論有限元方法的基本原理及其在材料科學(xué)中的應(yīng)用-文庫(kù)吧
2024-11-22 21:23 本頁(yè)面
【正文】 就可以通過(guò)插值函數(shù)計(jì)算出各個(gè)單元內(nèi)的場(chǎng)函數(shù)的近似值 , 從而得到整個(gè)求解域的近似值。 在用單元把求解區(qū)域離散化方面 , 存在一個(gè)自由度 數(shù)量的選取問(wèn)題 , 自由度選得太少 , 近似解的誤差大 , 有時(shí)結(jié)果根本沒(méi)有應(yīng)用價(jià)值 。自由度取得多 , 解的近似程度相應(yīng)增大 , 但會(huì)導(dǎo)致求解方程的規(guī)模增大 ,以至于計(jì)算機(jī)無(wú)法勝任 , 所以有限元的發(fā)展、完善和應(yīng)用與計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)。近 20 年來(lái) , 計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度和存儲(chǔ)容量以驚人的速度提高 , 使得有限元法的求解能力迅速提高 , 十幾年前 , 求解問(wèn)題的自由度規(guī)模大多數(shù)在幾千個(gè)左右 , 現(xiàn)在人們已經(jīng)開(kāi)始進(jìn)行幾十萬(wàn)自由度以上規(guī)模問(wèn)題的分析研究。 有限元方法的基本思路 有限元法是一種基于變分法而發(fā)展起來(lái)的求解微分 方程的數(shù)值計(jì)算方法 ,他是通過(guò)計(jì)算機(jī)采用分片近似 ,進(jìn)而逼近整體的研究思想 求解物理問(wèn)題。先將物體或求解域離散為有限個(gè)互不重僅通過(guò)節(jié)點(diǎn) 相互連接的子域 ,原始邊界條件也被轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)上的邊界條件。在單元 3 上選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn) ,將微分方程中的 變量改寫成由各變量或其倒數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式 ,借助于變分原理或加權(quán)殘值法 ,建立有限元方程 ,從而將微 分方程轉(zhuǎn)化為一組以變量或其倒數(shù)的節(jié)點(diǎn)值為未知量的代數(shù)方程組。進(jìn)而借 助矩陣表示和計(jì)算機(jī)求解代 數(shù)方程組得到原問(wèn)題 的近似解。有限元法的離 散對(duì)單元沒(méi)有限制 ,單元可以為不同形狀 ,且不同單元可以相互連接組合 ,而且 ,隨著區(qū)間離散數(shù)目越多 ,折線越逼近真實(shí)函數(shù) ,計(jì)算精度就越高。 有限元的應(yīng)用過(guò)程 應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題須經(jīng)歷以下過(guò)程： (1) 問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述。對(duì)問(wèn)題客觀規(guī)律的數(shù)學(xué)描述 (通常是微分方程及邊界條件 )是建立有限
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