函數(shù)模型的應(yīng)用舉例課件人教a版必修-文庫吧
2024-12-29 07:25 本頁面
【正文】 中間有一段不太長的時間 ， 學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài) ，隨后學(xué)生的注意力開始分散 ， 分析結(jié)果和實驗表明 ，用 f(x)表示學(xué)生掌握和接受概念的能力 (f(x)值越大 ，表示接受的能力越強 )， x表示提出和講授概念的時間(單位： min)， 可有以下的公式： f ( x ) ＝????? － x2＋ x ＋ 43 ， 0 x ≤ 10 ，59 ， 10 x ≤ 16 ，－ 3 x ＋ 107 ， 16 x ≤ 30. (1)開講后多少分鐘 ， 學(xué)生的接受能力最強 ？ 能維持多長時間 ？ (2)開講后 5 min與開講后 20 min比較 ， 學(xué)生的接受能力何時強一些 ？ (3)一個數(shù)學(xué)難題 ， 需要 55的接受能力以及 13 min時間 ， 老師能否及時在學(xué)生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題 ？ ? [解 ] (1)當(dāng) 0x≤10時 ， ? f(x)＝－ ＋ ＋ 43＝－ (x－ 13)2＋ . ? 故 f(x)在 (0,10]上單調(diào)遞增 ， 最大值為 ? f(10)＝－ (－ 3)2＋ ＝ 59； ? 當(dāng) 16x≤30時 ， f(x)單調(diào)遞減 ， ? f(x)－ 3 16＋ 107＝ 59. ? 因此 ， 開講后 10 min， 學(xué)生達到最強的接受能力(值為 59)， 并維持 6 min. ? (2)f(5)＝－ (5－ 13)2＋ ＝ － ＝ ， ? f(20)＝－ 3 20＋ 107＝ 47＝ f(5)． ? 因此 ， 開講后 5 min學(xué)生的接受能力比開講后 20 min強一些 ． ? (3)當(dāng) 0x≤10時 ， 令 f(x)＝ 55， ? 則－ (x－ 13)2＝－ ， (x－ 13)2＝ 49. ? 所以 x＝ 20或 x＝ 6. ? 但 0x≤10， 故 x＝ 6. ? 當(dāng) 16x≤30時 ， 令 f(x)＝ 55， 則－ 3x＋ 107＝ 55. 所以 x ＝ 1713. 因此，學(xué)生達到 ( 或超過 ) 55 的接受能力的時間為 1713－ 6 ＝ 1113 13 ( m in ) ，所以老師來不及在學(xué)生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道難題 ． ? [點評 ] 本題是常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)混合在一起的分段函數(shù)，自變量的取值不同函數(shù)解析式可能不一樣，這一點要特別注意．另外，函數(shù)的最值也是通過先求每一段的最值，然后再作比較而求得． 變式體驗 1 某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面的統(tǒng)計規(guī)律 ： 每生產(chǎn)產(chǎn)品 x 百臺 ， 其總成本為 G ( x ) 萬元 ， 其中固定成本為 2 萬元 ， 并且每生產(chǎn) 100 臺的生產(chǎn)成本為 1 萬元 ( 總成本 ＝ 固定成本 ＋生產(chǎn)成本 ) ， 銷售收入 R ( x ) 滿足 R ( x ) ＝????? － x2＋ x － ， 0 ≤ x ≤ ， x 5. 假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡 ， 那么根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律 ， 解決下列問題 ： ? (1)要使工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量 x應(yīng)控制在什么范圍？ ? (2)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時盈利最大？并求此時每臺產(chǎn)品的售價為多少？ 解： 依題意， G ( x ) ＝ x ＋ 2 ，設(shè)利潤函數(shù)為 f ( x ) ，則 f ( x ) ＝????? － x2＋ x － ? 0 ≤ x ≤ 5 ? － x ? x 5 ?.
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