自動(dòng)控制理論作者 浙江大學(xué) 鄒伯敏 教授 第二章-文庫(kù)吧
2025-01-05 11:17 本頁(yè)面
【正文】 C C C dt d t ??? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ?????mG21 RRR ,KKK , ???式中自動(dòng)控制理論 2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 13 自動(dòng)控制理論 第二節(jié) 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 非線性數(shù)學(xué)模型線性化的假設(shè) ? 變量對(duì)于平衡工作點(diǎn)的偏離較小 ? 非線性函數(shù)不僅連續(xù)，而且其多階導(dǎo)數(shù)均存在 微偏法 在給定工作點(diǎn)鄰域?qū)⒋朔蔷€性函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)，并略去二階及二階以上的各項(xiàng)，用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。 設(shè)一非線性元件的輸入為 x、輸出為 y，它們間的 關(guān)系如圖 29所示，相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 圖 29 非線性特性的線性化 y=f(x) （ 213） 2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 14 自動(dòng)控制理論 在給定工作點(diǎn) A（ x0,y0）附近，將上式展開為泰勒級(jí)數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ?? 202200 00 !21 xxdx fdxxdxdfxfxfy xxxx? ?? ?00000 , , 0xxxyyydxdfKxfyxKyxxKyyxx??????????????????，式中 或?qū)憺?，于是得線性化方程其后面的所有的高階項(xiàng)項(xiàng)及）x（x較小，故可略去式中的xx由于增量Δx2002022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 15 自動(dòng)控制理論 舉例 上節(jié)在推導(dǎo)直流他勵(lì)發(fā)電動(dòng)機(jī)的微分方程式時(shí)，曾假設(shè)其磁化曲線為直線，實(shí)際上發(fā)電機(jī)的磁化曲線如圖 210所示。 設(shè)發(fā)電機(jī)原工作于磁化曲線的 A點(diǎn)，若發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁電壓增加△ U1，求其增量電動(dòng)勢(shì)△ EG的變化規(guī)律。 圖 210 發(fā)電機(jī)的磁化曲線 ? ?? ?162 152 010100???CEuRiGB若勵(lì)磁電壓增量 ，則有 1u?如果發(fā)電機(jī)在小信號(hào)勵(lì)磁電壓的作用下，工作點(diǎn) A的偏離就較小，這樣 就可通過(guò)點(diǎn) A作一切線 CD，且以此切線 CD近似代替原有的曲線 EAF。 在平衡點(diǎn) A處，直流電機(jī)的方程為 ）（）（182 )( 172 )( 0101010???????????????CEEuudtdNRiiGGBB2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 16 自動(dòng)控制理論 由式（ 217）減式（ 215），式（ 217）減式（ 215）后得 11 2 19 2 2 0BGdi R N udtEC??? ? ? ?? ? ? ?（ ）（ ）式（ 219）、（ 220）均為增量方程，它們描述了發(fā)電機(jī)在平衡點(diǎn)A處受到△ u1作用后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。對(duì)增量方程式而言，磁化曲線的坐標(biāo)原點(diǎn)不是在 O點(diǎn)，而是移到 A點(diǎn)。因而發(fā)電機(jī)的初始條件仍為零。式中 N為勵(lì)磁繞組的匝數(shù)。 ???這 寫線 條 直 線即 電 動(dòng) 勢(shì)BBdΔ i里 需 要 注 意 的 是 ， 在 式 （ 2 19） 中 之 所 以 不 作 L，dtdΔ而 用 N表 示 ， 其 原 因 是 那 一 段 磁 化 曲 不 是 一 ，dtdΔ常 量 ， 故 用 反 表 示 。dΔ i2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 17 自動(dòng)控制理論 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?20 0 0000001 f ( 2, 21)2!BB B B B B B B BBBB B Bf i f i f i i i i i if i ifii i i? ? ?? ? ? ????? ??? ? ? ? ? ???? ? ?線 點(diǎn) 處 開 為 級(jí) 數(shù)項(xiàng) 階 項(xiàng)則 簡(jiǎn) 化 為寫 作B 0 B02B B0把 磁 化 曲 f i 在 平 衡 ,i 展 泰 勒略 去 上 式 中 i i 及 其 后 面 所 有 的 高 ， 并 令， 式 （ 2 21） 便或? ?0 2 22BBdfidi?????（ ）2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 18 自動(dòng)控制理論 在實(shí)際應(yīng)用中，常把增量符號(hào)“△”省去，這樣上述兩式顯然和（ 25）（ 26）完全相同 小結(jié) ? 隨著發(fā)電機(jī)平衡工作點(diǎn)的不同，其時(shí)間常數(shù) 和放大 倍數(shù) 是不同的。 ? ?0NR BL fiR? ???2CK R?? 由線性化引起的誤差大小與非線性的程度有關(guān) ? ?? ? ? ?1G20 2 1 0R N R R 2 2 3 E C 2 2 4L N C CBBB B BBBBBd i d iddi i N i L ud t d i d t d tif i f i??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?????化 為（ ），于 是 式 （ 2 1 9 ） 和 式 （ 2 1 0 ） 可式 中2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 19 自動(dòng)控制理論 第三節(jié) 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)的定義 ?傳遞函數(shù)的定義 ： 在零初始條件下，系統(tǒng)（或元件）輸出量的拉氏變換與其輸入量的拉氏變換之比，即為系統(tǒng)（或元件）的傳遞函數(shù)。 設(shè)線性定系統(tǒng)的微分方程式為 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?10 1 1 01111 1。 nmnnnnmmmmmd c t d c t d c t d r ta a a a c t bd t d t d t d td r t d r tb b b c t n md t d tr t c t????????? ? ? ? ?? ? ? ???， 系 統(tǒng) 的 輸 入 系 統(tǒng) 的 輸 出 量式 中 量2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 20 自動(dòng)控制理論 在零初始條件下，對(duì)上式進(jìn)行拉式變換得 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?110 1 1 0 1 110 1 110 1 1
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