高考數(shù)學（文）《優(yōu)化方案》一輪復習課件：第1章第二節(jié) 命題及其關系、充分條件與必要條件（蘇教版江蘇專用-文庫吧
2024-12-24 13:49 本頁面
【正文】 要判斷命題是真命題則需要進行證明 ． 由于原命題與逆否命題等價 ， 逆命題與否命題等價 ， 因此在直接證明原命題的真假有困難時 ， 可以考慮與它等價的逆否命題 ． 例 1 已知函數(shù) f(x)＝ x＋ sinx， x∈ R， a， b∈ R，對命題“若 a＋ b≥ 0，則 f(a)＋ f(b)≥ f(－ a)＋f(－ b)．” (1)寫出其逆命題，判斷其真假，并證明你的結論； (2)寫出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結論． 【 思路分析 】 首先用導數(shù)法 ， 判斷出 f(x)的單調性 ， 利用命題的等價性判斷 ． 【 解 】 ∵ f′(x)＝ 1＋ cosx≥ 0， ∴ f(x)在 (－ ∞，＋ ∞)上為增函數(shù)． (1)逆命題：若 f(a)＋ f(b)≥ f(－ a)＋ f(－ b)，則a＋ b≥ 0，真命題．用反證法證明：假設 a＋ b＜ 0， a＜－ b， b＜－ a，因為 f(x)是 (－ ∞，＋∞)上的增函數(shù)，所以 f(a)＜ f(－ b)， f(b)＜ f(－a)，所以 f(a)＋ f(b)＜ f(－ a)＋ f(－ b)，這與題設相矛盾，所以逆命題為真． (2)逆否命題：若 f(a)＋ f(b)＜ f(－ a)＋ f(－ b)，則 a＋ b＜ 0， 真命題 ． 因為一個命題 ?它的逆否命題 ， 所以可以證明原命題為真命題 ． 因為 a＋ b≥ 0， 所以 a≥ － b， b≥ － a，又因為 f(x)是 (－ ∞， ＋ ∞)上的增函數(shù) ， 所以f(a)≥ f( － b) ， f(b)≥ f( － a) ， 所以 f(a) ＋f(b)≥ f(－ a)＋ f(－ b)， 所以逆否命題為真 ． 【 名師點評 】 本題可由提供的命題的特點 ， 聯(lián)想到與函數(shù)的單調性有關 ， 但誤區(qū)是采用單調性的定義來判斷函數(shù)的單調性 ， 這說明對知識的歸納不到位 ． 變式訓練 1 若 m≤ 0， 或 n≤ 0， 則 m＋ n≤ 、否命題 、 逆否命題 ， 同時分別指出它們的真假 ． 解：逆命題：若 m＋ n≤ 0，則 m≤ 0，或 n≤ 命題為真． 否命題：若 m＞ 0，且 n＞ 0，則 m＋ n＞ 為真． 逆否命題：若 m＋ n＞ 0，則 m＞ 0，且 n＞ 命題為假． 充分條件與必要條件的判定 解這類問題必須明確哪個是條件 ， 哪個是結論 ， 然后再看是由條件推出結論 ， 還是由結論推出條件 ， 應用充分不必要 、 必要不充分 、充要條件的定義加以證明 ． 例 2 ( 201 1 年蘇州調研 ) 下列各小題中， p 是 q 的充要條件的是 ___ ___ _ _ ． ( 填寫正確命題的序號 ) ① p ： m ＜－ 2 或 m ＞ 6 ， q ： y ＝ x2＋ mx ＋ m ＋ 3 有兩個不同的零點； ② p ：f ? － x ?f ? x ?＝－ 1 ， q
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