【正文】 一次方程。這種方法叫做加減消元法。 （ 3）二元一次方程組的解有三種情況： 如方程組 x+y=5① 6x+13y=89② x=24/7 y=59/7 為方程組的解 如方程組 x+y=6① 2x+2y=12② 因?yàn)檫@兩個(gè)方程實(shí)際上是一個(gè)方程 (亦稱作 “方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ”)，所以此類方程組有無數(shù)組解。 如方程組 x+y=4① 2x+2y=10② ， 因?yàn)榉匠?② 化簡后為 x+y=5 這與方程 ① 相矛盾，所以此類 方程組無解。 （ 4） 教科書中沒有的幾種解法 代入混合使用的方法 . 例 1 3x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解 :(2)(1)得 xy=1 x=y1 (3) 把 (3)代入 (1)得 13(y1)+14y=41 13y13+14y=41 27y=54 y=2 把 y=2 代入 (3)得 x=1 所以 :x=1,y=2 特點(diǎn) :兩方程相加減 ,單個(gè) x 或單個(gè) y,這樣就適用接下來的代入消元 . 例 2 (x+5)+(y4)=8 (x+5)(y4)=4 令 x+5=m,y4=n 原方程可寫為 m+n=8 mn=4 解得 m=6,n=2 所以 x+5=6,y4=2 所以 x=1,y=6 特點(diǎn)：兩方程中都含有相同的代數(shù)式，如題中的 x+5,y4 之類，換元后可簡化方程也是主要原因。 例 3 x:y=1:4 5x+6y=29 令 x=t,y=4t 方程 2 可寫為： 5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以 x=1,y=4 ③再深實(shí) 際問題與二元一次方程組 列二元一次方 程組解應(yīng)用題的分析方法： （ 1）審題 （ 2）設(shè)未知數(shù)，其方法通常有兩種：一是設(shè)直接未知數(shù)；二是設(shè)間接未知數(shù) （ 3）列方程組 （ 4）解方程組 （ 5）檢驗(yàn)并作答，所求方程組的解在正確的基礎(chǔ)上還要符合實(shí)際意義。 △ 【知識梳理】 （ 1） ．二元一次方程（組）及解的應(yīng)用： 注意 :方程（組）的解適合于方程，任何一個(gè)二元一次方程都有無數(shù)個(gè)解，有時(shí)考查其整數(shù)解的情況，還經(jīng)常應(yīng)用方程組的概念巧求代數(shù)式的值。 （ 2） ．解二元一次方程組：解方程組的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加減消元，轉(zhuǎn)化思想和整體思想也是本章考查重點(diǎn)。 （ 3） ．二元一次方程組的應(yīng)用：列二元一次方程組的關(guān)鍵是能正確分析出題目中的等量關(guān)系，題目內(nèi)容往往與生活實(shí)際相貼近，與社會關(guān)系的熱點(diǎn)問題相聯(lián)系， 請平時(shí)注意搜集、觀察與分析。 ● 經(jīng)典例題 ① 麗麗和家家去書店買書，他們同時(shí)喜歡上了一本書，最后麗麗用自己的錢的 5 分之 3，家家用自己的錢的 3 分之 2 各買了一本，麗麗剩下的錢比家家剩下的錢多 5 塊。兩人原來各有多少錢？書多少錢？ 解： 設(shè)麗麗有 x 元錢 家家有 y 元錢 得出： 3/5x=2/3y 2/5x=1/3y+5 （麗麗剩下 2/5 家家剩下 1/3） 解 2 元一次方程得 x=50 y=45 即麗麗 50 元 家家 45 元 書 30 元一本 ● 知識提要 ①概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。 ②解分式 方程的基本思想 ： 在學(xué)習(xí)簡單的分式方程的解法時(shí) ,是將分式方程化為一元一次方程 ,復(fù)雜的 (可化為一元二次方程 )分式方程的基本思想也一樣 ,就是設(shè)法將分式方程 轉(zhuǎn)化 為整式方程 。 ③ 解分式方程的基本方法 ： (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法 ,在方程兩邊同時(shí)乘以各分式的最簡公分母 ,使分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程 .但要注意 ,可能會產(chǎn)生增根 .所以 ,必須驗(yàn)根 . 產(chǎn)生增根的原因 : 當(dāng)最簡公分母等于 0 時(shí) ,這種變形不符合方程的同解原理 (方程的兩邊都乘以或除以同一個(gè)不等于零的數(shù) ,所得方程與原方程同解 ),這時(shí)得到的整式方程的解 不一定是原方程的解 . 檢驗(yàn)根的方法 : 將整式方程得到的解代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn) ,看方程左右兩邊是否相等 . 為了簡便 ,可把解得的根直接代入最簡公分母中 ,如果不使公分母等于 0,就是原方程的根 。如果使公分母等于 0,就是原方程的增根 .必須舍去 . 注意 :增根是所得整式方程的根 ,但不是原方程的根 ,增根使原方程的公分母為 0. 用去分母法解分式方程的一般步驟 : ,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程 。 。 (2)換元法 為了解決某些難度較大的代數(shù)問題 ,可通過添設(shè)輔助元素 (或者叫輔助未知數(shù) )來解決 .輔助元素的添設(shè)是使原來的未知量替換成新的未知量 ,從而把問題化繁為簡 ,化難為易 ,使未知量向已知量轉(zhuǎn)化 ,這種思維方法就是換元法 .換元法是解分式方程的一種常用技巧 ,利用它可以簡化求解過程 . 用換元法解分式方程的一般步驟 : ,并用含輔助未知數(shù)的代數(shù)式去表示方程中另外的代數(shù)式 。 ,求出輔助未知數(shù)的值 。 ,求出原未知數(shù)的值 。 . △ 注意 : (1)換元法不是解分式方程的一般方法 ,它是解一些特殊的分式方程的特殊方法 .它的基本思想 是用換元法把原方程化簡 ,把解一個(gè)比較復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)比較簡單的方程 . (2)分式方程解法的選擇順序是先特殊后一般 ,即先考慮能否用換元法解 ,不能用換元法解的 ,再用去分母法 . (3)無論用什么方法解分式方程 ,驗(yàn)根都是必不可少的重要步驟 . ③列分式方程解應(yīng)用題 步驟：審題、設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗(yàn)并作答。 列分式方程解應(yīng)用題常見誤區(qū)： (1)單位不統(tǒng)一； (2)解完分式方程后忽略“雙檢” . ● 經(jīng)典例題 ① 某學(xué)生食堂存煤 45 噸，用了 5 天后，由于改進(jìn)設(shè)備，平均每天耗煤量降低為原來的一半，結(jié)果多燒了 10 天，求改進(jìn)設(shè)備后平均每天耗煤多少噸？ 解： 改進(jìn)設(shè)備后平均每天耗煤 x 噸 ,原來 2x (45/2x +105)*x+5*2x=45 (45/2x+5)x+10x=45 45/2+5x+10x=45 15x=45/2 x=3/2 ： ● 知識提要（略） ①一元二次方程 ②降次 ——解一元二次方程 ③實(shí)際問題與一元二次方程 ● 經(jīng)典例題 ① 一果園種植蘋果，總產(chǎn)量是 2020 千克，價(jià)格是 元千克。采用新技術(shù)后，蘋果共賣得1386 元，價(jià)格增長率是總產(chǎn)量增長率的 2 倍，求果園總產(chǎn)量的增長率 解： 設(shè)總產(chǎn)量增 長率為 x，則價(jià)格增長率為 2x 2020*(1+x)**(1+2x)=1386 1200(1+x)(1+2x)=1386 600(1+x)(1+2x)=693 600(2x^2+3x+1)=693 1200x^2+1800x93=0 400x^2+600x31=0 解得： x==5% 或 x=（舍去） 所以總產(chǎn)量增長率為 5% ② 在解一元二次方程時(shí)，粗心的甲、乙兩位同學(xué)分別抄錯(cuò)了同一道題，甲同學(xué)抄錯(cuò)常數(shù)項(xiàng)，得到的兩個(gè)根分別是 8 和 2，乙同學(xué)抄錯(cuò)一次項(xiàng)，得到的兩個(gè)根分別是 9 和 1，你能找 出正確的方程嗎？若能，請你求出這個(gè)方程的根。 解： 甲解得的方程可以化成（ x8）（ x2)=0。即 x^210x+16=0 乙解得的方程可以化成（ x+9）（ x+1） = x^2+9x+9=0 顯而易見，原方程式應(yīng)該為： x^210x+9=0 解得兩解為 9 和 1 二 函數(shù) Section A：平面直角坐標(biāo)系 ● 知識提要 ① 平面直角坐標(biāo)系 a 與 b 組成的數(shù)對叫做有敘數(shù)對，記作（ a， b）。 B. 在同一個(gè)平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱為直角坐標(biāo)系。 C. 平面直角 坐標(biāo)系有兩個(gè)坐標(biāo)軸，其中橫軸為 X 軸，取向右方向?yàn)檎较?；縱軸為 Y 軸，取向上為正方向。坐標(biāo)系所在平面叫做坐標(biāo)平面，兩坐標(biāo)軸的公共原點(diǎn)叫做平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。 X 軸和 Y 軸把坐標(biāo)平面分成四個(gè)象限，右上面的叫做第一象限，其他三個(gè)部分按逆時(shí)針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以數(shù)軸為界，橫軸、縱軸上的點(diǎn)及原點(diǎn)不屬于任何象限。一般情況下， x 軸和 y 軸取相同的單位長度 （也可 取 不 同的單位長度 ） 。 ： （ 1） .x 軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為零； y 軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為零。 （ 2） .第一、三象 限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等；第二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。 （ 3） .在任意的兩點(diǎn)中，如果兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，則兩點(diǎn)的連線平行于縱軸；如果兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，則兩點(diǎn)的連線平行于橫軸。 （ 4） .點(diǎn)到軸及原點(diǎn)的距離 點(diǎn)到 x 軸的距離為 |y|； 點(diǎn)到 y 軸的距離為 |x|；點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為 x 的平方加 y 的平方再開根號； ： （ 1） .關(guān)于 x 成軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。（橫同縱反） （ 2） .關(guān)于 y 成軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo) 互為相反數(shù)。（橫反縱同） （ 3） .關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。（橫縱皆反） ： 第一象限：（ +， +）正正 第二象