【正文】 ?????? ssS?F?S?F?A ’0D ’G ’C ’E ’F ’H ’? ?s2ssF ?? 2 3 0 A B C D F E 順時(shí)針 S 平面 S ? H G 只包圍極點(diǎn)不包圍零點(diǎn) S?當(dāng) s沿圍線 順時(shí)針變化一周時(shí)，因子 (s+2)和 (s+0)1的幅角 分別為 00 和 3600即 即映射 在 F(s)平面上逆時(shí)針包圍原點(diǎn)一周。 推廣：當(dāng)圍線 包含 F(s)的 P個(gè)極點(diǎn)，在 F(s)平面上的映射 應(yīng)逆時(shí)針包圍原點(diǎn) P次。 ? ? ? ? ? ? 036002sF ??????????? ssS?F?S?F? 2 0A B CDF E順時(shí)針S 平面S?HG 1E ’0A ’G ’C ’F ’H ’B ’D ’ 1? ? s 2ssF ?? 包圍 Z 個(gè)零點(diǎn)和 P 個(gè)極點(diǎn) 由上述分析，如果圍線 包圍 Z個(gè)零點(diǎn)和 P個(gè)極點(diǎn)，那么 當(dāng) s沿 順時(shí)針繞行一周時(shí)， 應(yīng)順時(shí)針包圍原點(diǎn) ZP次， 也即 順時(shí)針包圍原點(diǎn)的次數(shù)為： N=ZP S?F?S? 應(yīng)當(dāng)指出， s平面上極點(diǎn)或零點(diǎn)的位置，不論是在 s右半平面還是左半平面都沒有區(qū)別，但是包圍的是極 點(diǎn)還是零點(diǎn)卻是有區(qū)別的。 N0表示順時(shí)針包圍原點(diǎn) N0表示逆時(shí)針包圍原點(diǎn) S?F?二 .復(fù)變函數(shù) F(s)的選擇 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定是在已知開環(huán)傳函的條件下進(jìn) 行的，為應(yīng)用幅角原理，選擇 ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?sDsBsCsAsDsBsDsCsBsA1G ( s ) H ( s )1F ( s ) ??????(s)的零點(diǎn)為閉環(huán)傳函的極點(diǎn) ,F(s)的極點(diǎn)為開環(huán)傳函的極點(diǎn) ，故 F(s)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)相同 D ( s )C ( s )B ( s )A ( s )G ( s ) H ( s ) ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?sCsAsDsBsDsAsDsCsBsA1sBsAG ( s ) H ( s )1G ( s )( s )???????二 .復(fù)變函數(shù) F(s)的選擇 (續(xù) ) 運(yùn)動(dòng)一周所產(chǎn)生的兩條閉合曲線 和 只 相差常數(shù) “ 1”， 即閉合曲線 可由 沿實(shí)軸正方向平移一 個(gè)單位長度獲得 。 閉合曲線 包圍 F(s)平面原點(diǎn)的圈數(shù)等于 閉合曲線 包圍 F(s)平面 (1， j0)點(diǎn)的圈數(shù)。 S? F? GH?F?GH?F?GH?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?sDsBsCsAsDsBsDsCsBsA1G ( s ) H ( s )1F ( s ) ?????? 由 F(s)的特點(diǎn)可以看出 F(s)取上述特定形式具有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)： ? 建立了系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)極點(diǎn)與 F(s)的零、極點(diǎn)之間 的直接聯(lián)系； ? 建立了閉合曲線 和閉合曲線 之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。 在已知開環(huán)傳函 G(s)H(s)的條件下，上述優(yōu)點(diǎn)為應(yīng)用幅角 原理創(chuàng)造了條件。 GH?F?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?sDsBsCsAsDsBsDsCsBsA1G ( s ) H ( s )1F ( s ) ??????D ( s )C ( s )B ( s )A ( s )G ( s ) H ( s ) ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?sCsAsDsBsDsAsDsCsBsA1G ( s ) H ( s )1G ( s )( s )???????S?三 s平面閉合曲線 的選擇 ????????0????Rs?132 當(dāng)知道開環(huán)傳函的極點(diǎn)，也 就是 F(s)的極點(diǎn)，如何判斷 F(s)在 s平面的右半部有無零點(diǎn)的問題， 也就是閉環(huán)傳函在 s平面的右半面 有無極點(diǎn)的問題。 如果在 s平面上選擇一條能夠整個(gè)包圍 s右半平面的封閉曲線，則幅角原理就可用來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 ： ： ： ??? 變化到由頻率 0, ??js22,Re???? ????? 由Rs j0, 變化到由頻率 ??? ??js上述封閉曲線 將包圍整個(gè) s右半平面，稱此封閉曲線 為奈氏路徑，考慮到奈氏路徑應(yīng)該不通過 F(s)零極點(diǎn)的 要求，這里假定 F(s)沒有為 0的極點(diǎn)，也即開環(huán)系統(tǒng)不含 積分環(huán)節(jié)。 現(xiàn)設(shè)： (s)在 s右半平面的零點(diǎn)數(shù) (即閉環(huán)特征方程在 s右半平面 的特征根數(shù) )為 Z； (即開環(huán)特征方程在 s右半平面的特征根數(shù) )為 P； 則根據(jù)幅角原理，當(dāng) s沿上述奈氏路徑順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一 周時(shí)，映射到 F(s)平面上的圍線 順時(shí)針包圍原點(diǎn)的次 數(shù) N=ZP。 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為在 s右半平面上閉環(huán)特征方程 的特征根數(shù)為 0，也就是 F(s)在 s右半平面上的零點(diǎn)數(shù)為 0， 即 Z=0，于是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： N=P S?F? N的說明 N表示 F(s)=1+G(s)H(s)平面上圍線 沿順時(shí)針方向包 圍原點(diǎn)的次數(shù)。由于 G(s)H(s)與 F(s)只相差一個(gè)常數(shù) 1，所 以只要將 F(s)平面上的虛軸沿實(shí)數(shù)軸向右平移一個(gè)單位， 就可得到 G(s)H(s)平面坐標(biāo)系，于是原來在 F(s)平面上的圍線 就變成了 G(s)H(s)平面上的圍線 。 與此相對(duì)應(yīng)，在 F(s)平面上圍線 對(duì)原點(diǎn)的包圍就變成在 G(s)H(s)平面上的圍線 對(duì)點(diǎn) (1,j0)的包圍。其中N0表示在 G(s)H(s)平面上的圍線 順時(shí)針包圍點(diǎn) (1,j0)的次數(shù)； N0表示 逆時(shí)針包圍 (1,j0)點(diǎn)的次數(shù) F? GH?F?GH?GH?GH?F?ReIm0)()(1 ?? jHjG? )()( ?? jHjG?1?平面GH曲線對(duì)原點(diǎn)的包圍，恰等于 )()( ?? jHjG)()(1 ?? jHjG?曲線對(duì) (1,j0)點(diǎn)的包圍 虛軸向右平移 1 ?＝ 0～ ? Re Im 平面 GH ? 1 ) ( ) ( 1 ? ? j H j G ? 1 0 ?＝ 0～ ? F平面 F(s)平面上的虛軸沿實(shí)數(shù)軸向右平移一個(gè)單位，就可得到 G(s)H(s)平面坐標(biāo)系 P的說明 P表示 F(s)=1+G(s)H(s)在 s右半平面上的極點(diǎn)數(shù)。由 F(s)的表達(dá)式可知 1+G(s)H(s)的極點(diǎn)就是 G(s)H(s)的極點(diǎn)。換言之， P表示開環(huán)傳函 G(s)H(s)在 s右半平面上的極點(diǎn)數(shù) 。 當(dāng)開環(huán)傳函 G(s)H(s)在 s右半平面上沒有極點(diǎn)時(shí) P=0,由 N=ZP可知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 N= 穩(wěn)定的系統(tǒng)，在 G(s)H(s)平面上的圍線 不包圍 (1,j0) 點(diǎn)，是閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。 確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵，就在于確定 G