平面單元-等效結(jié)點(diǎn)荷載計(jì)算-文庫(kù)吧
2025-04-22 11:26 本頁(yè)面
【正文】 力和體力，都不可能只作用在節(jié)點(diǎn)上。因此，必須進(jìn)行載荷轉(zhuǎn)移。如果集中力的作用點(diǎn)未被取為節(jié)點(diǎn)，該集中力也要向節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移。 將載荷轉(zhuǎn)移到節(jié)點(diǎn)上，必須遵循靜力等效的原則。 靜力等效是指原載荷與節(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上做的虛功相等 。前面推導(dǎo)時(shí)使用的能量泛函 пp對(duì) {ae}進(jìn)行變分之后產(chǎn)生的 {δae}實(shí)際上就是虛位移，以上公式可以適用于任意復(fù)雜的荷載情況。 如果單元為 線性 單元（如，本章的三節(jié)點(diǎn)三角形單元），則可以采用直接的 靜力等效法和虛功等效法 。 2021年 6月 8 3. 總體剛度矩陣的形成與特點(diǎn) — 整體分析的一般步驟 圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四個(gè)單元和六個(gè)節(jié)點(diǎn)。在節(jié)點(diǎn) 6共有四個(gè)支桿支承。結(jié)構(gòu)的載荷已經(jīng)轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)載荷。 整體分析的四個(gè)步驟： 建立整體剛度矩陣； 根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣； 解方程組，求節(jié)點(diǎn)位移； 根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。 2 ③ ④ ① ② P3y P3x 3 1 4 5 6 P2x P1y a a a a 1 3 3 2 2 1 1 1 2 2 3 3 2021年 6月 9 3. 總體剛度矩陣的形成與特點(diǎn) — 整體分析的一般步驟 ? ? ? ? ? ?1 , 1 1 , 2 1 , 11 1 , 12 112 , 1 2 , 2 2 , 11 2 , 12 2211 , 1 11 , 2 11 , 11 11 , 12 11 1112 , 1 12 , 2 12 , 11 12 , 12 12 12K a Pk k k k aPk k k k aPk k k k aPk k k k aP??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???即 ： 建立整體剛度矩陣 上圖中的結(jié)構(gòu)有六個(gè)節(jié)點(diǎn)，共有 12個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量 (自由度 )和 12個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量，它們之間的關(guān)系為： 111111226611 116612 12xyxyPuaPPvaPPuaPPvaP????? ? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ??總體剛度方程中的自由度與節(jié)點(diǎn)位移之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 2021年 6月 10 3. 總體剛度矩陣的形成與特點(diǎn) — 整體分析的一般步驟 根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣。 建立整體剛度矩陣時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移當(dāng)作未知量看待，沒(méi)有考慮具體的支承情況，因此進(jìn)行整體分析時(shí)還要針對(duì)支承條件加以處理。 在上圖的結(jié)構(gòu)中，支承條件共有四個(gè)，即在節(jié)點(diǎn) 6的四個(gè)支桿處相應(yīng)位移已知為零： u1=u4=v4=v6=0 建立節(jié)點(diǎn)平衡方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)上述邊界條件進(jìn)行處理。 解方程組，求出節(jié)點(diǎn)位移。 通常采用消元法和迭代法兩種方法。 根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。 2021年 6月 11 3. 總體剛度矩陣的形成與特點(diǎn) — 整體剛度矩陣的形成 總剛形成的物理背景： 剛度矩陣中的元素，即由節(jié)點(diǎn)作單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力。在單剛 [Ke]中， Kije表示第 j個(gè)位移 (自由度 )給一單位位移，其它位移為零時(shí)，單元在 第 i位移方向上引起的節(jié)點(diǎn)力；類似，在整體剛陣中， [Ki,j]表示 第 j個(gè)自由度給一單位位移，其它自由度為零時(shí)，整體結(jié)構(gòu)在 第 i個(gè)自由度上引起的節(jié)點(diǎn)力（即所有與 第 i、 j個(gè)自由度相關(guān)的單元在 第 i個(gè)自由度上引起的節(jié)點(diǎn)力之和）。 如上圖結(jié)構(gòu)，計(jì)算 [K3,5]時(shí)（第 3和 5個(gè)自由度分別對(duì)應(yīng)第 2和 3號(hào)節(jié)點(diǎn)的 u,即 x向位移），與節(jié)點(diǎn) 2和 3相關(guān)的單元有單元①和③，當(dāng)節(jié)點(diǎn) 3發(fā)生 x向單位位移時(shí)，相關(guān)單元①和③同時(shí)在節(jié)點(diǎn) 2的 x向引起節(jié)點(diǎn)力，將這兩個(gè)力相加，就得出 [K3,5] = [K511] + [K153] 。由此看出，總剛的剛度系數(shù)是相關(guān)單剛的剛度系數(shù)的集成。 2021年 6月 12 剛度矩陣的集成規(guī)則： 1）在整體離散結(jié)構(gòu)變形后，應(yīng)保證各單元在節(jié)點(diǎn)處仍然協(xié)調(diào)地相互連接，即在該節(jié)點(diǎn)處所有單元在該節(jié)點(diǎn)上有相同位移。 2）整體離散結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足平衡條件。即環(huán)繞每個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有單元作用其上的節(jié)點(diǎn)力之和應(yīng)等于作用于該節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)載荷 Ri。 3. 總體剛度矩陣的形成與特點(diǎn) — 整體剛度矩陣的形成 1 2 i ① ② ③ ④ 3 4 1 2 i ① ② ③ ④ Ri 3 4 2021年 6月 13 對(duì)稱性 。由 Kij的物理意義和互易定理可以很容易得到此結(jié)論。 利用對(duì)稱性可以只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。 稀疏性 。 矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。 3. 總體剛度矩陣的形成與特點(diǎn) — 整體剛度矩陣的特點(diǎn) 2 ③ ④ ① ② 3 1 4 5 6 節(jié)點(diǎn) 1只與周圍的兩個(gè)節(jié)點(diǎn) ( 3)用三角形單元相連，它們是 1的相關(guān)節(jié)點(diǎn)。在矩陣 [K]中，第 1行的非零元素只有 6個(gè) (對(duì)應(yīng)于相關(guān)節(jié)點(diǎn)的x,y向自由度 )。 問(wèn)題的規(guī)模越大，矩陣中的非零元素所占的比例就越小 2021年 6月 14 帶形分布規(guī)律 。 右圖中，矩陣 [K]的非零元素分布在以對(duì)角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi)，稱為帶形矩陣。在半個(gè)帶形區(qū)域中 (包括對(duì)角線元素在內(nèi) )，每行具有的元素個(gè)數(shù)叫做半帶寬，用 d表示。半帶寬的一般計(jì)算公式是：
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