【正文】
2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 1 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 作者: 浙江大學(xué) 鄒伯敏 教授 自動控制理論 普通高等教育“九五”部級重點(diǎn)教材 2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2 描述系統(tǒng)運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型的方法 自動控制理論 ?狀態(tài)變量描述 狀態(tài)方程是這種描述的最基本形式 建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法 ? 實(shí)驗(yàn)法:人為施加某種測試信號,記錄基本輸出響應(yīng)。 ? 解析法:根據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的基本物理定律,列寫處每一個元件的輸入 輸出關(guān)系式。 ? 輸入-輸出描述 微分方程是這種描述的最基本形式。傳遞函數(shù)、方框圖 等其它模型均由它而導(dǎo)出 數(shù)學(xué)模型:是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及于內(nèi)部其它變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式 2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 3 第一節(jié) 列寫系統(tǒng)微分方程的一般方法 用解析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟 自動控制理論 ? 根據(jù)基本的物理定律,列寫出系統(tǒng)中一個元件的輸入與輸出的微分方程式 ? 確定系統(tǒng)的輸入量與輸出量,消去其余的中間變量,求得系統(tǒng)輸出與輸入的微分方程式 圖 21 R LC電路 例 21求 Uc與 Ur的微分方程式 解:由基爾霍夫定律得 1,crccdiiR l u udtduu idt i CC dt? ? ???? 即22cccrd u d uLC R C u ud t d t? ? ?消去中間變量 ,則有 : i舉例 一、電氣網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) 2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 4 自動控制理論 圖 22 RC濾波網(wǎng)絡(luò) 例 22. 試寫出圖 22電路的微分方程 解 由基爾霍夫定律列出下列方程組 1 2 1 112 2 2 1 221221()11()1rci i dt i R uCi dt i R i i dtCCi dt uC? ? ?? ? ??????1i? ?21 2 1 2 1 1 2 2 1 22 cc crd u d uR R C C R C R C R C u ud t d t? ? ? ? ?消去中間變量 i1 、 i2 得 或?qū)懽? ? ?2 21 1 2 32 cc crd u d uT T T T T u ud t d t? ? ? ? ?2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 5 自動控制理論 例 23. 求外力 F(t)與質(zhì)量塊 m位移y (t)之間的微分方程 解 由牛頓第二定律列出方程 圖 23 彈簧 質(zhì)量 阻尼器系統(tǒng) 22( ) ( )( ) ( ) d y t d y tF t k y t f md t d t? ? ?即 22( ) ( ) ( ) ( )d y t d y tm f k y t F td t d t? ? ?式中,f —— 為阻尼第數(shù);k —— 為彈簧的彈性系數(shù)。 k y(t)—— 彈性拉力 dtdyf—— 阻尼器阻力 二、機(jī)械位移系統(tǒng) 2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 6 自動控制理論 例 24. 試寫出圖 24所示直流調(diào)速系統(tǒng)的微分方程式 圖 24 GM 直流調(diào)速系統(tǒng)原理圖 三、直流調(diào)速系統(tǒng) 2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 7 圖 25 GM 直流調(diào)速系統(tǒng)的框圖 列寫元件和系統(tǒng)方程式前 ,首先要明確誰是輸入量和輸出量,把與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫在方程式等號的左方,與輸入量有,關(guān)系的項(xiàng)寫在等號的右方,列寫系統(tǒng)中各元件輸入-輸出微分方程式,消去中間變量,求得系統(tǒng)的輸出與輸入的微分方程式 寫微分方程式的一般步驟: 2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 8 自動控制理論 ? 放大器 圖 26 直流他勵發(fā)電機(jī)電路圖 11eu Ku ?(24) 假設(shè)驅(qū)動發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速 n0恒定不變,發(fā)電 機(jī)沒有磁滯回線和剩磁,發(fā)電機(jī)的磁化曲線為一直線 ,即 Φ /iB =L。 ? 直流他勵發(fā)電機(jī) 2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 9 自動控制理論 由電機(jī)學(xué)原理得: 圖 27 直流他勵電動機(jī)電路圖 把式( 26)代入( 25),則得 ( 25) ( 26) 12 。 G CLL KRR? ??21GGGdEτ E K Udt ??( 27) 式中 11 1 2BBG B BdiL i R UdtE C C L i C i??? ? ? ?2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 10 自動控制理論 ? 直流他勵電動機(jī) 被控制量是電動機(jī)的轉(zhuǎn)速 n 。 控制量:發(fā)電機(jī)的電動勢 EG和負(fù)載轉(zhuǎn)矩 TL 由基爾霍夫定律和牛頓第二定律得 2375aa e GeLe u adii R L C n EdtGD dnTTdtT C i? ? ????2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 11 ? ?22020 ( 2 8)0 2 8 1 3 5 71Lm a m G L ae e umuaLGedTd n dn Rn E Tdt dt C C C dtGD RCLRnTnEC? ? ? ?????? ? ? ? ??????????電 時 間 常 數(shù)為 電 動 機(jī) 電 時 間 常 數(shù) 。當(dāng) 時 電 動 機(jī) 空 載 運(yùn) 行 穩(wěn) 態(tài) 時 蛻 化 為為 電為動 機(jī) 載 轉(zhuǎn) 速電 動 機(jī)式 中 , 的 機(jī) ;的 氣, 至 , 式 便 ( 的 空 ) 2 9 ( )eaTi和上式中消去中間變量 后得到 輸入量是電動機(jī)的轉(zhuǎn)速 n,輸出量是測速發(fā)電機(jī)的電壓 Ufn ,假設(shè)測速發(fā)電機(jī)的磁場恒定不變,則 Ufn與 n成線性關(guān)系即有 ? 測速發(fā)電機(jī) 2022/2/17 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 12 fne g f n ( 2 10) ( 2 u a 11n u u u )??系 統(tǒng) 運(yùn) 動 輸 入引 起而的 給 電 壓 負(fù) 載 轉(zhuǎn) 矩 動 電 動 機(jī)轉(zhuǎn) 速 為 系 統(tǒng) 的 輸 出 經(jīng)gL量 是 定 u和 T (擾 ),的 n量 ,消 元 后 得? ? ? ?? ?323222 ( 2 1 )12m a G m a G G meLLg G a a G Le e ud n d n dn K aτ τ τ τ τ τ τ τ ndt dt dt Cd T dTKRU τ τ τ T T