[理學(xué)]第六章 幾個典型方程的定解問題-文庫吧
2025-09-20 01:03 本頁面
【正文】 改變，即： ( , )F x t F?徐 師大 蔡俊 0022( , )( , )x x xu u u x tF x t x xx x t??????? ? ?? ? ? ? ???? ? ???兩邊同除以 Δx，并取 Δx → 0，則： 2222( , ) ( , )( , )u x t u x tF x txt???? ????即 22222( , ) ( , ) ( , )u x t u x ta f x ttx?? ????其中， 2 /,aF ?? 單位長度、單位質(zhì)量 的弦所受外力 ( , )( , ) xtf x t ? ??f = 0, 弦不受外力 , 作 自由振動 ；否則為 受迫振動 。 :一維波動方程 徐 師大 蔡俊 考察薄膜振動，則為二維波動方程： ? ?2 ( , , )t t x x y yu a u u f x y t? ? ?考察電磁波的波動，則為三維波動方程： ? ?22 ( , , , )t t x x y y z z t tu a u u u u a u f x y z t? ? ? ? ? ? ?Nabla算子 i j kx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?Laplace算子 2 2 222 2 2x y z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?d`Alembert算子 22221ct?? ? ??Nabla算子既有 矢量 的特性，又有 算符 的特性 徐 師大 蔡俊 二 .熱傳導(dǎo)方程 —— 溫度 u (x, y, z, t)滿足的方程 幾個物理量 ② . 熱流強(qiáng)度 q : 單位時間垂直通過單位面積的熱量 傅里葉實(shí)驗定律： ( , , , ) uq x y z t k k u nn?? ? ? ? ??① . 比熱 c：單位時間、 單位質(zhì)量物體溫度升高 1度所需的熱量 ③ . 熱源強(qiáng)度 ：單位時間、 單位體積的熱源產(chǎn)生的熱量 ?其他相近概念 : 能量密度 (單位體積中存儲的能量 ) 其他相近概念： 能流密度、電流密度 徐 師大 蔡俊 2. 熱傳導(dǎo)中的 能量守恒 a. 考察空間中體積為 V 的物體， t1~ t2時間內(nèi)， 溫度由 u1變?yōu)? u2 ，所需熱量為： 221 1( ) ( )tt t t tV V tuQ c u u d V c d t d Vt?????? ? ??? ? ?21ttVuc d V d tt??????b. 通過 V 的表面向外傳遞熱量 22111 ()ttt t Vk u n d Sd t k u d V d tQ ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?212 ( , , , )ttV x y z t d V d tQ ?? ??c. 內(nèi)部熱源產(chǎn)生熱量 由 Q = Q2 － Q1 得 : 2 2 21 1 1( , , , ) ( )t t tt V t V t Vuc d V d t x y z t d V d t k u d V d tt??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?t1, t2, V 均為任意 , 故 tc u k u??? ? ?熱傳導(dǎo)方程 ： (輸運(yùn)方程 ) 2 ?? ( , , , )tu a u f x y z t其中， ， f 與熱源有關(guān) . 2 ,kafcc?????一維： 2 ( , )t x xu a u f x t??二維： 2 ( ) ( , , )t x x y yu a u u f x y t? ? ?徐 師大 蔡俊 三 .位勢方程 —— 穩(wěn)定場方程 若熱傳導(dǎo)達(dá)到平衡狀態(tài) , 溫度不隨時間變化 即： ，則得穩(wěn)定場方程： 0tu ?21? ? ? ( , , , )u f x y z ta此即 泊松 (Poisson)方程 。 若無熱源，則變?yōu)?Laplace方程 ： 0??u例如：靜電場中電勢滿足的方程： 0u ??? ? ?徐 師大 蔡俊 柱坐標(biāo)系 下的 Laplace算符： 2 2 22 2 2 211u u u uuz? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?球坐標(biāo)系 下的 Laplace算符： 222 2 2 2 21 1 1( ) ( s i n )s i n s i nu u uurr r r r r?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?★ 其他方程， 例：薛定諤方程 22iVt? ???? ? ? ? ??▲ 非線性方程，例如孤子方程 0t x x x xu u u u?? ? ?徐 師大 蔡俊 令 ，則： ① 雙曲型 ② 拋物型 ③ 橢圓型 四 .兩個自變量二階線性偏微分方程的分類 221 1 1 2 2 2 1 220a x a x y a y b x b y c? ? ? ? ? ?21 2 1 1 2 2a a a? ? ?0?? 0?? 0??1 1 1 2 2 2 1 220x x x y y y x ya u a u a u b u b u c? ? ? ? ? ?對偏微分方程 也可以作類似分類 . 對二次方程 可以證明， 作 變量代換 后 , 方程分類性質(zhì)不變。 1 1 1 2 2 2 1 220x x x y y y x ya u a u a u b u b u c? ? ? ? ? ?( , ) , ( , )x y x y? ? ? ???xxu u u uuxxx ???? ????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?22 ( ) ( )xxuu uux x x x ????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?( ) ( )x x x x x xuu uuxx????? ? ? ???? ? ? ???( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]x x x x x xu u u u uux x x x? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?22( ) 2 ( )x x x x x x x xu u u u u? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?
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