【正文】 =90176。，∴∠OBA+∠ABD=90176。，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切線；（2）如圖，過點(diǎn)D作DG⊥BE于G，∵DE=DB，∴EG=BE=5，∵∠ACE=∠DGE=90176。，∠AEC=∠GED，∴∠GDE=∠A，∴△ACE∽△DGE，∴sin∠EDG=sinA==，即CE=13，在Rt△ECG中，∵DG==12，∵CD=15，DE=13，∴DE=2，∵△ACE∽△DGE，∴=，∴AC=?DG=，∴⊙O的直徑2OA=4AD=．2. （2016湖北武漢8分）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，AD交⊙O于點(diǎn)E．(1) 求證：AC平分∠DAB；(2) 連接BE交AC于點(diǎn)F，若cos∠CAD＝，求的值．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；考查了切線的 性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，勾股定理，圓周角定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系的應(yīng)用【答案】 (1) 略；(2)【解析】（1）證明：連接OC，則OC⊥CD，又AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠OCA，又OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠CAO，∴AC平分∠DAB．（2）解：連接BE交OC于點(diǎn)H，易證OC⊥BE，可知∠OCA＝∠CAD，∴COS∠HCF＝，設(shè)HC＝4,FC＝5，則FH＝3．又△AEF∽△CHF，設(shè)EF＝3x，則AF＝5x，AE＝4x，∴OH＝2x ∴BH＝HE＝3x＋3 OB＝OC＝2x＋4在△OBH中，（2x）2＋（3x＋3）2＝（2x＋4）2化簡得：9x2＋2x－7＝0，解得：x＝（另一負(fù)值舍去）．∴．3. （2016江西8分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是弦AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，射線EP交于點(diǎn)F，交過點(diǎn)C的切線于點(diǎn)D．（1）求證：DC=DP；（2）若∠CAB=30176。，當(dāng)F是的中點(diǎn)時(shí)，判斷以A，O，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形？說明理由．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；垂徑定理．【分析】（1）連接BC、OC，利用圓周角定理和切線的性質(zhì)可得∠B=∠ACD，由PE⊥AB，易得∠APE=∠DPC=∠B，等量代換可得∠DPC=∠ACD，可證得結(jié)論；（2）由∠CAB=30176。易得△OBC為等邊三角形，可得∠AOC=120176。，由F是的中點(diǎn)，易得△AOF與△COF均為等邊三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．【解答】（1）證明：連接BC、OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠OCD=90176。，∴∠OCA+∠OCB=90176。，∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，∴∠OAC+∠B=90176。，∵CD為切線，∴∠OCD=90176。，∴∠OCA+∠ACD=90176。，∴∠B=∠ACD，∵PE⊥AB，∴∠APE=∠DPC=∠B，∴∠DPC=∠ACD，∴AP=DC；（2）解：以A，O，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；∵∠CAB=30176。，∴∠B=60176。，∴△OBC為等邊三角形，∴∠AOC=120176。，連接OF，AF，∵F是的中點(diǎn)，∴∠AOF=∠COF=60176。，∴△AOF與△COF均為等邊三角形，∴AF=AO=OC=CF，∴四邊形OACF為菱形．4. （2016遼寧丹東10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，CE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：∠BDC=∠A；（2）若CE=4，DE=2，求AD的長．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）連接OD，由CD是⊙O切線，得到∠ODC=90176。，根據(jù)AB為⊙O的直徑，得到∠ADB=90176。，等量代換得到∠BDC=∠ADO，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ADO=∠A，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)垂直的定義得到∠E=∠ADB=90176。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DCE=∠BDC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，解方程即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OD，∵CD是⊙O切線，∴∠ODC=90176。，即∠ODB+∠BDC=90176。，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90176。，即∠ODB+∠ADO=90176。，∴∠BDC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDC=∠A；（2）∵CE⊥AE，∴∠E=∠ADB=90176。，∴DB∥EC，∴∠DCE=∠BDC，∵∠BDC=∠A，∴∠A=∠DCE，∵∠E=∠E，∴△AEC∽△CED，∴，∴EC2=DE?AE，∴16=2（2+AD），∴AD=6．5. （2016四川南充）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90176。，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)O，OC=1，以點(diǎn)O為圓心OC為半徑作半圓． （1）求證：AB為⊙O的切線； （2）如果tan∠CAO=，求cosB的值． 【分析】（1）如圖作OM⊥AB于M，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理，可以證明OM=OC，由此即可證明． （2）設(shè)BM=x，OB=y，列方程組即可解決問題． 【解答】解：（1）如圖作OM⊥AB于M， ∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB， ∴OC=OM， ∴AB是⊙O的切線， （2）設(shè)BM=x，OB=y，則y2﹣x2=1 ①， ∵cosB==， ∴=， ∴x2+3x=y2+y ②， 由①②可以得到：y=3x﹣1， ∴（3x﹣1）2﹣x2=1， ∴x=，y=， ∴cosB==． 【點(diǎn)評】本題考查切線的判定、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住圓心到直線的距離等于半徑，這條直線就是圓的切線，學(xué)會(huì)設(shè)未知數(shù)列方程組解決問題，屬于中考?？碱}型． 6．（2016四川內(nèi)江）(10分)如圖9，在△ABC中，∠ABC＝90176。，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)H，連接BD，F(xiàn)H．(1)試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)當(dāng)AB＝BE＝1時(shí)，求⊙O的面積；(3)在(2)的條件下，求HGHB的值．DGHOCEFBA圖9DGHOCEFBA答案圖[考點(diǎn)]切線的性質(zhì)與判定定理，三角形的全等，直角三角形斜邊上中線定理、勾股定理。(1)直線BD與⊙O相切．理由如下：如圖，連接OB，∵BD是△ABC斜邊上的中線，∴DB＝DC．∴∠DBC＝∠C．∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB＝∠CED．∵∠C＋∠CED＝90176。，∴∠DBC＋∠OBE＝90176。．∴BD與⊙O相切； 3分(2)連接AE．∵AB＝BE＝1，∴AE＝．∵DF垂直平分AC，∴CE＝AE＝．∴BC＝1＋． 4分∵∠C＋∠CAB＝90176。，∠DFA＋∠CAB＝90176。，∴∠CAB＝∠DFA．又∠CBA＝∠FBE＝90176。，AB＝BE，∴△CAB≌△FEB．∴BF＝BC＝1＋． 5分∴EF2＝BE2＋BF2＝12＋(1＋)2＝4＋2． 6分∴S⊙O＝πEF2＝π． 7分(3)∵AB＝BE，∠ABE＝90176。，∴∠AEB＝45176。．∵EA＝EC，∴∠C＝176。． 8分∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90176。－176。＝176。．∵BH平分∠CBF，∴∠EBG＝∠HBF＝45176。．∴∠BGE＝∠BFH＝176。．∴BG＝BE＝1，BH＝BF＝1＋． 9分∴GH＝BH－BG＝．∴HBHG＝(1＋)＝2＋． 10分3．（2016四川宜賓）如圖1，在△APE中，∠PAE=90176。，PO是△APE的角平分線，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓交AE于點(diǎn)G．（1）求證：直線PE是⊙O的切線；（2）在圖2中，設(shè)PE與⊙O相切于點(diǎn)H，連結(jié)AH，點(diǎn)D是⊙O的劣弧上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交PA于點(diǎn)B，交PE于點(diǎn)C，已知△PBC的周長為4，tan∠EAH=，求EH的長．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)．【分析】（1）作OH⊥PE，由PO是∠APE的角平分線，得到∠APO=∠EPO，判斷出△PAO≌△PHO，得到OH=OA，用“圓心到直線的距離等于半徑”來得出直線PE是⊙O的切線；（2）先利用切線的性質(zhì)和△PBC的周長為4求出PA=2，再用三角函數(shù)求出OA，AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG，AE