[研究生入學(xué)考試]高等代數(shù)考研輔導(dǎo)第3講線性方程組-文庫吧
2024-10-04 01:17 本頁面
【正文】 ) , , .A x Bi A A Bii Aiiiiv??__解線性方程組 的步驟: 分離出增廣矩陣 將 通過行初等變換化為階梯形矩陣 原方程組與階梯形矩陣表示的線性方程組同解 判斷有無解 并在有解的情況下 得出通解( 或一般解)二、向量的線性相關(guān)性1 1 2 239。1 . , 0 ( )= ( ) , , ( , , , ) , ( ) 0 ( )0.()ns s s ss i sssP x x x i PA x x x x i A x iiA n sa A x r A sb A x? ? ? ? ? ? ?? ? ?????? ? ? ? ????? ? ???111 1 211設(shè) , , 若方程組 在 中有非零解, 則稱 , , 線性相關(guān)。 否則稱它們?yōu)榫€性無關(guān).注: 若令 , , 其中 為列向量 令 那么上面方程組 可改為其中 是 階矩陣. 因此 ( ) , , 線性相關(guān) 有非零解 ( ) , , 線性無關(guān) 0. r A s?只有零解 ( ) =11 1 1 2 12 1 2 2 2122 . ( ) 1 , , ) ,.( ) .Ti i n innnn n n nna a i na a aa a aa A Aa a abA?????????????????????11設(shè) , , ( 則 ( ) , , 線性相關(guān) = 0 , 其中 , , 線性無關(guān) 03 . 1 , .( 2 ) , .s s ms m s? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???1 1 11 1 1 ( ) , , 線性相關(guān) , , , , 也線性相關(guān) , , , , 線性無關(guān) , , 也線性無關(guān)115. 1 , , , .2 , ,nm m m m mm s imP k k P k k? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?1 1 11111 ( ) , , , 存在 , , 使得 + 則稱 可由 , , 線性表出 ( ) 設(shè)( I) : , , (I I) , , 若( I) 中任一 都可由( II )線 性表出, 則稱(I ) 可由(II)線性表出. (3) 若(I)可由(II)線性表出,(II)也可由(I)線性表出,則稱(I) 與(II)等價(jià). (4) 若 , , 線性無關(guān), , ,.mm? ? ? ? ?? 1, 線性相關(guān) 可由 , , 線性表出1 1 14 . ( ) ( 1 , , ) , ( ) ( 1 , , )1.( 2 ) , .TTi i n i i i n i i m issa a i s a a b b i s??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???11 設(shè) , , , , , ,( ) , , 線性相關(guān) , , 也線性相關(guān), 線性無關(guān) , , 也線性無關(guān)8 . 1.2m r rrmrr? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???1 1 111 ( ) ( I ) : , , , 若在( I ) 中存在 個(gè)線性無關(guān)的向量 , , 且 ( I ) 都可由 , , 線性表出, 則稱 , , 為( I ) 的一個(gè)極大線性無關(guān)組且秩( , , ) = ( ) 兩個(gè)等價(jià)的向量組含有相同的秩.6 . , , .1 , ,2,rsrsrrs? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??1 2 1 21 2 1 212 設(shè) , , 與 , , 是兩個(gè)向量組如果 ( ) 向量組 , , 可以被向量組 , , 線性表出 ( )則向量組 , , 必線性相關(guān).7 . , , ,r s rrs? ? ? ? ? ? ? ? ?? 1 2 1 2 1 2 如果向量組 , , 可以被向量組 , , 線性表出且 , , 線性無關(guān) , 則.三、線性方程組解的結(jié)構(gòu)__1.: , , .A B B????????行行(1) 換法變換:交換兩方程的位置 (2)倍法變換：某一方程乘以非零數(shù)(3) 消法變換：某一方程乘以一數(shù)加到另一方程用矩陣的初等變換求解 階梯形矩陣 行最簡化階梯形 由 寫出對應(yīng)的方程組 求解2 . ( ) ( , ) rnA X b r A r A b r rn??? ? ? ? ? ?? ：唯一解 解的判定: 且 ：無窮多組解11221111.3. ( ) , ,., ( 1 , , ) , ( ) .( ) , , .(nnnnm m m n n mii n nm i mna x a x a x ba x a x a x bAx ba x a x a x ba bb i m x x babb? ? ???? ? ? ???? ? ? ??????? ? ? ? ???? ???? ??? ? ? ? ? ? ??? ????????????11 1 12 221 1 22 21 1 2 21線性方程組 即若令
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