類柱函數(shù)ppt課件-展示頁
2025-01-24 06:48本頁面
【正文】 兩邊顯然不相等，除非是同一個常數(shù)，把該常數(shù)記為 ?? ， 22221 1 d R d R m ZR d R d Z ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 這就分解為兩個常微分方程 0ZZ ??? （ 9 . 1 . 1 8 ） 22221 ( ) 0d R d R m Rdd ?? ? ? ?? ? ? ? ( 9 . 1 . 1 9 ) 數(shù)學(xué)物理方法 當(dāng) 0? ?. 對于方程 ( 9 . 1 . 1 9 ) ，通常作代換 x ???，把自變數(shù)?從變換到 x （注意非直角坐標(biāo)），則方程化為 22221 ( 1 ) 0d R d R m Rd x x d x x? ? ? ?， （ 9 . 1 . 2 2 ） 即： 22 2 22 ( ) 0d R d Rx x x m Rd x d x? ? ? ? 這叫作 m 階 貝塞爾方程 。 數(shù)學(xué)物理方法 如果 0? ? ， 則 得到 22 2 22 ( ) 0d R d Rx x x m Rd x d x? ? ? ? （ 9 . 1 . 2 5 ） 這叫作 虛宗量貝塞爾方程 。39。 222 ???? yxxyyx ? （階 ?? 整數(shù)或半奇數(shù)） （ 9. 3 . 18 ） 從而得到1sv?時 ? 階 貝塞爾函數(shù) ， 201( ) ( 1 )! ( 1 ) 2kkkxJxkk?? ???????? ??? ? ? ??? （ 9 . 3 . 2 1 ） 2sv??時 ，同樣的方法得到 貝塞爾函數(shù) kkk xkkxJ20 2)1(!1)1()( ????? ???????????? ??? ?（ 9. 3. 22 ） 數(shù)學(xué)物理方法 （ 2 ）半奇數(shù) 1 / 2l ? 階貝塞爾方程 在點0 0x ?的鄰域上求解 1 / 2l ? 階貝塞爾方程 2 2 239。 39。 1 / 2 2( 1 / 2 )01( ) ( 1 )! ( 1 / 2 1 ) 2lkklkxJxk l k? ? ????????? ??? ? ? ? ? ??? 1 / 2l ? 階貝塞爾方程的通解為 1 1 / 2 1 ( 1 / 2 )( ) ( ) ( )lly x C J x C J x? ? ??? 數(shù)學(xué)物理方法 （ 3 ）整數(shù) m 階貝塞爾方程 在點 00 ?x的鄰域上求解 m 階貝塞爾方程 2 2 239。 39。 總結(jié)： v 階貝塞爾方程的解可為 ( ) J ( ) J ( )y x A x B x?? ??? （ 1 1. 1. 1 ） 或 ( ) J ( ) N ( )y x A x B x???? ( 1 1. 1 . 2) 于是，貝塞爾方程的通解又可以表為 ( 1 ) ( 2 )( ) H ( ) H ( )y x A x B x???? ( 1 1 .1 .4 ) 貝塞爾函數(shù)，諾伊曼函數(shù)、漢克爾函數(shù) 又分別稱為 第一類、第二類、第三類 柱函數(shù)。 數(shù)學(xué)物理方法 再來看x ??的情況 在后面柱函數(shù)的漸近公式中我們將看到 ( 1 ) ( / 2 / 4 )2()i x vvH x ex????? ( 2 ) ( / 2 / 4 )2()i x vvH x ex???? ? ? 2( ) c o s ( / 2 / 4 )vJ x x vx????? 2( ) s in ( / 2 / 4 )vN x x vx????? 當(dāng) x ?? 時，它們?nèi)慷?0? ，因此，研究圓柱外部問題時，兩個線性獨立特解如 ()vJx和 ()vNx，或者 ( 1 ) ()vHx和 ( 2 ) ()vHx都要保留，不可任意舍棄兩者之一。諾伊曼函數(shù)是正負(fù)階貝塞爾函數(shù)的線性組合，因此（ 1 1 . 1 . 5 ）和（ 1 1 . 1 . 6 ）也適用于諾伊曼函數(shù) ()vNx。 總之，如用 ()vZx表示 v 階的第一類或第二類或第三類柱函數(shù)，總是有： 1d [ ( ) ] ( )dvvvvx Z x x Z xx????? ( 1 1. 1 . 8) 1
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