指數(shù)與指數(shù)函數(shù)高考復(fù)習(xí)-文庫吧
2024-12-30 01:49 本頁面
【正文】 ＋ (32 3 )6－ ； ( 2) 247。??????1 － 2 3ba3a ( a 0 ， b 0) ． 變式訓(xùn)練 1解 ( 1) 原式 ＝??????23 1 ＋ (23 ) 2 ＋ (2 3 ) 6 －??????23 ＝ 2 ＋ 4 27 ＝ 1 10. ( 2) 令 a ＝ m ， b ＝ n ，則原式＝m4－ 8 mn3m2＋ 2 mn ＋ 4 n2 247。??????1 －2 nm m ＝m ( m3－ 8 n3)m2＋ 2 mn ＋ 4 n2 m2m － 2 n＝m3( m － 2 n ) ( m2＋ 2 mn ＋ 4 n2)( m2＋ 2 mn ＋ 4 n2) ( m － 2 n )＝ m3＝ a . 31?32)32(323323134428bababaa???314141 31 213131 31例 2 ( 1) 函數(shù) y ＝xax| x | ( 0 a 1) 圖象的大致形狀是下列圖形中 的 ________ ． ( 填序號(hào) ) ( 2) 若函數(shù) y ＝ ax＋ b － 1 ( a 0 且 a ≠ 1) 的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則 a 、 b 的取值范圍是 __________ ． ( 3) 方程 2x＝ 2 － x 的解的個(gè)數(shù)是 ________ ． 指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 解析 ( 1) 函數(shù)定義域?yàn)?{ x | x ∈ R ， x ≠ 0} ，且 y ＝xax| x |＝????? ax， x 0－ ax， x 0. 當(dāng) x 0 時(shí)，函數(shù)是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，因?yàn)?0 a 1 ，所以函數(shù)在 (0 ，＋ ∞ ) 上是減函數(shù)；當(dāng) x 0 時(shí)，函數(shù)圖象與指數(shù)函數(shù) y ＝ ax ( x 0,0 a 1) 的圖象關(guān)于 x 軸對(duì)稱，函數(shù)在 ( － ∞ ， 0)上是增函數(shù)，故填 ④ . ( 2) 函數(shù) y ＝ ax＋ b － 1 的圖象經(jīng)過第二、三、四 象限，大致圖象如圖．所以函數(shù)必為減函數(shù)． 故 0 a 1. 又當(dāng) x ＝ 0 時(shí)， y 0 ，即 a0＋ b － 10 ， ∴ b 0. ( 3) 方程的解可看作函數(shù) y ＝ 2x和 y ＝ 2 － x 的 圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出這兩個(gè)函數(shù)圖 象 ( 如圖 ) ． 由圖象得只有一個(gè)交點(diǎn)，因此該方程只有一 個(gè)解． 答案 ( 1) ④ ( 2) 0 a 1 ， b 0 ( 3) 1 ( 1) 與指數(shù)函數(shù)有 關(guān)的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對(duì)稱變換得到其圖象． ( 2) 一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解． 探究提高 ( 1) 函數(shù) y ＝ ex ＋ e － xe x － e － x 的圖象大致為 ________( 填序號(hào) ) ． 變式訓(xùn)練 2 y ＝ex＋ e－ xex－ e－ x ＝ 1 ＋2e2 x－ 1，當(dāng) x 0 時(shí)， e2 x－ 10 ，且隨著 x 的增大而增大，故 y ＝ 1 ＋2e2 x－ 11 且隨著 x 的增大而減小，即函數(shù) y 在 (0 ，＋ ∞ ) 上恒大于 1 且單調(diào)遞減．又函數(shù) y是奇函數(shù)，故 ① 正確． ① ( 2) k 為何值時(shí)，方程 |3 x － 1| ＝ k 無解？有一解？有兩解？ 解 函數(shù) y ＝ |3x－ 1| 的圖象是由函數(shù) y ＝ 3x 的圖象向下平移一個(gè)單位后，再把位于 x 軸下方的圖象沿 x 軸翻折到 x 軸上方得到 的，函數(shù)圖象如圖所示． 當(dāng) k 0 時(shí)，直線 y ＝ k 與函數(shù) y ＝ |3x－ 1| 的圖象無交點(diǎn)，即方程無解；當(dāng) k ＝ 0 或 k ≥ 1 時(shí)，直線 y ＝ k 與函數(shù) y ＝ |3x－ 1| 的圖象有惟一的交點(diǎn)，所以方程有一解； 當(dāng) 0 k 1 時(shí)，直線 y ＝ k 與函數(shù) y ＝ |3 x － 1| 的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以方程有兩解． 例 3 設(shè) a 0 且 a ≠ 1 ，函數(shù) y ＝ a 2 x ＋ 2 a x － 1 在 [ － 1,1] 上的最 大值是 14 ，求 a 的值． 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 換元令 t ＝ a x ，利用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)建方程獲解． 解 令 t ＝ a x ( a 0 且 a ≠ 1) ， 則原函數(shù)化為 y ＝ ( t ＋ 1) 2 － 2 ( t 0) ． ① 當(dāng) 0 a 1 時(shí)， x ∈ [ － 1,1 ] ， t ＝ ax ∈??????a ，1a ， 此時(shí) f ( t ) 在??????a ，1a 上為增函數(shù)． 所以 f ( t ) ma x ＝ f??????1a＝??????1a＋ 12－ 2 ＝ 14. 所以??????1a＋ 12＝ 16 ， 所以 a ＝－15或 a ＝13. 又因?yàn)?a 0 ，所以 a ＝13. ② 當(dāng) a 1 時(shí)， x ∈ [ － 1,1 ] ， t ＝ ax∈??????1a， a ， 此時(shí) f ( t ) 在??????1a， a 上是增函數(shù)． 所以
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