[理學(xué)]隨機(jī)過程第三章-文庫吧
2025-09-20 01:14 本頁面
【正文】 ?其概率密度為： ?????? ?0,00,)(ttetf tT n??對(duì)于任意 n=1,2, … 事件 A相繼到達(dá)的時(shí)間間隔 Tn的分布為： 14 Wn是指第 n次事件 A到達(dá)的等待時(shí)間 ???niin TW1因此 Wn是 n個(gè)相互獨(dú)立的指數(shù)分布隨機(jī)變量之和。 等待時(shí)間的分布 15 ? ? ? ?? ?其密度函數(shù)為：分布的與服從參數(shù)為列，則對(duì)應(yīng)的一個(gè)等待時(shí)間序是與泊松過程設(shè)定理，nWttXnW：nn????0,1,???????????0,00,)!1()()(1ttntetfntW n?? ?付氏變換得。密度與特征函數(shù)可通過布函數(shù)方法立即可得，分隨機(jī)變量和，故用特征個(gè)相互獨(dú)立的指數(shù)分布是由上面定理知證 nW： n16 ? ?nttntWntXZnt n已發(fā)生的事件數(shù)至少是間時(shí)或之前發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)?shù)絺€(gè)事件在時(shí)刻即第有另證：對(duì) ,0 ?????? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? 0,00,!????????? ????ttFtjtentXPtWPtFnnWjnjtnW當(dāng)??? ?? ? ? ?? ?? ?? ?0!1!1!:11??????????????????tntejtejtetftntnjjtnjjtWn?????????求導(dǎo)得對(duì)17 ? ? 00 ?? ttf nW此分布又稱為愛爾蘭分布 的分布相同。為指數(shù)分布，與時(shí)當(dāng)1000)(,11TttetfntW???????? ??? ?的聯(lián)合概率密度為：則個(gè)隨機(jī)點(diǎn)的等待時(shí)間，第的泊松過程，是強(qiáng)度為定理：令WiWWWWW in ?, 21 ??? ???? ??????其它00, 2121 ntnnWtttetttfn ????18 ? ?? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?1,0,1,0,1,0,2,1,112221121111?????????????????????? nnnnnniiiitXhtXhtXtXtXhtXhtXtXtXhtXtXnihttW???證：? ?}1)()({}0)()({}1)()({}0)()({}1)()({}0)({,2,1),(112221121111???????????????????????????? nnnnnniiiitXhtXPhtXtXPtXhtXPhtXtXPtXhtXPtXPnihttWP??)(21)()(1 )()(1111211nnnnnnhtnnhnhtthtthtehhheheeehe?????????????????? ?????????????19 ? ?? ?? ?? ?ntnniiiihnnWnnWtttehhnihttWPttttFtttfni??????????????????????211011210,2,1,lim,,??20 三、到達(dá)時(shí)間的條件分布 假設(shè)在 [0,t]內(nèi)事件 A已經(jīng)發(fā)生一次，我們要確定這一事件到達(dá)時(shí)間 W1的分布。 泊松過程 平穩(wěn)獨(dú)立增量過程 可以認(rèn)為 [0,t]內(nèi)長(zhǎng)度相等的區(qū)間包含這個(gè)事件的概率應(yīng)該相等，或者說，這個(gè)事件的到達(dá)時(shí)間應(yīng)在 [0,t]上服從均勻分布。對(duì)于0≤s＜ t有 ?}1)(/{ 1 ??? tXsWP21 即分布函數(shù)為： ???????????tststsssF tXW,10,0,0)(1)(/1條件分布密度為： ????? ????其它,00,1)(1)(/1tstsf tXW? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?tsteesetXPsXtXPsXPtXPsXtXsXPtXPtXsWPtXsWPtsts????????????????????????????10110,111,1/ 110 s t w1 22 推廣到一般情況 定理：設(shè) {X(t),t≥0}是泊松過程，已知在 [0,t]內(nèi)事件 A發(fā)生 n次，則這 n次到達(dá)時(shí)間W1W2, …W n與相應(yīng)于 n個(gè) [0,t]上均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量的順序統(tǒng)計(jì)量有相同的分布。 ntt ??? ?10證：令23 ? ?nntntnntnhtthnhtthtthtnnnnnnnniiiihhhtnentehhhenteeheeehentXPhtXtXPtXhtXPhtXtXPtXhtXPhtXtXPtXhtXPtXPntXnihttWPnnnnnn?????2121)()()(1112221121111!!)(!)()()(})({}0)()({}1)()({}0)()({}1)()({}0)()({}1)()({}0)({)(/,2,1),(1111211?????
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