【正文】 130 60 151 56 141 109 52 挺舉（公斤） 抓舉（公斤） 成績(jī) 重量級(jí)（上限體重） 模型 1（線性模型） 將數(shù)據(jù)畫(huà)在直角坐標(biāo)系中可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)成績(jī)與體量近似滿足線性關(guān)系，只有 110公斤級(jí)有點(diǎn)例外，兩項(xiàng)成績(jī)都顯得較低。應(yīng)用前面敘述的方法可求出近似關(guān) 系式 L=kB+C，其中 B為體重， L為舉重成績(jī)。你在作圖 時(shí) L軸可以放 在 50公斤或 52公斤處，因?yàn)闆](méi)有更輕級(jí)別的比賽，具體計(jì)算留給讀者自己去完成。 模型 2（冪函數(shù)模型） 線性模型并未得到廣泛的接受，要改進(jìn)結(jié)果，能夠想到的自然首先是冪函數(shù)模型，即令 L=kBa，對(duì)此式取對(duì)數(shù)，得 到 lnL=lnk+a lnB。將原始數(shù)據(jù)也取對(duì)數(shù)，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化了線性模型，可用最小二乘法求出參數(shù)。幾十年前英國(guó)和愛(ài)爾蘭采用的比較舉重成績(jī)優(yōu)劣 的Austin公式 ： L′=L/B3/4就是用這一方法求得的。 模型 3（經(jīng)典模型） 經(jīng)典模型是根據(jù)生理學(xué)中的已知結(jié)果和比例關(guān)系推導(dǎo)出來(lái)的公式，應(yīng)當(dāng)說(shuō)，它并不屬于經(jīng)驗(yàn)公式。為建立數(shù)學(xué)模型，先提出如下一些假設(shè)： (1)舉重成績(jī)正比于選手肌肉的平均橫截 面積 A，即 L=k1A (2)A正比于身高 L的平方，即 A=k2L2 (3)體重正比于身高 L的三次方， 即 B=k3L3 根據(jù)上述假設(shè)，可得 3232321 )( KBkBkkL ??顯然， K越大則成績(jī)?cè)胶茫士捎? 來(lái)比較選手比賽成績(jī)的優(yōu)劣。 32??? LBL32321?? kkkK模型 4（ O’ Carroll公式） 經(jīng)驗(yàn)公式的主要依據(jù)是比例關(guān)系，其假設(shè)條件非常粗糙，可信度不大，因而大多數(shù)人認(rèn)為它不能令人信服。 1967年， O’ Carroll基于動(dòng)物學(xué)和統(tǒng)計(jì)分析得出了一個(gè)現(xiàn)在被廣泛使用的公式。 O’ Carroll模型的假設(shè)條件是： (1) L=k1Aa, a1 (2) A=k2Lb, b2 (3) BBo =k3L3 假設(shè) (1)、 (2)是解剖學(xué)中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，在假設(shè) （ 3）中 O’ Carroll將體重劃分成兩部分： B=B0+B1， B0為非肌肉重量。 故有： 3135)( ?? BkL根據(jù)三條假設(shè)可 得 L=k(BB0)β,k和 β為兩個(gè)常數(shù)， 323 ??abβ此外，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，他 得出 B0≈35公斤， 31?βk越大成績(jī)?cè)胶?。因而建議根據(jù)的大小 來(lái)比 較選手成績(jī)的優(yōu)劣。 313 5 )( ???? BLL模型 5（ Vorobyev公式） 這是一個(gè)前蘇聯(lián)使用的公式。建模者認(rèn)為舉重選手舉起的不光是重物，也提高了自己的重心，故其舉起的總重量為 L+B，可以看出，他們更重視的是腿部肌肉的爆發(fā)力。應(yīng)用與模型 4類(lèi)似的方法，得出了按 的大小比較成績(jī)優(yōu)劣的建議。 6 0 ) / 9 0 0 ]?????BBBLL([上述公式具有各不相同的基準(zhǔn)，無(wú)法相互比較。為了使公式具有可比性，需要對(duì)公式稍作處理。例如，我們可以要求各公式均滿足 在 B=75公斤時(shí)有 L’=L，則上述各公式化為： （ 1） Austin公式： （ 2） 經(jīng)典 公式： （ 3） O’ Carroll公式： （ 4） Vorobyev公式： 4375????????BLL3275????????BLL313540?????????BLL75)(465 )29250( ?? ??? BB BLL將公式（ 1） — （ 4）用來(lái)比較 1976年奧運(yùn)會(huì)的抓舉成績(jī)，各公式對(duì)九個(gè)級(jí)別冠軍成績(jī)的優(yōu)劣排序如表 所示，比較結(jié)果較為一致，例如，對(duì)前三名的取法是完全一致的，其他排序的差異也較為微小。 (8) (7) (7) (8) 175 110 (2) (2) (2) (2) 170 90 (1) (1) (1) (1) (6) (5) (3) (6) 145 75 (5) (6) (5) (5) 135 (3) (3) (3) (3) 125 60 (4) (4) (6) (4) 56 (7) (8) (8) (7) 105 52 Vorobyev O’ Carroll 經(jīng)典公式 Austin 抓舉成績(jī) (公斤 ) 體重 (公斤 ) 我們希望建立一個(gè) 體重 與 身高 之間的關(guān)系式，不難看出兩者之間的關(guān)系不易通過(guò)機(jī)理的分析得出，不妨可以采取 統(tǒng)計(jì)方法 ，用數(shù)據(jù)來(lái)擬合出與實(shí)際情況較為相符的經(jīng)驗(yàn)公式。 為此，我們先作一番抽樣調(diào)查，測(cè)量了十五個(gè)不同高度的人的體重，列成了 下表，在抽樣時(shí)，各高度的人都需經(jīng)適當(dāng)挑選，既不要太胖也不要太瘦。 例 2 體重與身高的 關(guān)系 將表中的數(shù)畫(huà) 到 hw平面上，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)分布很接近某一指數(shù)曲線。為此， 對(duì) h和 w均取對(duì)數(shù)，令 x=lnh， y=lnw，將（ xi， yi）再畫(huà)到 xy平面中去（ i=1,…,15 ），這次你會(huì)發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)幾乎就分布在一條直線附近，令此直線的 方程為y=ax+b，用最小二乘法求 得 a≈,b≈，故可取y=+，即 lnw=+，故有 w= 75 66 59 54 51 體重 w（公斤） 身高 h（米） 50 48 41 35 27 體重 w（公斤） 身高 h（米） 20 17 15 12 10 體重 w（公斤） 身高 h（米） 在使用 最小二乘法 時(shí)，我們并未要求得到的擬合曲線一定要經(jīng)過(guò)所有的樣本點(diǎn)，而只是要求 了 總偏差最小 。當(dāng)實(shí)際問(wèn)題要求擬合曲線必須 經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn) 時(shí)，我們可以應(yīng)用數(shù)值逼近中的 插值法 。 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的不同要求，存在多種不同的插值方法，有只要求過(guò)樣本點(diǎn)的 拉格朗日插值 法 、 牛頓插值法 等，有既要求過(guò)插值點(diǎn)（即樣本點(diǎn)）又對(duì)插值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有所要求的 樣條（ Spline）插值 ，甚至還有對(duì)插值曲線的凹凸也有要求的 B樣條插值法 。本課不準(zhǔn)備詳細(xì)介紹這些細(xì)致的插值方法，只是提請(qǐng)讀者注意，在建立經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜁r(shí)，插值法也是可以使用的數(shù)學(xué)工具之一。 插值方法 對(duì)插值法感興趣的 同學(xué)可以查閱相關(guān)書(shū)籍，例如由 李岳生 編著上?？茖W(xué)技術(shù)出版社出版的 《 樣條與插值 》 （ 1983年出版）等。 在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)常常需要確定一些參數(shù)，選什么量為參數(shù)，怎樣選取參數(shù)，其中也有一些技巧，參數(shù)選得不好，會(huì)使問(wèn)題變得復(fù)雜難解，給自己增添許多不必要的麻煩。確定參數(shù)以后，一般需要利用數(shù)據(jù)來(lái)獲得這些參數(shù)的具體取值，例如在使用經(jīng)驗(yàn)方法建模時(shí)，假如你準(zhǔn)備用線性函 數(shù) ax+b來(lái)表達(dá)變量間的關(guān)系，你還要用最小二乘法去求出參 數(shù) a、 b的值，這一過(guò)程被稱 為“ 參數(shù)識(shí) 別 ”?？傊?，參數(shù)的選取應(yīng)使其后的識(shí)別盡可能簡(jiǎn)便，讓我們來(lái)考察一個(gè)實(shí)例。 167。 參數(shù)識(shí)別 例 3 錄像帶還能錄多長(zhǎng)時(shí)間 錄像機(jī)上有一個(gè)四位計(jì)數(shù)器，一盤(pán) 180分鐘 的錄像帶在開(kāi)始計(jì)數(shù)時(shí)為 0000，到結(jié)束時(shí)計(jì) 數(shù)為 1849，實(shí)際走時(shí)為 185分 20秒。我們從 0084觀察到 0147共用時(shí)間 3分 21秒。若錄像 機(jī)目前的計(jì)數(shù)為 1428，問(wèn)是否還能錄下一個(gè) 60分鐘的節(jié)目？ r θ R l 由 ω v t)rπ ( R 22 ??得到 212rπvtR ?????? ?? ?又 因和 得 θRl ΔΔ ? tvl ΔΔ ?tRvθ ΔΔ ?積分得到 ?? ??? tθ dt)rπω v tv