《類柱函數(shù)》ppt課件-文庫(kù)吧
2024-12-31 06:48 本頁(yè)面
【正文】 ? ??? 1 / 2l ? 階貝塞爾方程的通解為 1 1 / 2 1 ( 1 / 2 )( ) ( ) ( )lly x C J x C J x? ? ??? 數(shù)學(xué)物理方法 （ 3 ）整數(shù) m 階貝塞爾方程 在點(diǎn) 00 ?x的鄰域上求解 m 階貝塞爾方程 2 2 239。 39。 39。 ( ) 0x y x y x m y? ? ? ?（ m 為自然數(shù)） （ 9 . 3 . 3 4 ） 我們引入新的 諾伊曼 函數(shù) ( ) c o s ( )()sinvvvJ x v J xNxv?? ??? （ 9 . 3 . 3 7 ） 這 樣 ， 整 數(shù) 階 貝 塞 爾 方 程 的 通 解 不 是12 ( ) ( )mmC J x C J x??，而是 12 ( ) ( )mmC J x C N x? （ 9. 3 . 39 ） 數(shù)學(xué)物理方法 通常 又 取線性獨(dú)立的 ( 1 )( 2 )H ( ) J ( ) iN ( )H ( ) J ( ) iN ( )x x xx x x? ? ?? ? ?? ??? ??? （ 1 1 . 1 . 3 ） 并稱之為 第一種 和 第二種漢克爾函數(shù) 。 總結(jié)： v 階貝塞爾方程的解可為 ( ) J ( ) J ( )y x A x B x?? ??? （ 1 1. 1. 1 ） 或 ( ) J ( ) N ( )y x A x B x???? ( 1 1. 1 . 2) 于是，貝塞爾方程的通解又可以表為 ( 1 ) ( 2 )( ) H ( ) H ( )y x A x B x???? ( 1 1 .1 .4 ) 貝塞爾函數(shù)，諾伊曼函數(shù)、漢克爾函數(shù) 又分別稱為 第一類、第二類、第三類 柱函數(shù)。 數(shù)學(xué)物理方法 最后 總結(jié) ， v 階貝塞爾方程的解通常有下列三種形式： （ 1 ） ( ) J ( ) J ( ) (y x A x B x?? ??? ? ?整數(shù) ) （ 2 ） ( ) J ( ) N ( ) (y x A x B x?? ??? 可取 任意 數(shù) ) （ 3 ） ( 1 ) ( 2 )( ) H ( ) H ( ) (y x A x B x?? ??? 可取 任意 數(shù) ) 數(shù)學(xué)物理方法 （二） 0x ? 和 x ?? 時(shí)的行為 0x ? 處的自然邊界條件 由表達(dá)式（ 9. 3. 21 ） , ( 9. 3 . 22) , ( 9. 3 . 24) , ( 9 . 3. 38) 可以看出，當(dāng) 0x ? 時(shí)， 0 ( ) 1 , ( ) 0 , ( )( ) , ( )vvvmJ x J x J xN x N x?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? 因此，如果所研究的區(qū)域包含 0x ? 在內(nèi)，往往要排除0 ()Nx、()mNx，()vJx?，()vNx，而只剩下0 ()Jx，()mJx和()vJx，這樣在 0x ? 具有 自然的邊界條件 ，只需要零階和正階的貝塞爾函數(shù)。 數(shù)學(xué)物理方法 再來(lái)看x ??的情況 在后面柱函數(shù)的漸近公式中我們將看到 ( 1 ) ( / 2 / 4 )2()i x vvH x ex????? ( 2 ) ( / 2 / 4 )2()i x vvH x ex???? ? ? 2( ) c o s ( / 2 / 4 )vJ x x vx????? 2( ) s in ( / 2 / 4 )vN x x vx????? 當(dāng) x ?? 時(shí)，它們?nèi)慷?0? ，因此，研究圓柱外部問(wèn)題時(shí)，兩個(gè)線性獨(dú)立特解如 ()vJx和 ()vNx，或者 ( 1 ) ()vHx和 ( 2 ) ()vHx都要保留，不可任意舍棄兩者之一。 數(shù)學(xué)物理方法 （三）遞推公式 由貝塞爾函數(shù)的表達(dá)式 201J ( ) ( 1 ) ( )! ( 1 ) 2kkkxxkk?? ?????? ? ? ?? 220() 11[ ] [ ( 1 ) ( ) ]! ( 1 ) 2k k kvvkJxdd xd x x d x k k???????? ? ??2 2 1121( 1 ) ( )! ( 1 ) 2k k kkk xkk??
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