【文章內(nèi)容簡介】 比如等。這種未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)的方程（或方程組）就叫做不定方程（或方程組）。不定方程（組），顧名思義，就是方程（組）的解不確定，有的方程（組）有無數(shù)多組解，有的方程（組）沒有解，有的方程（組）有限組解。我們經(jīng)常關(guān)心這類方程（組）的整數(shù)解、正整數(shù)解或者有理數(shù)解。本期主要研究整系數(shù)一次不定方程的整數(shù)解，下面若不加聲明，方程的系數(shù)都是整數(shù)。要點講解：167。二元一次方程的整數(shù)解例1 求方程的整數(shù)解解 若x,y為整數(shù)解，則方程左邊為偶數(shù)，而右邊是奇數(shù)，不能成立，所以方程無整數(shù)解。由上例可以得到下面的定理定理1 若二元一次不定方程，a和b的最大公約數(shù)不能整除c，則方程沒有整數(shù)解。由此，當(dāng)a,b的最大公約數(shù)能夠整除c時，可以用這個最大公約數(shù)去除方程兩邊，從而使x和y的系數(shù)的最大公約數(shù)為1，這樣，為了解二元一次不定方程，只要考慮x,y的系數(shù)的最大公約數(shù)是1（即這兩個系數(shù)互質(zhì)）的情形就可以了，一般地，有定理2 若整數(shù)a,b互素，則方程有整數(shù)時，同時方程也有整數(shù)解。若是方程的一個整數(shù)解，則是方程的一個整數(shù)解。 ★★例2 求方程的整數(shù)解　　解 設(shè)x,y是已知方程的整數(shù)解 由x,y之中較小的系數(shù)4去除各項得　　把和中的整數(shù)分離出來，得, 　　因為5－y和x都是整數(shù)，則也是整數(shù)，設(shè)，k為整數(shù)，則，把代入已知方程得.　　所以（k為整數(shù)） 是方程的整數(shù)解，并且當(dāng)k取遍所有整數(shù)時，就得到方程的所有整數(shù)解?！　‘?dāng)k=0，得x=4,y=1，這是方程的一組解，而解的表達(dá)式中k的系數(shù)5與4，也是已知方程中y與x的系數(shù)?！　∫话愕亍Ｓ邢旅娴囊?guī)律?！　?定理3 如果a，b互素，且方程有一組整數(shù)解，則此方程的所有整數(shù)解可表示為?！?　　　這個結(jié)論可以通過把這組解直接代入已知方程進(jìn)行證明?！　∮蛇@個定理，只要能夠觀察出二元一次方程的一組整數(shù)解，就可以得到它的全部整數(shù)解?！铩铩锢? 求方程的正整數(shù)解。　　解 因3和5互素，所以原方程有整數(shù)解，首先觀察出方程 ①的一組整數(shù)解。顯然，即x=2,y=－1是方程①的一組解。于是x=56,y=－28是已知方程的一組解，故原方程的所有整數(shù)解為（k為整數(shù)）.為求正整數(shù)解，可以解不等式組　　得。即k=－10,－11,此時原方程的正整數(shù)解為　　. 　　說明 對于系數(shù)較大的不定方程，用觀察法去求其特殊解比較困難，這時可以用分離整數(shù)法或輾轉(zhuǎn)相除法求其特解?！铩铩铩锢? 求方程的所有正整數(shù)解。 　　 解 用x,y中較小的系數(shù)除方程各項得　?、俜蛛x整數(shù)為　?、?因為x,y是整數(shù)，故也是整數(shù)，于是有?！　≡儆幂^小的系數(shù)5除以方程各項，得 ③　　含（整數(shù)），由此得　?、苡捎^察和是方程④的一組解，將代入③得y=2,y=2代入②得x=25，于是方程①有一組解x=25,y=2，所以原方程的一切整數(shù)解為?。╰為整數(shù)）.　　由于要求方程的正整數(shù)解，所以　　解不等式，得t只能取0，1，因此得原方程的正整數(shù)解為.　★★★★★例5 求方程的所有整數(shù)解。　　解 先利用輾轉(zhuǎn)相除法求方程的一組整數(shù)解。， ①　?、凇　、?　　為用41和177表示①，把②代入③得?、馨癣俅擘艿谩　　　〖矗　∮纱丝芍?，是方程的一組解?！　∮谑恰∈窃匠痰囊唤M整數(shù)解，于是原方程的所有整數(shù)解為　?。╧為整數(shù)）.　　167。一次不定方程組的整數(shù)解　　解不定方程組 的基本思想仍然是消元。通過消去未知數(shù)z，將問題轉(zhuǎn)化為解不定方程.★★★★例6 某自然數(shù)與13的和是5的倍數(shù)，并且與13的差是6的倍數(shù)，求這樣的自然數(shù)中最小的3個。 解，設(shè)這個自然數(shù)為x,依題意得　　　　　兩式相減，消去x，得③　　可解得整數(shù)解　(k為整數(shù))　　代回①或②均得 .　　由，得，解得k=1，－1，－2，…，故x最小的3個值是7，37，67?！　?67。多元一次不定方程的整數(shù)解　　對于多元一次不定方程可以把方程化為二元方程來求解?！铩铩铩铩锢? 求方程的整數(shù)解?！　〗?方程變形為，設(shè)（t為整數(shù)） ① 　　則②對于方程②可以觀察出x=－t，y=t是其一組解，因而方程②的所有整數(shù)解為　　　?。檎麛?shù)） ③對于方程①可以觀察出是它的一組解，因而方程①的所有整數(shù)解為?。檎麛?shù)）將代入③，得原方程的所有整數(shù)解為　　　　　　　?。ň鶠檎麛?shù)） ★★★★★例8 （百錢買百雞）今有公雞每只五個錢，母雞每只三個錢，小雞每個錢三只。用100個錢，買100只雞，問公雞、母雞、小雞各買了多少只？　　解，設(shè)公雞、母雞、小雞各買了x,y,z只，由題意列方程組　　　　　?、倩喌?③—②得 　即 .由觀察可得是方程的一組解，于是是方程的一組解，因而的所有整數(shù)解為　　（t為整數(shù)）由題意知，所以　　　解之得　　　故.　　由于t是整數(shù)，故t只能取26，27，28，而且x,y,z還應(yīng)滿足　　　t　　 x　　 y　　 z　　26　　4　　18　　 78　　27　　8　　11　　 81　　28　　12　 4　　　84　　即可能有三種情況：4只公雞，18只母雞，78只小雞；或8只公雞，11只母雞，81只小雞；或12只公雞，4只母雞，84只小雞。A級★下列不定方程（組）中，沒有整數(shù)解的是（ ）　?。ˋ） （B）（C） 　?。―）★★有面額為壹圓、貳圓、伍圓的人民幣共10張，購買一把價值為18元的雨傘，不同的付款方式共有（ ）（A）1種　　　 （B）2種　　　 （C）3種　　　 （D）4種★★在方程的正整數(shù)解中，使的值最小的解是__________?！铩铩镆粋€兩位自然數(shù)等于它的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和的3倍，那么這樣的兩位數(shù)的個數(shù)是______。★★★（1）求方程的所有正整數(shù)解?！　　　?（2）求方程組 的正整數(shù)解。B　級★★有甲、乙、丙3種商品，某人若購甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若購甲4件、乙10件、丙1件共需33元，則此人購甲、乙、丙各1件共需（ ）　　（A）6元　　　 （B）8元　　　 （C）9元 　　?。―）10元★★★現(xiàn)有3個既約真分?jǐn)?shù)（a,b,c都是自然整數(shù)）。如果這3個分?jǐn)?shù)的分子都加上c，分母不變，則所得3個分?jǐn)?shù)的和為6，那么原來的3個既約分?jǐn)?shù)的乘積是（ ）（A）　　　 （B） 　　　（C） 　　?。―）★★★99名學(xué)生去劃船，大船每只可乘坐12人，小船每只可乘坐5人，如果這些學(xué)生把租來的船都坐滿，那么大船和小船應(yīng)分別租________只?！铩铩铩锫糜螆F一行50人到一旅館住宿，旅游館的客房有三人間、二人間、單人間三種，其中三人間的每人每天20元，二人間的每人每天30元，單人間的每天50元，如果旅游團共住滿了20間客房，問三種客房各住幾間？怎樣消費最低？參考答案A　級?。–），提示：顯然（A）有解（0，0），（B）有解（5，4），（D）有解（0，－1，1），故選（C）。　?。–），提示；設(shè)壹圓、貳圓、伍圓的人民幣各需x,y,z張，依題意得，問題轉(zhuǎn)化為求上述方程所組成方程組的非負(fù)整數(shù)解?！　=16,y=19，提示：不定方程的整數(shù)解為為求正整數(shù)解，解不等式解得，即k=－4,－3,－2,－1,0,1,2,3,4,5，而，故k=－1時，最小?！　?7，提示；設(shè)兩位數(shù)為，依題意得，即7a=2b，因為7與2互素，所以2|a，7|b又1≤a≤9,0≤b≤9,所以只有a=2,b=7，故只有。　?。?）可以觀察x=－1,y=9，是方程的一組整數(shù)解，則方程的解為 （k為整數(shù)），為求正整數(shù)解，需解不等式組 解得, 于是k=1，即原方程只有一組正整數(shù)解x=2,y=4。　　　 （2）消去Z，得。 ①方程①的所有整數(shù)解為 （k為整數(shù)）代入原方程組，得所有整數(shù)解為 （k為整數(shù)）　　由，得得k=－1,0?！　」试匠探M有兩組正整數(shù)解 .B　組　?。ˋ）提示：設(shè)甲、乙、丙三種的單價分別為x,y,z元，則有 由此得，故?！　。˙），提示；由題設(shè)有，即，由均為既約真分?jǐn)?shù)知，a為1或2，b為1或3，c為1或5，有，只能是a=2,b=3,c=5?！　。?，15）或（7，3），提示：設(shè)大船租x只，小船租y只，則，求此方程的正整數(shù)解即可。設(shè)三人間、二人間和單人間分別為x，y和z間，依題意得 因此，有 這里x,y,z都是非負(fù)整數(shù)，由于，∴z≤5，所以z只能取0，1，2，3，4，5。從而共有六種付法：（10,10,0），（11，8，1），（12，6，2），（13，4，3），（14，2，4），（15，0，5）。50人住宿總消費為所以當(dāng)z=5時，總消費最低。教學(xué)內(nèi)容：豐富多彩的有理數(shù)競賽題現(xiàn)以2000年、2001年第十二屆，第十三屆“五羊杯”（廣東省數(shù)學(xué)會舉辦）初中數(shù)學(xué)競賽試題的有理數(shù)競賽題為例，介紹有關(guān)解題方法。例1 8 642 097 536 420 875 314 208 653 192 086 431 97864 219 753的平均數(shù)是（ ）。（A）4 444 455 555 （B）5 555 544 444 （C）4 999 999 995 （D）5 999 999 994解 注意已知五個數(shù)的特點：右起1至5位每位數(shù)字之和為1＋3＋5＋7＋9=25，6至10位每位數(shù)字之和為0＋2＋4＋6＋8=20，于是五個數(shù)的平均數(shù)為4 444 455 555。選A。例2 已知 68 9□□□20 312≈690億（四舍五入），那么其中三位數(shù)□□□有（ ）種填寫的方法。（A）1 000 （B）999 （C）500 （D）499解 可填500，501，502，…，999，共500種填法。選C。例3 不超過700π（π是圓周率）的最大整數(shù)是（ ）。（A）2 100 （B）2 198 （C）2 199 （D）2 200解 ∵ 5π 6，故2 700π2 。所以應(yīng)選C。例4 （＋＋＋＋＋＋＋＋）247。（＋＋＋＋＋＋＋＋＋）的得數(shù)的整數(shù)部分是_________。解 原式，所以整數(shù)部分是40。例5（1）計算：908501－[7311389－（547236＋842731－495361）]。（2）計算。解:（1）先去掉括號，然后逐步逆用乘法分配律。原式=908501－7311389＋547236＋842731－495361=908501－731547＋547236－495361=908501－547495－495361=908501－495908=9086=5448。（2）原式。例6 今有帶余除法算式A247。B=C……8，如果A＋B＋C=2178，那么A=（ ）。（A）2000 （B）2001 （C）2071 （D）2100解 由已知A=BC＋8，代入得BC＋B＋C＋8=2178，故BC＋B＋C＋1=2171，即（B＋1）（C＋1）=13167。因為13與167均為質(zhì)數(shù)，所以只有或。故，或。都可得A=BC＋8=16612＋8=2000。選A。例7 若1059，1417，2312分別被自然數(shù)x除時，所得余數(shù)都是y，則x－y=（），