 5 年末 1000 1000 1000 1000 1000 1%10110 00）（ ?現(xiàn)值 2%10110 00）（ ?3%10110 00）（ ?4%10110 00）（ ?5%10110 00）（ ?PVA =3791 5 【 例題 2 】 假設(shè)某人出租房屋，每年末 收取 1000元，租期 5年，問在利率為 10%時(shí)， 這些現(xiàn)金相當(dāng)于現(xiàn)在的多少金額？ 例題 2用列式來計(jì)算就是： ＋ ＋ ＋ ＋ 0 0?????????? 我們可以將例題 2的圖示和計(jì)算列式一般化，將期限為 n，利率為 i的 年金 A的現(xiàn)值用下面的圖表和計(jì)算公式表示，就可以得出計(jì)算年金現(xiàn)值的一般性解： 1%10110 00）（ ? 2%101 10 00 ）（ ? 3%101 10 00 ）（ ? 4%10110 00）（ ? 5%101 10 00 ）（ ? =3791（元） PVA = 5 0 1 2 … n 1 n A A … A A 現(xiàn)值 PVA ＋ ： ： n普通年金現(xiàn)值計(jì)算圖示 1)1 iA?（2)1 iA?（1)1 ?? niA（niA)1?（ 上述計(jì)算可以列式如下： ＋ ＋ ＋ ＋ … （ 3） 將 （ 3） 式兩邊乘以 （ 1+i),得 （ 4） 式： ＋ ＋ ＋ ＋ … ＋ （ 4） （ 4） 式減 （ 3） 得 : － ＝ ＝ APVA = nPVA (1+i)= nPVA (1+i) PVA = n n即： PVA i= nA所以， PVA = nAii n??? )1(1 － － ? A = ? PVIFA（ i,n) ?1)1 iA?（ 2)1 iA?（ 1)1 ?? niA（ niA )1?（0)1 iA?（ 1)1 iA?（ 3)1 ?? niA（ 2)1 ?? niA（ 1)1 ?? niA（0)1 iA?（ niA )1?（AniA)1?（? ])1(11[ni??? ])1(11[ni??= A ? ]11[ ni ??? ）（ 我們稱年金現(xiàn)值計(jì)算公式（ ）中的 ii n??? )1(1 為年金現(xiàn)值因子（系數(shù)），也可 以編成表，以便于計(jì)算，參見教材 P410~411。 用公式 2的結(jié)果為： 結(jié)論 ： 年金現(xiàn)值等于年金與年金現(xiàn)值系數(shù)的乘積 其中： A— 年金， i— 利率（或貼現(xiàn)率）， n— 期限 PVA = 5 A ? FVIFA（ 10%,5) = 1000 = 3791（元） 三、年金的終值和現(xiàn)值計(jì)算（ A） 普通年金的終值和現(xiàn)值 第一節(jié) 貨幣的時(shí)間價(jià)值 課堂練習(xí) 1： 如果你的父母從現(xiàn)在開始每年年末替你存一筆教育金 9000元，準(zhǔn)備 3年后給你深造之用，假設(shè)年利率為 3%（不考慮利息稅）。請問三年后這筆錢有多少？ 解題思路： 先要弄清楚這是一個(gè)什么問題，顯然這是一個(gè)已知普通年金求其終值的問題。我們前面已經(jīng)知道普通年金終值 等于 普通年金 乘以 年金終值系數(shù)， 即：FVA =A FVIFA（ i, n)。這里 n=3, i=3%, A=9000,查P412表可知 FVIFA（ 3%, 3)= n 所以 9000元年金的終值為： FVA =9000 FVIFA（ 3%, 3) =9000 =（元） 3 課堂練習(xí) 2： 你的父母替你買了一份 10年期的醫(yī)療保單，交費(fèi)方式有兩種：一是每年年末交 400元，一種是躉交 2300元（現(xiàn)在一次性繳足），兩種交費(fèi)方式在交費(fèi)期間和到期的待遇一樣，假設(shè)利率為 4%，你認(rèn)為哪種方式更合算？ 解題思路： 事實(shí)上這是一道已知年金求其現(xiàn)值的問題，只不過要進(jìn)行一個(gè)小小的比較，然后再得出結(jié)論。 我們先求出 400元年金的現(xiàn)值，然后再與 2300相比較，如果大于躉交數(shù)，則躉交更合算，否則按期交更合算。 已知： 普通年金的現(xiàn)值 等于 普通年金 乘以 普通年金現(xiàn)值系數(shù)，即 PAV =A PVIFA(i, n), 這里的A=400， i=4%, n=10。 n 從 P410查表可知： PVIFA(4%,10)= 所以 400元年金的現(xiàn)值為： PAV =400 =（元） 2300元 10 結(jié)論： 從計(jì)算上來看 躉交更合算。 思考 ：上面講的都是年末付款的情況，如果每筆收支款項(xiàng)是在年初，這種年金的現(xiàn)值和終值會與上面的計(jì)算一樣嗎？ 思考 ：這就是我們下堂課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，但是這堂課是其基礎(chǔ)，一定要好好把握。 第一節(jié) 貨幣的時(shí)間價(jià)值 第二章 財(cái)務(wù)管理基礎(chǔ)知識 ?一、基本概念（ A） ?二、復(fù)利的終值和現(xiàn)值計(jì)算 （ A） 三、年金的終值和現(xiàn)值計(jì)算（ A） 包括資金的時(shí)間價(jià)值、利息、利息率、現(xiàn)值、終值和年金 ?普通年金的終值和現(xiàn)值計(jì)算 預(yù)付年金的終值和現(xiàn)值計(jì)算 永續(xù)年金 第一節(jié) 貨幣的時(shí)間價(jià)值 三、年金的終值和現(xiàn)值計(jì)算（ A） 預(yù)付年金 ： 是指收付款項(xiàng)發(fā)生在每期期初的年金。 預(yù)付年金的終值和現(xiàn)值 預(yù)付年金的終值： 是指在一定時(shí)期（ n)內(nèi)，在一定利率 (i)下，每期期初等額系列收付值 (A)的終值之和。其計(jì)算方式可以下面的圖加以說明。我們首先也看 1例。 1） 預(yù)付年金的終值（ FVAD ） n 3000 3000 3000 3000 3000 這是期限為 5年每年支付為 3000元的預(yù)付年金的現(xiàn)金流 1 2 3 4 5 年初 1 2 3 4 5 年初 3000 3000 3000 3000 3000 終值 1%1013 0 0 0 ）（ ?2%1013 0 0 0 ）（ ?3%1013 0 0 0 ）（ ?4%1013 0 0 0 ）（ ?5%1013 0 0 0 ）（ ?＋ FVAD = 5 列式計(jì)算為： 【 例題 3 】 求每年年初支付 3000元， 期限為 5年，利息率為 10%的這一系列金額 的終值。 1%1013 0 0 0 ）（ ? + 2%1013 0 0 0 ）（ ? + 3%1013 0 0 0 ）（ ?4%1013 0 0 0 ）（ ?+ 5%1013 0 0 0 ）（ ?+ FVAD = 5 = (1+10%) 1%1013 0 0 0 ）（ ? + 2%1013 0 0 0 ）（ ? + 3%1013 0 0 0 ）（ ? + 0%1013 0 0 0 ）（ ? + [ 4%1013 0 0 0 ）（ ? ] 思考： 大家看一看中括號中的式子是什么？再與下面的現(xiàn)金流量圖比較，會得出什么結(jié)論？ 0 1 2 3 4 5 年末 3000 3000 3000 3000 3000 普通年金 3000 3000 3000 3000 3000 1 2 3 4 5 年初 預(yù)付年金 從上面兩個(gè)流量圖可以看出，預(yù)付年金 是普通年金整體往左移動一期的結(jié)果（即比 普通年金早一年付出，于是預(yù)付年金的終值 就要在普通年金終值的基礎(chǔ)上再乘以一個(gè)復(fù) 利終值系數(shù)（ 1+10%）。 也就是說上面中括 號中的內(nèi)容就是一個(gè)期數(shù)為 5，利率為 10%， 年金 3000元的普通年金終值 。 所以預(yù)付年金終值為： FVAD = 5 [3000FVIFA(10%, 5)] (1+10%)=3000