【正文】 證法1就采用此法；另一種方法是把AC分成兩部分，使其分別等于AB、BD，如證法2就采用此法。例4 如圖2－7－4，△ABC中，ACAB，AD平分∠BAC，P為AD上任一點(diǎn)，連結(jié)PB、PC。　　求證：PC－PBAC－AB?！　∷悸罚?通過(guò)構(gòu)造全等三角形，把PC、PB、AC、AB集中在同一三角形中，利用三角形兩邊之差小于第三邊這一性質(zhì)來(lái)證明本題結(jié)論?！　∽C明：　在AC上取點(diǎn)E，使AE=AB，連結(jié)PE，由AD平分∠ABC得∠1=∠2。又∵ AE=AB， AP=AP，∴△APE≌△APB，∴ PE=PB，在 △EPC中，PC－PEEC，　　即PC－PBAC－AE?！?PC－PBAC－AB?！　≌f(shuō)明：　當(dāng)要證明式子的線(xiàn)段比較分散時(shí)，常通過(guò)構(gòu)造全等三角形，把相關(guān)線(xiàn)段集中起來(lái)，這樣便于利用三角形的三邊不等關(guān)系。例5：如圖2－7－5，從等腰Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C向中線(xiàn)BD作垂線(xiàn)，交BD于F，交AB于E，連結(jié)DE。求證：∠CDF=∠ADE?！　∷悸?：作∠BCA的平分線(xiàn)交BD于G，證明△CDG≌△ADE。　　證法1：作∠BCA的平分線(xiàn)交BD于G，∵ BC=AC，∠BCG=∠A=， ∠CBG=－∠CDF=∠ACE，　　∴ △BCG≌△CAE，∴ CE=AE，△CDG和△ADE中，∵ CD=AD，∠DCE=∠A=，CE=AE，　　∴ △CDG≌△ADE，∴ ∠CDF=∠ADE，　　思路2：過(guò)A作AN⊥AC，交CE延長(zhǎng)線(xiàn)于N，　　證明 △ADE≌△ANE?！　∽C法2：過(guò)A作AN⊥AC，交CE延長(zhǎng)線(xiàn)于N。∵ ∠ACN=∠CBD，AC=CB，　∴ Rt△ACN≌Rt△CBD，∴ ∠CDF=∠ANE，CD=AN=AD，又∵ ∠CAE=∠EAN=，AE=AE，　　∴ △ADE≌△ANE，∴ ∠ADE=∠ANE，∴ ∠CDF=∠ADE，　　說(shuō)明：　如何作鋪助線(xiàn)是影響解題思路的一個(gè)重要因素，要善于聯(lián)想已知條件，找到突破口，如證法2，注意到∠CDF在△BCD中，且BC=AC，可設(shè)法構(gòu)造出一個(gè)與Rt△BCD全等的三解形，并使其中某個(gè)銳角等于∠ADE，這樣，就想出了思路2的方法。A 級(jí) 　　★★如圖2－7－6，在△ABC和△A B C 中，AD和A D 是高，AD=A D ，AB=A B ,BC=B C ,則AC和A C 的大小關(guān)系是___________.　　★★如圖2－7－7在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，則圖中能全等的三角形有______對(duì)?！　　铩锶切稳叺拈L(zhǎng)分別為m－m、m＋1(m1),則m的最小正整數(shù)值是___?！铩锶鐖D2－7－8，D、E分別為等邊△ABC的AB、AC邊上的點(diǎn)，且AD=CE，CD和BE交于點(diǎn)P，則∠BPD的度數(shù)是多少？B　級(jí)★★給定△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的七個(gè)點(diǎn)，且這十個(gè)點(diǎn)中的任意三點(diǎn)均不共線(xiàn)，則以這十個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)能將△ABC分割為互不重疊的小三角形個(gè)數(shù)為_(kāi)_____。★★如圖2－7－9，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，△ACD和△BCE是兩個(gè)等邊三角形，點(diǎn)D、E在AB同旁，AE、BD分別CD、CE于G、H，則CG和CH的大小關(guān)系是_____。　　★★在△ABC中，ABAC,AM為角平分線(xiàn)，則BM和MC的大小關(guān)系是_____★★如圖2－7－10，在△ABC中，經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)M，有垂直相交于M的兩條直線(xiàn)，它們與AB、AC分別交于D、E，求證：BD＋CEDE.參考答案A級(jí)AC=A′C′。提示：由AD=A′D′，AB=A′B′，知Rt△ABD≌△A′B′D′，從而∠B=∠B 再結(jié)合AB=A′B′,BC=B′C′,可知△ABC≌△A′B′C′從而AC=A′C′。提示：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE。提示：由題意得：故m的最小正整數(shù)值是3。由AD=CE，∠A=∠BCE=，AC=BC，可得△DAC≌△ECB，從而得∠DCA=∠EBC，故∠BPD=∠EBC＋∠BCD=∠DCA＋∠BCD=∠BCA=。B級(jí)15個(gè)。提示：會(huì)聚在△ABC內(nèi)每一點(diǎn)的諸角之和為180176。；會(huì)聚在A、B、C的諸角之和為；所以，所有小三角形的內(nèi)角和為：。又由于每個(gè)三角形的內(nèi)角和為，故小三角形的個(gè)數(shù)為：。CG=CH。提示：易證∠ACE=∠DCB=，又因?yàn)锳C=DC，EC=BC，從而得△ACE≌△DCB，則∠AEC=∠DBC，又因?yàn)椤螱CE=∠HCB=，EC=BC，從而△GEC≌△HBC，故CG=CH。BMMC。提示：如圖2－7－11，在AB上截取AD=AC，連結(jié)DM，易證△ADM≌△ACM，從而MC=MD，又因?yàn)椤螧DM∠AMD=∠AMC∠B, 從而B(niǎo)MMD，所以BMMC。延長(zhǎng)DM到D ，使DM=MD ∵ DD ⊥ME∴ DE=ED ∵ BM=MC∴ DM=MD ∠BMD=∠CMD ∴ △BMD≌△CMD ∴ BD=CD 在△EDC中有EC＋CD ED ,故BD＋CEDE.教學(xué)內(nèi)容：一次方程組【內(nèi)容綜述】　　二元及多元（二元以上）一次方程組的求解，主要是通過(guò)同解變形進(jìn)行消元，最終轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)解決，所以，解一次方程組的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加減消元兩種。競(jìng)賽中的方程組問(wèn)題常有題型新、含有參量、與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系等特點(diǎn)，要求我們除熟練掌握課本中的二元一次方程組基本解法外，還要掌握更多技巧，提高應(yīng)變能力?！疽c(diǎn)講解】　　常系數(shù)一次方程組　解常系數(shù)一次方程組，應(yīng)仔細(xì)觀察方程組的具體特點(diǎn)，靈活地采用各種方法和技巧，使解法簡(jiǎn)捷明快?！　　铩锢? 若和滿(mǎn)足方程組　　　　試確定的值?！　》治?本例所求只與有關(guān)，故只需從原方程組中解出即可。　　解 將①至⑤五個(gè)方程相加，并除以6得　 ⑥　　由④，⑤分別減去⑥，得.　　所以， 　　★★例2 解方程組.　　分析 由于已知方程組中x、y、z的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的數(shù)值較大，若用習(xí)慣的代入法、消元法來(lái)解，工作量較大，容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤。仔細(xì)觀察系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)如下關(guān)系。5732＋2134=7866,32134－5732=670,25732=11464. 　　用字母表示常數(shù)解此題，將會(huì)減少運(yùn)算量?！　〗?令，則原方程組變形為　　由①＋②＋③并化簡(jiǎn)得 　　　　?、堋　、躡得　　　?、荨　、伲莸?則。 ②－⑤得,則?！　　　⒋擘艿?　　　　例3解方程組　　解法1 ①＋②2得③　　③代入①得所以為原方程組的解?！　〗夥? 令，則原方程組化為　　解得，即為原方程組的解?！　≌f(shuō)明 解法1 稱(chēng)為整體處理法，即從整體上進(jìn)行加減消元或代入消元（此時(shí)的“元”是一個(gè)含有未知數(shù)的代數(shù)式，如等）；解法2 稱(chēng)為換元法，也就是干脆引入一個(gè)新的輔助元來(lái)代替原方程組中的“整體元”，從而簡(jiǎn)化方程組的求解過(guò)程?！　『袇⒘康囊淮畏匠探M　　與含有參量的一元一次方程一樣，含有參量的一次方程組求解時(shí)也要進(jìn)行討論，一般是通過(guò)消元，歸結(jié)為一元一次方程的形式進(jìn)行討論，但必須特別注意，消元時(shí)，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的兩邊時(shí)，這個(gè)式子的值不能等于零?！　　铩锢? 當(dāng)為何值時(shí)有唯一解？沒(méi)有解？有無(wú)窮多個(gè)解？　　思路 只須對(duì)進(jìn)行討論。為此先把方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元一次方程?！　〗?由①，②消去y，得　?、邸　‘?dāng)時(shí)，方程③有唯一解。　　當(dāng)時(shí),方程③無(wú)解?！　‘?dāng)時(shí)，方程③有無(wú)窮多個(gè)解。　　故當(dāng)時(shí)，原方程組有唯一解；當(dāng)，且時(shí)，原方程組無(wú)解；當(dāng)且時(shí)，原方程組有無(wú)窮多個(gè)解?！　　铩铩锢? 已知關(guān)于x，y的二元一次方程，當(dāng)每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，試求出這個(gè)公共解?！　》治?解題的關(guān)鍵在于公共解與的取值無(wú)關(guān)?！　〗夥? 由于公共解與的取值無(wú)關(guān)，所以可分別令代入原方程得到一個(gè)方程組　　解之得.　　將代入原方程得。所以對(duì)任何值都是原方程的解?！　〗夥? 可將原方程變形為　　　由于公共解與無(wú)關(guān)，故有　　解之得公共解為.　　含有絕對(duì)值符號(hào)的一次方程組?！　∪绻匠探M中某一個(gè)或兩個(gè)方程含有絕對(duì)值符號(hào)，在解這類(lèi)方程組時(shí)，要象解含有絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程那樣，先根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值符號(hào)后再解?！　　铩锢? 解方程組　　分析 若逐一討論絕對(duì)值，情況較多，抓住的特點(diǎn)：　　（1）。 （2）?！　〗?（1）若，則原方程組為,　得，矛盾。　?。?）若，則原方程組為或 .分別解得. 從而有4個(gè)解　　　　　 　　 　　　【能力訓(xùn)練】A　級(jí)　　★已知滿(mǎn)足t和的也滿(mǎn)足，那么m的值為（ ）?！　。ˋ）0　　　 （B）1　　　 （C）2　　　 （D）3　　★★已知三角形的三邊長(zhǎng)滿(mǎn)足,則三角形一定是（ ）　?。ˋ）正三角形 　　　?。˙）直角三角形　?。–）鈍角三角形 　　　（D）非等腰三解形　　★★小莉?qū)懗鋈齻€(gè)有理數(shù)，其中每?jī)蓚€(gè)有理數(shù)的平均值分別是7，那么這三個(gè)有理數(shù)的平均值是____________。　　★★已知，且,則=_________　　★★★已知關(guān)于的方程組分別求出當(dāng)為何值時(shí)，方程組（1）有唯一一組解；（2）無(wú)解；（3）有無(wú)窮多組解。B　級(jí)★★若，則的值為（ ）。　?。ˋ）1 　　?。˙）－1　　　　 （C）2 　　　（D）－2　　★★★如果用表示大于的最小整數(shù)，如如果用表示不大于的最大整數(shù)，如，那么方程組的解是（ ）?！　。ˋ）?。˙）（C）　（D）　　若，則=_____________?！　　铩镆阎獫M(mǎn)足方程組則=________?！　∫阎匠探M有解，試求k的值【能力訓(xùn)練】A 級(jí)　　（C）提示：已知表明，是方程組的解?！　。ˋ）提示：由原方程組得，有a－b=0，進(jìn)而有?！　√崾荆豪闷骄刀x?！　?提示：視為未知數(shù)，為常數(shù)，解得x=4z，y=－3z?！　∮散俚?③ 　　將③代入②得　　　 ④ 　　 ①當(dāng)時(shí)，原方程組有唯一解；當(dāng)(a－2)(a＋1)=0且(a－2)(a＋2)≠0時(shí),原方程組無(wú)解；當(dāng)且時(shí)，原方程有無(wú)窮多組解?！　級(jí)　　（A）　提示：利用絕對(duì)值的非負(fù)性可得。（C）　提示：，原方程組為 可解得.　?。?.　 提示：由原方程組分別求出?！　?　提示：可直接由①5－②－③－④ 求出；同理求出?！　⒑髢蓚€(gè)方程相加，并代入第一個(gè)方程消去，得，再分和兩種情況可求得或.教學(xué)內(nèi)容：一次不定方程經(jīng)驗(yàn)談一次不定方程是一元一次方程的拓展，就是在一元一次方程這個(gè)最基礎(chǔ)的平面上向上跨了一個(gè)臺(tái)階，它的解答需要將許多基礎(chǔ)的知識(shí)進(jìn)行擴(kuò)展、綜合，也就是要在把基礎(chǔ)知識(shí)牢牢掌握的前提下進(jìn)行的升華。思維在解題中得到鍛煉，解題又使知識(shí)在思維中得到鞏固。多多思考，多多練習(xí)對(duì)學(xué)習(xí)是大有裨益的。內(nèi)容綜述：我們?cè)谡n堂上學(xué)過(guò)一元一次方程，例如解方程，解這個(gè)方程可得。如果未知數(shù)的個(gè)數(shù)不只一個(gè)，而是二個(gè)或更多個(gè)，就變成為二元一次方程或多元一次方程，例如就是一個(gè)二元一次方程。顯然這個(gè)方程有無(wú)數(shù)多組解。