【正文】 則 的長是 ．（結(jié)果保留 π） 【考點】 切線的性質(zhì)；弧長的計 算． 【分析】 根據(jù)切線的性質(zhì)和 OC=CD 證得 △ OCD 是等腰直角三角形，證得 ∠ COB=135176。，然后根據(jù)弧長公式求得即可． 【解答】 解： ∵ CD 是 ⊙ O 的切線， ∴ OC⊥ CD， ∵ OC=CD=2， ∴△ OCD 是等腰直角三角形， ∴∠ COD=45176。， ∴∠ COB=135176。， ∴ 的長 = = ． 故答案為 ． 【點評】 本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，弧長的計算等，切線的性質(zhì)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵． 2. （ 2022河北石家莊一模） 如圖， P 是雙曲線 y= （ x＞ 0）的一個分支上的一點，以點 P 為圓心， 1 個 單位長度為半徑作 ⊙ P，當(dāng) ⊙ P 與直線 y=3 相切時，點 P 的坐標(biāo)為 （ 1，4）或（ 2， 2） ． 【考點】 反比例函數(shù)綜合題． 【分析】 利用切線的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出， P 點的坐標(biāo)應(yīng)該有兩個求出即可； 【解答】 解：（ 1）設(shè)點 P 的坐標(biāo)為（ x， y）， ∵ P 是雙曲線 y= （ x＞ 0）的一個分支上的一點， ∴ xy=k=4， ∵⊙ P 與直線 y=3 相切， ∴ p 點縱坐標(biāo)為： 2， ∴ p 點橫坐標(biāo)為： 2， ∵⊙ P′與直線 y=3 相切， ∴ p 點縱坐標(biāo)為： 4， ∴ p 點橫坐標(biāo)為： 1， ∴ x=1 或 2， P 的坐標(biāo)（ 1， 4）或（ 2， 2）； 故答案為：（ 1， 4）或（ 2， 2）； 【點評】 此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是解題關(guān)鍵． 3. （ 2022黑龍江齊齊哈爾一模） 若圓錐的主視圖為等腰直角三角形，底面半徑為 1，則圓錐側(cè)面積為 ____________． 答案： 2? 4. (2022山東棗莊模擬 )小明把半徑為 1 的光盤、直尺和三角尺形狀的紙片按如圖所示放置于桌面上，此時，光盤與 AB， CD 分別相切于點 N， M．現(xiàn)從如圖所示的位置開始 ，將光盤在直尺邊上沿著 CD 向右滾動到再次與 AB 相切時，光盤的圓心經(jīng)過的距離是 ． 【考點】 切線的性質(zhì)；軌跡． 【專題】 應(yīng)用題；壓軸題． 【分析】 根據(jù)切線的性質(zhì)得到 OH=PH，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出 PH 的長，得到答案． 【解答】 解：如圖，當(dāng)圓心 O 移動到點 P 的位置時，光盤在直尺邊上沿著 CD 向右滾動到再次與 AB 相切，切點為 Q， ∵ ON⊥ AB， PQ⊥ AB， ∴ ON∥ PQ， ∵ ON=PQ， ∴ OH=PH， 在 Rt△ PHQ 中， ∠ P=∠ A=30176。， PQ=1， ∴ PH= ， 則 OP= ， 故答案為： ． 5. (2022上海浦東模擬 )已知： ⊙ O ⊙ O2的 半徑長分別為 2 和 R，如果 ⊙ O1 與 ⊙ O2相切，且兩圓的圓心距 d=3， 則 R 的值為 1 或 5 【點評】 本題考查的是直線與圓相切的知識，掌握圓的切線垂直于過切點的半徑是解題的關(guān)鍵 . 6. （ 2022江蘇丹陽市丹北片一模） 如圖，已知 ⊙ P 的半徑為 1，圓心 P 在拋物線上運動，當(dāng) ⊙ P 與 x 軸相切時，圓心 P 的坐 標(biāo)為 ． 答案： ? ?1,2? ,（ 0， 1） 7. （ 2022江蘇丹陽 市丹北片一模） 如圖是一塊學(xué)生用直角三角板，其中∠ A′=30176。，三角板的邊框為透明塑料制成 (內(nèi)、外直角三角形對 應(yīng)邊互相平行且三處所示寬度相等 )．將直徑為 4cm的 ⊙ O 移向三角板，三角板的內(nèi) ABC的斜邊 AB 恰 好等于 ⊙ O 的直徑，它的外 △ A′B′C′的直角邊 A′C′ 恰好與 ⊙ O 相切 (如圖 2)，則邊 B′C′的長為 cm． 答案： 3+ 3 8. （ 2022江蘇省南京市鐘愛中學(xué)九 年級下學(xué)期期初考試） 如圖，點 O 是 △ ABC 的內(nèi)切圓的圓心，若 ∠ BAC=80176。，則 ∠ BOC= （填度數(shù)）． 答案： 130176。 9. （ 2022上海市閘北區(qū)中考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測 4月卷） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中， ⊙ C 的半徑為 r，點 P 是與圓 C 不重合的點，給出如下定義：若點 39。P為 射線 ． ． CP 上一點，滿足 2r39。CP ??，則稱點 39。P為點 P 關(guān)于 ⊙ C 的 反演點 ．如圖 為點 P 及其關(guān)于 ⊙ C 的反演點 39。P的示意圖．寫出點 M (12， 0)關(guān)于以原點 O 為圓心， 1 為半徑的 ⊙ O 的反演點 39。M的坐標(biāo) ▲ ． ABCA39。B39。C39。O O寬寬寬C39。B39。A39。CBA 圖 1 圖 2 x y P39。 C P O 答案： （ 2， 0）； 三 .解答題 1. （ 2022河南洛陽一模） （ 9 分）如圖 8，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。 ，以點 A 為圓心， AC 為半徑，作 ☉A，交 AB 于點 D，交 CA 的延長線于點 E，過點 E 作 的平行線EF 交 OA 于點 F，連接 AF， BF， DF. (l)求證： △ ABC≌ △ ABF。 (2)填空： ① 當(dāng) ∠ CAB= 176。 時，四邊形 ADFE 為菱形； ② 在 ① 的條件下， BC= cm 時，四邊形 ADFE 的面積是 6 3 cm2. （ 1）證明： ∵ EF∥ AB， ∴∠ E=∠ CAB， ∠ EFA=∠ FAB， ∵∠ E=∠ EFA， ∴∠ FAB=∠ CAB， ………………………………………………………………………… ..3 在 △ABC 和 △ABF 中， AF ACFAB CABAB AB???? ???? ?? ∴△ ABC≌△ ABF(SAS)； …………………………… .…… .5 （ 2） ① 60176。，② 6………………………………………………………… .9 2. （ 2022遼寧丹東七中一模） （ 10分） 如圖， AB 為半圓 O 的直徑，點 C 在半圓 O 上，過點 O 作 BC 的平行線交 AC 于點 E ，交過點 A 的直線于點 D ，且BACD ??? . （ 1）求證： AD 是半圓 O的切線； （ 2）若 2?BC ， 2?CE ，求 AD 的長 （ 1）證明： ∵ AB 為半 圓 O 的直徑 ， O B A C E D O B A C E D ∴ ?90??BCA 又 ∵ BC ∥ OD ， ∴ ACOE? ， ∴ 090???? D AED . ∵ BACD ??? ， ∴ 90B A C DA E? ? ? ? ?. ∴ 半徑 OA⊥ AD 于點 A， ∴ AD 是半圓 O 的切線 . （ 2） 解： ∵ 在 ⊙ O 中， ACOE? 于 E， ∴ 222 ?? CEAC . 在 ABCRt? 中， 322)22( 2222 ????? BCACAB ， 3OA? . ∵ D BAC? ?? ， OAD C? ?? ∴ DOA? ∽ ABC? ： ∴ BCOAACAD?, ∴2322 ?AD ∴ 6?AD 3. （ 2022湖南 湘潭 一模） （本小題 10分）如圖，已知 AB 是 O⊙ 的直徑，點 C 在O⊙ 上，過點 C 的直線 與 AB 的延長線交于點 P ， AC PC? ， 2COB PC B? ? ? ． （ 1）求證： PC 是 O⊙ 的切線； （ 2）求證： 12BC AB? ； （ 3）點 M 是 弧 AB的中點， CM 交 AB 于點 N ，若 4AB? ，求 MN MC 的值． 解：（ 1）∵ A C OAOCOA ???? , ， 又∵ P C BC O BAC O B ?????? 2,2 O N B P C A M O N B P C A M A AC O PC B? ? ? ? ? ?． 又∵ AB 是 O⊙ 的直徑， 90AC O OC B? ? ? ? ? 176。， 90PC B OC B? ? ? ? ? 176。，即 OC CP⊥ ，而 OC 是 O⊙ 的半徑， ?PC 是 O⊙ 的切線． （ 2）∵ PAPCAC ????? , ， A AC O PC B P? ? ? ? ? ? ? ?， 又∵ ,A C OAC O B ????? P C BPC B O ???? ， 12C O B C B O B C O C B C A B? ? ? ? ? ? ? ?， ，． （ 3）連接 MA MB， ， ∵點 M 是弧 AB 的中點， BC M AB M? ? ? ? ，而 BMN BMC? ? ? ， MB N MC B?△ ∽ △ ， M MNMC BM??，∴ MN MC=BM2， 又∵ AB 是 O⊙ 的直徑， AM=BM， 90AMB AM BM? ? ? ?176。，． ∵ 22,4 ??? BMAB ， ∴ MN MC=BM2=8 4. （ 2022河大附中一模） (本題滿分 9 分 ) 如圖 (1)，線段 AB=4，以線段 AB 為直徑畫 ☉O， C 為 ☉O 上的動點，連接 OC，過點 A作 ☉O的切線與 BC 的延長線交于點 D， E 為 AD 的中點，連接 CE． (1)求證： CE 是 ☉O的切線； 第 1 題 (2)① 當(dāng) CE= 時，四邊形 AOCE 為正方形？ ② 當(dāng) CE= 時， △ CDE 為等邊三角形時？ 解：（ 1）連結(jié) AC、 OE ∵ AB為直徑 ∴ ∠ ACB=∠ ACD=90176。 ∵ E為 AD中點 ∴ EA=EC ∵ OC=OA,OE=OC ∴△ OCE≌△ OAE ∴∠ OCE=∠ OAE=90176。 ∴ CE是 ☉O的切線 （ 2） ① 2 ② 332 5. （ 2022黑龍江大慶一模） （本題 9 分） 如圖，直徑為 10 的半圓 O， tan∠ DBC= 43， ∠ BCD 的平分線交 ⊙ O 于 F， E 為 CF 延長線上一點，且 ∠ EBF=∠ GBF． （ 1）求證： BE 為 ⊙ O 切線； （ 2）求證： CEFGBG ??2； （ 3）求 OG 的值． GEFDOB C 答案： 證明：（ 1）由同弧所對的圓周角相等得 ∠ FBD=∠ DCF， 又 ∵ CF 平分 ∠ BCD， ∴∠ BCF=∠ DCF， 已知 ∠ EBF=∠ GBF， ∴∠ EBF=∠∠ BCF， ∵ BC 為 ⊙ O 直徑， ∴∠ BFC=90176。， ∴∠ FBC+∠ FCB=90176。， ∴∠ FBC+∠ EBF=90176。， ∴ BE⊥ BC，∴ BE 為 ⊙ O 切線； 3 分 （ 2 ）證明：由（ 1 ）知 ∠ BFC=∠ EBC=90176。， ∠ EBF=∠ ECB ， ∴△ BEF∽△ CEB ，∴ CEEF ??2，又 ∠ EBF=∠ GBF， BF⊥ EG， ∴△ BEF≌ △ BGF， ∴ BE=BG， EF=FG，∴ CEFGBG ?2； 6 分 （ 3）如圖，過 G 作 GH⊥ BC 于 H，由已知 CF 平分∠ BCD 得 GH=GD，又由 tan∠ DBC= 43得 sin∠ DBC= 5，∵ BC=10，∴ BD=8， BG=BDGD=8 GD，∴ 538 ??? GDGDBGGH，∴GD=GH=3， BG=5， BH=4，∵ BC=10，∴ O