常微分方程第二章練習(xí)與答案-文庫(kù)吧
2024-12-26 04:15 本頁(yè)面
【正文】 兩邊積分得： 0,23 32 ??? yCxy ． （２）)1( 32xy xdxdy ?? 解：原 方程即為： dxxxydy321?? 兩邊積分得： 1,0,1ln23 32 ?????? xyCxy ． （３） 0sin2 ?? xydxdy 解： 當(dāng) 0?y 時(shí) 原方程為 ： 0sin2 ?? xdxydy 兩邊積分得： 0)cos(1 ??? yxc ． 又 y=0也是方程的解，包含在通解中，則方程的通解為 0)cos(1 ??? yxc ． （４） 221 xyyxdxdy ???? ； 解：原方程即為：2 (1 )1 dy x dxy ??? 兩邊積分得： cxxar ctgy ??? 22， 即 )2( 2 cxxtgy ??? ． （５） 2)2c os(c os yxdxdy ? 解： ①當(dāng) 02cos ?y 時(shí) 原方程即為： dxxydy 22 )(c os)2(c os ? 兩邊積分得： 2 2 2 2 si n 2tg y x x c? ? ?． ② y2cos =0，即 42 ?? ??ky 也是方程的解 . （ Nk? ） （６） 21 ydxdyx ?? 解： ①當(dāng) 1??y 時(shí) 原方程即為：xdxydy ?? 21 兩邊積分得： cxy ?? lnarcsin ． ② 1??y 也是方程的解 . （７）．yxey exdxdy ???? 解．原方程即為： dxexdyey xy )()( ???? 兩邊積分得： cexey xy ???? ?22 22 ， 原方程的解為： ceexy xy ???? ? )(222 . 2. 解下列微分方程的初值問(wèn)題． （１） ,03c o s2s in ?? ydyxdx 3)2( ?? ?y ； 解：兩邊積分得： cyx ??? 33sin22c os ， 即 cxy ?? 2co s33sin2 因?yàn)? 3)2( ?? ?y , 所以 3?c . 所以原方程滿(mǎn)足初 值問(wèn)題的解為： 32co s33sin2 ?? xy ． （２）． 0?? ? dyyexdx x ， 1)0( ?y ； 解：原方程即為： 0?? ydydxxe x ， 兩邊積分得： cdyydxex x ??? 2)1( 2， 因?yàn)?1)0( ?y ， 所以 21??c ， 所以原方程滿(mǎn)足初值問(wèn)題的解為： 01)1(2 2 ???? dyydxex x ． （３）． rddr?? ， 2)0( ?r ； 解：原方程即為： ?drdr? ，兩邊積分得： cr ???ln ， 因?yàn)?2)0( ?r ， 所以 2ln?c ， 所以原方程滿(mǎn)足初值問(wèn)題的解為： 2lnln ???r 即 ?er 2? ． （４）． ,1ln 2yxdxdy ?? 0)1( ?y 。 解：原方程即為： dxxdyy ln)1( 2 ?? , 兩邊積分得： 3 ln3yy x x x c? ? ? ?, 因?yàn)?0)1( ?y ， 所以 1?c ， 所以原方程滿(mǎn)足初值為： 3 ln 13yy x x x? ? ? ? （５）． 321 xydxdyx ?? ， 1)0( ?y ； 解：原方程即為： dxxxydy 23 1??， 兩邊積分得： cxy ???? ? 22 121 ， 因?yàn)?1)0( ?y ， 所以 23??c ， 所以原方程滿(mǎn)足初值問(wèn)題的解為： 311222 ??? yx． １． 解下列微分方程，并作出相應(yīng)積分曲線(xiàn)的簡(jiǎn)圖． （１）． xdxdy cos? 解：兩邊積分得： cxy ??sin ． 積分曲線(xiàn)的簡(jiǎn)圖如下： （２）． aydxdy? ， （常數(shù) 0?a ）； 解： ①當(dāng) 0?y 時(shí)， 原方程即為： dxaydy? 積分得： cxya ??ln1 ， 即 )0( ?? ccey ax ② 0?y 也是方程的解． 積分曲線(xiàn)的簡(jiǎn)圖如下： y （３）． 21 ydxdy ?? ； 解： ①當(dāng) 1??y 時(shí)， 原方程即為： dxydy ?? )1( 2 積分得： cxyy ???? 211ln， 即 1122 ???xxcecey ． ② 1??y 也是方程的解． 積分曲線(xiàn)的簡(jiǎn)圖如下： （４）． nydxdy? ， )2,1,31( ?
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