【正文】 20)0()0(22)0()0( 39。39。??????????rrrr0)0()0(2)0()0( 39。39。????????rrrr從 0到 0+積分得： 0)(2)(0)(2)(39。39。39。????trtrttr ?得： 三、零輸入響應和零狀態(tài)響應 定義： （ 1）零輸入響應： 沒有外加激勵信號的作用，只有起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應。 （ 2）零狀態(tài)響應： 不考慮起始時刻系統(tǒng)儲能的作用，由系統(tǒng)外加激勵信號所產(chǎn)生的響應。 LTI的全響應： r(t) = rzi(t) + rzs(t) 求 rzi(t)的基本步驟 ① 求系統(tǒng)的 特征根 ，寫出 rzi(t)的通解表達式。 ③ 將確定出的積分常數(shù) A1， A2， … ， An代入通解表達式，即得 rzi(t) 。 ② 由于激勵為零，所以零輸入的初始值： 確定積分常數(shù) A1， A2， … ， An )0()0( )()( ??? iziizi rr零輸入響應 即求解對應齊次微分方程的解 零狀態(tài)響應 (0時刻值為 0) （ 1） 即求解對應 非齊次微分方程的解 （ 2）求 rzs(t)的基本步驟 ①求系統(tǒng)的特征根，寫出的通解表達式 rzsh(t)。 ②根據(jù) e(t)的形式，確定特解形式，代入方程解得特解 rzsp(t) ④ 將確定出的積分常數(shù) A1， A2， … ， An代入全解表達式，即得 ③求全解，若方程右邊有沖激函數(shù)（及其各階導數(shù)）時，根據(jù)沖激函數(shù)匹配法求得 ，確定積分常數(shù) A1，A2， … ， An )0()( ?izsr[例 ]： 描述某系統(tǒng)的微分方程為 r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2e’(t) + 6e(t), 已知 r(0)=2， r’(0 )=0，e(t)=u(t)。求該系統(tǒng)的全響應，零輸入響應和零狀態(tài)響應。 解： （ 1） r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2δ(t) + 6u(t) 利用系數(shù)匹配法分析列式得： r’’(t)=aδ(t) +b， r’(t)=a ， r(t)=0 代入原方程得 a=2， b=0 20)0()0(22)0()0( 39。39。??????????rrrr根據(jù)微分方程經(jīng)典求法： 齊次解： 齊次解形式為： 特解 ,根據(jù)特解形式得到 : 解得 B＝ 3 解得 全響應 為： 022 ??? ??tth eAeAtr ?? ?? 221)(Btr p ?)(03)( 221 ???? ?? teAeAtr tt利用初始值解得： 全響應為： 0121???AA03)( 2 ???? ? tetr t（ 2） 零輸入響應 rzi(t), 激勵為 0 ， rzi (0+)= rzi (0)= rzi (0)=2 rzi’(0+)= rzi’(0 )= rzi’(0 )=0 根據(jù)特征根求得通解為： ttzi eAeAtr ?? ?? 221)(4221???AA 解得系數(shù)為 代入得 0,42)(2 ???? ?? teetr ttzi（ 3）零狀態(tài)響應 rzs(t) 滿足 r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2δ(t) + 6u(t) 利 用系數(shù)匹配法解得： 00)0()0(22)0()0( 39。39。??????????zszszszsrrrr對 t0時，有 rzs”(t) + 3 r zs’(t) + 2 r zs(t) = 6 其齊次解為 其特解為常數(shù) 3 ， 于是有 根據(jù)初始值求得 : 4121???AAtzstzszsh eAeAtr ?? ?? 221)(3)( 221 ??? ?? tzstzszs eAeAtr034)( 2 ???? ?? teetr ttzs ，自由響應＋強迫響應 (Natural+forced) 零輸入響應＋零狀態(tài)響應 (Zeroinput+Zerostate) 暫態(tài)響應 +穩(wěn)態(tài)響應 (Transient+Steadystate) 四．系統(tǒng)響應劃分 ①自由響應： 也稱固有響應，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵形式無關(guān)。對應于齊次解。 強迫響應： 形式取決于外加激勵。對應于特解。 ②暫態(tài)響應： 是指激勵信號接入一段時間內(nèi)，完全響應中暫時出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時間 t 增加，它將消失。 穩(wěn)態(tài)響應： 由完全響應中減去暫態(tài)響應分量即得穩(wěn)態(tài)響應分量。 ③零輸入響應： 沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應。 零狀態(tài)響應： 不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的響應。 相互關(guān)系 零輸入響應是自由響應的一部分，零狀態(tài)響應有自由響應的一部分和強迫響應構(gòu)成 。 0)34()42()()(3)(222?????????????????teeeetrtretrttttzszit，自由響應 強迫響應 零輸入響應 零狀態(tài)響應 [例 ] 某 LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為 x(0–)。已知，當x(0–) =1，輸入因果信號 e1(t)時，全響應 r1(t) = + cos(πt) ， t0；當 x(0) =2，輸入信號 e2(t)=3e1(t)時，全響應 r2(t) = –2 +3 cos(πt) ， t0；求輸入 e3(t) = +2e1(t1)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。 解： 設(shè) 當 x(0–) =1， 輸入因果信號 e1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應分別為 r1zi(t)、 r1zs(t) 。 當 x(0) =2， 輸入信號 e2(t)=3e1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應分別為 r2zi(t)、 r2zs(t) 。 te?te?由題中條件，有 r1(t) = r1zi(t)+ r1zs(t) = + cos(πt) ， t0 （ 1） r2(t)= r2zi(t)+ r1zs(t) = –2 +3 cos(πt) ， t0 （ 2） 根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性 r2zi(t)=2 r1zs(t) ， r2zs(t)=3 r1zs(t) te?te?代入式（ 2）得 r2(t)=2r2zi(t)+3 r1zs(t) = –2 +3 cos(πt) ， t0 （ 3） 式 (3)– 2 式 (1)，得 r1zs(t) = –4 + cos(πt) ， t0 由于 r1zs(t)是因果系統(tǒng)對因果輸入信號 e1(t)的零狀態(tài)響應，故當t0， r1zs(t)= 0； 因此 r1zs(t)可改寫成 r1zs(t) = [–4 + cos(πt)]u(t) (4) te?te?te?根據(jù) LTI系統(tǒng)的微分特性 → = –3δ(t) + [4