【正文】 R 圖 解：（ a） 桿 OA 對通過點 O 并與圖面垂直的軸的動量矩 為 第 11章 動量矩定理 129 129 ?? 221 mRJL OO ?? （ b） 圓盤 對通過點 O 并與圖面垂直的軸的動量矩 為 ?? 221 mRJL OO ?? （ c） 圓盤 對通 過點 O 并與圖面垂直的軸的動量矩 為 ??? 22223)21( mRmRmRJL OO ???? 112 如 圖 所示，鼓輪的質(zhì)量 1 1800kgm ? ，半徑 025mr.? ，對轉(zhuǎn)軸 O 的轉(zhuǎn)動慣量285 3kg mOJ.???，F(xiàn)在鼓輪上作用力偶矩 0 7 43kN mM.??來提升質(zhì)量 2 2700kgm ? 的物體 A。試求物體 A 上升 的加速度，繩索的拉力以及軸承 O 的反力。繩索的質(zhì)量和軸承的摩擦都忽略不計。 解： （ 1）選整體為研究對象，受力分析如圖所示。應(yīng)用質(zhì)點系動量矩定理，有 grmMrmJ O 2022 )( ??? ? 解得鼓輪轉(zhuǎn)動的角加速度為 )/( 222220 sr a drmJ grmM O ??? ???????? 物體 A 上升的加速度為 )/( 2smra A ?? ? （ 2） 要求繩索的拉力，可選物體 A 為研究對象 ，受力分析如圖所示。應(yīng)用質(zhì)點運動微分方程，有 gmFam T 22 ?? 解得繩索的拉力為 )( 7 0 7 0 022 kNamgmF T ??????? （ 3） 要求軸承 O 的反力，可選鼓輪為研究對象，受力分析如圖所示。應(yīng)用質(zhì)心運動定理，有 0?OxF ， 039。1 ??? TOy FgmF 解得 0?OxF ， )(39。1 kNFgmF TOy ??? O r? R A ? ( a ) 0M O r A OxF OyF g1m g2m ? A g2m TF Aa 0M O OxF OyF g1m ? 39。TF (b ) (c ) 圖 圖 130 理論力學(xué) 130 113 半徑為 R ，質(zhì)量為 m 的均質(zhì)圓盤與長為 l 、質(zhì)量為 M 的均質(zhì)桿鉸接，如 圖 所示。桿以角速度 ω 繞軸 O 轉(zhuǎn)動，圓盤以相對角速度 rω 繞點 A 轉(zhuǎn)動， (1) rω ω? ； (2) rω ω?? ，試求系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸 O 的動量矩。 解：系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸 O 的動量矩 是由桿對轉(zhuǎn)軸 O 的動量矩 和 圓盤 對轉(zhuǎn)軸 O 的動量矩 兩部分組成。桿對轉(zhuǎn)軸 O 的動量矩 為 ?231MlLO ??桿 （ 1） 當(dāng) rω ω? 時， 圓盤 轉(zhuǎn)動 的絕對角速度為 a 2rω ω ω?? ? ? 圓盤 對轉(zhuǎn)軸 O 的動量矩 為 ??? 22221 mlmRlmvmRL AaO ???????圓盤 故 系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸 O 的動量矩 為 ??? 22231 mlmRMlLLL OOO ?????? 圓盤桿 （ 2）當(dāng) rω ω?? 時，圓 盤 轉(zhuǎn)動的絕對角速度為 a 0rω ω ?? ? ? 圓盤 對轉(zhuǎn)軸 O 的動量矩 為 ?? 2221 mllmvmRL AaO ??????圓盤 故 系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸 O 的動量矩 為 ?? 2231 mlMlLLL OOO ????? 圓盤桿 114 兩小球 C、 D 質(zhì)量均為 m ，用 長為 l2 的均質(zhì)桿連接，桿的質(zhì)量為 M ，桿的中點固定在軸 AB 上， CD 與軸 AB 的夾角為 ? ， 如 圖 所示。軸以角速度 ω 轉(zhuǎn)動，試求系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸 AB 的動量矩。 解： 桿 CD 對 轉(zhuǎn)軸 AB 的動量矩 可表示為 ???? 222 s i n31)s i n(2 MlxlM d xL l lO ??? ??桿 球 C、 D 對 轉(zhuǎn)軸 AB 的動量矩 可表示為 ?? 22 s i nmlLL DOCO ?? 球球 系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸 AB 的動量矩 為 ???? 2222 s i n2s i n31 mlMlLLLL DOCOOO ????? 球球桿 115 小球 M 系于線 MOA 的一端，此線穿過一鉛垂管道，如 圖 所示。小球 M 繞軸沿半徑 MC R? 的水平運動，轉(zhuǎn)速為 120r minn/? 。今將線 OA 慢慢拉下，則小球 M 在半徑2RM39。C??的水平圓上運動，試求該瞬時小球的轉(zhuǎn)速。 解： 選小球為研究對象，小球受有重力和繩子拉力作用 ，受力分析如圖所示。由于重力和繩子拉力對軸 x 的矩均等于零，即 0)( ?? FxM ， 可知小球?qū)?x 軸的動量矩保持守恒。即 第 11章 動量矩定理 131 131 有 239。 RmvmvR? 而 Rv ?? ，239。39。 Rv ???，代入上式，有 439。 22 RR ?? ? 故 ?? 439。? ，即 小球 M 在半徑2RM39。C??的水平圓上運動瞬時小球的轉(zhuǎn)速 為 min)/(480439。 rnn ?? 2 l A ? B ? O C D C39。 R C A M M39。 2R O gm TF x 圖 圖 116 一直角曲架 ADB 能繞其鉛垂邊 AD 旋轉(zhuǎn)，如 圖 所示。在水平邊上有一質(zhì)量為 m 的物體 C，開始時系統(tǒng)以角速度 0? 繞軸 AD 轉(zhuǎn)動，物體 C 距 D 點為 a ，設(shè)曲架對 AD軸的轉(zhuǎn)動慣量為 zJ ，求曲架轉(zhuǎn)動的角速度 ? 與距離 DC r? 之間的關(guān)系。 解：選整體為研究對象，受力分析如圖所示。從受力圖可以看出，系統(tǒng)所受的全部外力對 z 軸的矩等于零。系統(tǒng)對 z 軸的動量矩也保持不變 ，即 ?? )()( 202 mrJmaJ zz ??? 解得 曲架轉(zhuǎn)動的角速度 ? 與距離 DC r? 之間的關(guān)系 為 022 ?? mrJ maJzz ??? 117 電動機制動用的閘輪重為 W(可視為均質(zhì)圓環(huán) )，以角速度 0? 繞軸轉(zhuǎn)動，如 圖 所示。已知閘塊與閘輪間的滑動摩擦系數(shù)為 f，閘輪的半徑為 r，它對 O 軸的轉(zhuǎn)動慣量為2OJ mr? ，制動時間為 0t ，設(shè)軸承中的摩擦不計。求閘塊給閘輪的正壓力 NF 。 解： 選 閘輪 為研究對象，受力分析如圖（ b）所示。我們可以應(yīng)用動量矩定理來計算 閘塊給閘輪的正壓力 NF 。先計算 制動 后 閘輪 的角加速度，由運動學(xué)可知 000 ??? t??? 可 知 制動 后 閘輪 的角加速度為 132 理論力學(xué) 132 0000 tt ??? ???? 式中負號表明真實的角加速度的轉(zhuǎn)向與