類柱函數(shù)ppt課件-在線瀏覽
2025-03-04 06:48本頁面
【正文】 d [ ( ) ] ( )dvvvvx Z x x Z xx ?? （ 1 1. 1. 9 ） 把兩式左端展開 , 又可改寫為 1( ) ( ) ( )vvvZ x Z x Z xx? ?? ? ? ? () 1( ) ( )vvvZ Z x Z xx? ?? ?? () 數(shù)學物理方法 從 ()和 ()消去 Z?或消去 Z??可得 11( ) ( ) 2 ( )v v vZ x Z x Z x?? ???112( ) ( ) ( )v v vvZ x Z x Z xx?? ? ? ?即為從 )(1 xZv?和 )(xZv 推算 )(1 xZv? 的遞推公式 . 上式也可以寫成為 11( ) ( ) 2 ( )v v vvZ x Z x Z xx?? ?? （ ） 11( ) ( ) 2 ( )vvZ x Z x Z x??? ??? （ ） 任一滿足一組遞推關系的函數(shù) )(xZv統(tǒng)稱為 柱函數(shù) 數(shù)學物理方法 例 1 證明下式成立 1110 J ( ) d J ( )x mmmmx x x x x?????特別是 22120 J ( ) d J ( )x x x x x x??【 證明 】 利用 遞推公式 () 即 1d [ J ( ) ] J ( )dvvvvx x x xx ??， 令 1m? ?? 則 數(shù)學物理方法 兩邊積分，故得到 111d [ J ( ) ] J ( )dmmmmx x x xx??? ?111 0J ( ) J ( ) dxmmmmx x x x x??? ? ?1m?其中取 22120 J ( ) d J ( )x x x x x x??數(shù)學物理方法 例 2 、計算 2J ( ) dx x x? 解：根據(jù)公式11( ) ( ) 2 ( )vvZ x Z x Z x??? ???有 2 0 1J ( ) J ( ) 2 J ( )x x x??? 021J ( ) d 2 J (J ) d )( dxxx x x x x xx ???? ? ?1 1 010J ( ) 2 [ J ( ) J ( ) d ]J ( ) 2 J ( )x x x x x xx x x c?? ? ?? ? ? ??1 11J ( ) 2 [ J ( J ]( ) d)x x x x xx? ? ? ?1d [ ( ) ] ( )dvvvvx Z x x Z xx?????1d [ ( ) ] ( )dvvvvx Z x x Z xx ??數(shù)學物理方法 貝塞爾方程 （一）貝塞爾函數(shù)和本征值問題 在第九章柱坐標下拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程分離變數(shù)的 0? ? ， 0? ? ， 0? ? 的情況。因為 0? ? 引至虛宗量貝塞爾方程，其解恒不為零。其中 0? ? 比較簡單，這里著重介紹 0? ? 的情況。由于圓柱軸上的自然邊界條件，決定了只能取非負階的貝塞爾函數(shù) ( ) ( ) ( )mmR J x J? ? ??? （ 0m ? ） （ 1 2 . 2 . 1 ） 數(shù)學物理方法 柱側(cè) 的 齊次 邊界 條件 決定 了 上式 中 ? 的 可能 值 ， 這 寫 就是方程 在 給定 邊界 下 的 本征值 。 這個條件也就是0( ) ( ) 0mRJ ? ? ???，因此本征值 ( ) ( ) 20( / )mmnn x?? ? （ 1 1 . 2 . 2 ） 其中 ()mnx是 ()mJx的第 n 個零點。它還可以用如下公式計算 ()2 4 612( 1 )8 3 ( 4 ) 1 5 ( 4 ) 1 0 5 ( 4 )mnB C D ExAA A A A?? ? ? ? ? ? 221 π( 2 ) , 4 , 7 3 1 , 8 3 9 8 2 3 7 7 922A m n B m C B D B B? ? ? ? ? ? ? ? ? 數(shù)學物理方法 （ 2 ） 第二 類 齊次 邊界 條件 0( ) 0R ?? ? 這個條件就是 0 0d [ J ( ) ] J ( ) 0d mm ??? ? ? ? ?? ? ??? （ 1 1 . 2 . 3 ） 如果 0? ? ，則條件也就是0
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