《中值定理應用》ppt課件-文庫吧
2025-10-05 16:24 本頁面
【正文】 則根據(jù) Rolle 定理 ? ),0( 0x?? ? 使 ????? ??????xnnn xaxaxaF )()(1110 ?????? ?????xnnn axnaxna ])1([12110 ?0?即 ? 是 的一個小于 的正根 . ? 0x7 例 4 (有關等式的證明 ) 設 在閉區(qū)間 [a, b]上連續(xù) , )(xf ,0?? ba且在 (a, b)內可導 , 試證 : 在 (a, b)內至少 存在一點 , 使 ?證法 1 (用 Rolle定理證 ) — “ 常數(shù) k 法 ” ).()()()(1??? ffbfafbaba????? 8 0)()()()( ??????baabfbafff ???要證的等式 又可寫為： ? ?k ,)()(baabfbaf??記 取輔助函數(shù)為： ,)()(xkxfxG ?? )0( bxa ???無妨則 在 [a, b]上連續(xù)， )( xG 在 (a, b)上可導 , 且 )(aGbabfaf??? )()( )(bG?akaf ?? )(bkbf ?? )(9 因此 ),( ba?? ?使 0)()( ??????? ???? ??xxkxfG即 0))(()( 2 ???????? kff亦即 0)()( ???? kff ???,0)()()()( ???????baabfbafff ???這就是所要的結論。 10 證法 2 (用 Cauchy定理證 ) — 由 )()()()(1??? ffbfafbaba????? 適當變形 ? )()()()( ??? ffbaabfbaf ?????進一步 ? 221)()(11)()(???????????ffabaafbbf? 11 于是取輔助函數(shù)： ,1)(,)()(xxGxxfxF ??則它們都在 上連續(xù)， )0(],[ ?? baba 在 ),( ba 內可導，且 ,01)(2 ???? xxG滿
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