【正文】 從而解得： ????????????????????????lEIAmlEIANlEIAmM???31221331200 將其帶入到通用撓曲線方程式（ a）從而得到梁的撓曲線方程，繼而可以得到梁的轉(zhuǎn)角方程。從而可以計(jì)算梁左端和右端的轉(zhuǎn)角。 劉敬喜， 2022 梁的撓曲線方程為： ??????????????????????????????E I lxlEIAEIxxAlEIAmv221231232??? 梁的轉(zhuǎn)角方程為： ??????????????????????????????E I lxlEIAEIxAlEIAmv22133122???劉敬喜， 2022 梁的左端轉(zhuǎn)角為： ??????????lEIAmAx???3120 梁的右端轉(zhuǎn)角為： EIlEIAmllEIAlx43141???????????????????劉敬喜， 2022 當(dāng) A?＝ ?時(shí)，實(shí)際上就是固定鉸支座 m x 圖 m y EI l EImlx 60????EImllx 3???劉敬喜， 2022 當(dāng) A?＝ 0時(shí)，就是固定端 。 m x y EI 圖 l 00 ??x?EImllx 4???劉敬喜， 2022 例 2:求圖 qA Blx y 解：從圖中可以看出，本梁只受到均布載荷 q的作用。由式（ 211）得： EIqxxNEIxMEIxvv 246121 4302000 ????? ?dxdxdxdxEIqxNEIxMEIxvvx x x x? ? ? ??????0 0 0 0302000 6121?圖 劉敬喜， 2022 4個(gè)未知數(shù)，要列 4個(gè)平衡方程： 根據(jù)梁右端的邊界條件： 將兩端的邊界條件代入到上式得： 根據(jù)梁左端的邊界條件： 0,00 ????? vEIv x0,0 ???? ?? lxlx vEIv0211024612101040043020000000??????????????????????EIqllNEIMEIvEIEIqllNEIlMEIlvvMEIvEIvvlxlxxx?20qlN ?? 又： 劉敬喜， 2022 從而解得： EIql2430 ??EIqxxEIqlxEIqlv241224433???例 3:求圖 x y A? EI m 圖 l/2 l/2 P 劉敬喜， 2022 左端彈性固定端柔性系數(shù) ， 右端彈性支座柔性系數(shù) EIl 3??EIlA 483? 解：從圖中可以看出，本梁只受到集中載荷 P的作用。由式（ 29）得： EIlxPEIxPEIxMxvv l626232/302000???????????? ?vA E Ivv ??????? ,0 4個(gè)未知數(shù)，要列 4個(gè)平衡方程： 根據(jù)梁右端的邊界條件： 根據(jù)梁左端的邊界條件： 0,0 Mv ?? ??劉敬喜， 2022 PlNPlM3320,66700 ??? 解得： ?????????????? ??????????????????32/3232133202273376 lxlxlxlxEIPlv l劉敬喜， 2022 167。 23 梁的彎曲要素表及其應(yīng)用 從上節(jié)看出，利用梁的撓曲線通用方程式及邊界條件可以確定各種單跨梁的撓曲線方程，從而進(jìn)一步確定梁的彎曲要素。在教材附錄 A中給出了各種邊界條件下梁的彎曲要素表。 目前我們考慮的彎曲公式是在小變形及材料符合虎克定律的前提下推導(dǎo)的，所以梁的彎曲要素與梁上的外力成線性關(guān)系，從而可以采用疊加原理計(jì)算單跨梁上同時(shí)受到幾種不同外載荷作用下的彎曲要素。 劉敬喜， 2022 由附錄 A可見(jiàn)，各種彎曲要素表的詳細(xì)程度不相同，其中兩端自由支持梁的彎曲要素表最詳細(xì)。此外，各種彎曲要素表中的載荷種類也不盡相同。因此，當(dāng)利用這些彎曲要素表及疊加原理來(lái)確定某一特定單跨梁的彎曲要素時(shí)，還存在一些技巧。下面舉例進(jìn)行說(shuō)明。 劉敬喜， 2022 例 1:求圖 ，右端轉(zhuǎn)角，并作出梁的剪力圖和彎距圖。 qA Bl2l3qlP ?圖 解：使用疊加法，將受到分布載荷和集中載荷的單跨梁 AB，拆開(kāi)為單獨(dú)受到均布載荷和集中載荷的兩根單跨梁，如圖（ a）和（ b）所示： 劉敬喜， 2022 A Bl2l3qlP ?qA Bl圖 圖 劉敬喜， 2022 (1)計(jì)算中點(diǎn)撓度。從附錄表 A－ 3中的 1和 2很容易計(jì)算得到每根梁中點(diǎn)的撓度得： EIqlEIqlEIlqlvEIqlvEIlqlEIPlvlxlxlx2 3 0 419768476837192,768377687332232222＝＝疊加后：分布載荷作用：集中載荷作用：??????? 從附錄表 A3中，利用疊加原理可以得到右支座反力和固定端彎距的大小。 劉敬喜， 2022 (2)計(jì)算右端轉(zhuǎn)角。附錄表 A3中并沒(méi)有給出右端轉(zhuǎn)角。但是附錄表 A2給出了兩端自由支持梁在各種載荷下的彎曲要素。這樣，我們就可以將圖 217等效為兩端自由支持梁分別受到集中力、分布載荷和集中力矩來(lái)處理。 qBl2l3qlP ?M Rb=5P/16+3ql/8=23ql/48 Ma=ql2/8+3pl/16 =ql2/8+ql2/16=3ql2/16 圖 劉敬喜， 2022 Bl2l3qlP ?qBl2lM Bl2lM 圖 圖 圖 劉敬喜， 2022 查附錄表 A2，應(yīng)用疊加原理很容易就算得到梁右端的轉(zhuǎn)角為； EIqlEIqlEIqlEIqlEIqlEIqlEIqlEIPllxlxlxlx323224483224,481633333332321??????????????＝＝疊加后：集中力矩載荷作用：分布載荷作用：集中載荷作用：????劉敬喜， 2022 (3)畫(huà)彎距圖和剪力圖。有兩種途徑，一種是根據(jù)附錄表 A3中的彎距圖和剪力圖直接疊加；另外一種是根據(jù)圖 217d、 217e、 217f采用附錄表 A2中的彎距剪力圖疊加得到。 A Bl2l3qlP ?qA Bl﹢ ﹣ ﹢ ﹣ ﹢ ﹣ ﹣ ﹢ 剪力和彎距為 0時(shí)的 x坐標(biāo)值一定要計(jì)算準(zhǔn)確； 劉敬喜， 2022 ﹢ ﹣ ﹢﹣ ﹢ ﹣ ﹣ ﹢ 注意 : 是豎標(biāo)相加 ,不是 圖形的簡(jiǎn)單拼合 . 劉敬喜， 2022 例 2:計(jì)算下圖所示的兩端剛性固定梁的彎曲要素 x y ? l/2 l/2 P y l/2 l/2 m x 例 3:計(jì)算下圖所示的一端彈性固定，另一端彈性支座梁的中點(diǎn)撓度、端點(diǎn)轉(zhuǎn)角并畫(huà)彎矩圖和剪力圖 .α =l/3EI, β=l3/48EI, β 劉敬喜， 2022 x y l/2 l/2 m m1 m2 x y l/2 l/2 P β 劉敬喜， 2022 167。 24 梁的復(fù)雜彎曲 如圖 218所示。 EI較小，軸向力很大，那么軸向力所引起的彎曲要素就不能忽略。梁的復(fù)雜彎曲 —— 同時(shí)考慮橫向和軸向這兩種載荷作用梁的彎曲 qBlxx y T T 圖 218 在梁的任一截面上除了有彎距、剪力外還有軸向力。 劉敬喜， 2022 梁在復(fù)雜彎曲時(shí)，我們?nèi)哉J(rèn)為梁截面符合材料力學(xué)中的平斷面假定，材料仍然服從虎克定律， MvEI ???劉敬喜， 2022 M T q M+dM N N+dN T dx dv 圖 219 列出微段的平衡方程式： y x 劉敬喜， 2022 ????00MY021 2?????T d vqdxN dxdMqdxdN? 略去高階微量后，得： dxdvTNdxdMqdxdN??? (213) 將式（ 213）再微分一次，并將關(guān)系式：帶 入后，得到： MvEI ???劉敬喜， 2022 ? ? ? ???????? vTqvEI 對(duì)于等截面和軸向力沿梁長(zhǎng)不變的情況，得： qvTE I v IV ???? (215) (214) 這就是梁在復(fù)雜彎曲（軸向力為拉力）時(shí)的彎曲微分方程式。 如果軸向力為壓力，只要在上式中用（ T）代替（ T）即可。為了表達(dá)清晰起見(jiàn)，令軸向壓力的絕對(duì)值為 T﹡ ， 這樣用（ T﹡ ）代替上式中的 T，便可得到梁在復(fù)雜彎曲（軸向力為壓力）時(shí)的彎曲微分方程式： qvTE I v IV ???? ?(216) 劉敬喜， 2022 ，初參數(shù)法 微分方程式（ 215）的解分為相應(yīng)的齊次方程式的通解和非齊次方程式的特解兩部分。先考慮軸向拉力的情況，即方程式（ 215），其齊次方程式為： 0???? vTE I v IV 此式可改寫(xiě)為： 02 ???? vkv IV 式中： (217) (218) 劉敬喜， 2022 0224 ?? skssxAev ?EITk ?ksk