【正文】 20020 10 )()(1e xp)0()()(1e xp)1(? ? ? ??????? ????????? ?? ?? ss TT dttstrnPdttstrnP 020020 10 )()(1e xp)0()()(1e xp)1(? ? ? ?? ? ????? s sT T dttstrPndttstrPn 0 0 202110 )()()0(1ln)()()1(1ln?? ? ss TT dttsdtts 0 210 20 )()(18 第 10章 數字信號最佳接收 若 式中 則判為發(fā)送碼元是 s0(t)；反之，則判為發(fā)送碼元是 s1(t)。 W0和 W1可以看作是由先驗概率決定的加權因子。 ? 最佳接收機 ?按照上式畫出的最佳接收機原理方框圖如下： ?? ??? ss TTo dttstrWdttstrW 0 0011 )()()()()0(ln200 PnW ? )1(ln201 PnW ?19 第 10章 數字信號最佳接收 W1 r(t) S1(t) S0(t) W0 t = Ts 比較判決 積分器 積分器 ?? ??? ss TTo dttstrWdttstrW 0 0011 )()()()(20 r(t) S0(t) S1(t) 積分器 積分器 比較判決 t = Ts 第 10章 數字信號最佳接收 若此二進制信號的先驗概率相等，則上式 簡化為 最佳接收機的原理方框圖也可以簡化成 ? ??s sT T dttstrdttstr0 0 01 ()()()( ）?? ??? ss TTo dttstrWdttstrW 0 0011 )()()()(21 第 10章 數字信號最佳接收 由上述討論不難推出 M 進制通信系統(tǒng)的最佳接收機結構 ?上面的最佳接收機的核心是由相乘和積分構成的相關運算，所以常稱這種算法為相關接收法。 ?由最佳接收機得到的誤碼率是理論上可能達到的最小值。 積分器 r(t) SM(t) S0(t) S1(t) 比較判決 積分器 積分器 ????22 第 10章 數字信號最佳接收 ? 確知數字信號最佳接收的誤碼率 ? 總誤碼率 在最佳接收機中，若 則判為發(fā)送碼元是 s0(t)。因此，在發(fā)送碼元為 s1(t)時，若上式成立，則將發(fā)生錯誤判決。所以若將 r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，則上式成立的概率就是在發(fā)送碼元“ 1‖的條件下收到“ 0‖的概率，即發(fā)生錯誤的條件概率 P(0 / 1)。此條件概率的計算結果如下 ? ? ? ?? ? ????? s sT T dttstrPndttstrPn 0 0 202110 )()()0(1ln)()()1(1ln? ?????? axdxeaPP22221)()1/0( ??????23 第 10章 數字信號最佳接收 式中 同理，可以求出發(fā)送 s0(t)時，判決為收到 s1(t)的條件錯誤概率 式中 ? ?????? axdxeaPP 22221)()1/0( ??????? ??? sT dttstsPPna 0 2021 )]()([21)1( )0(ln2? ??? sT dttstsnD 0 20212 )]()([2)( ?? ?? ?????? bxdxebPP22221)()0/1( ??????? ??? ST dttstsPPnb 0 2100 )]()([21)0( )1(ln224 第 10章 數字信號最佳接收 因此，總誤碼率為 ? 先驗概率對誤碼率的影響 當先驗概率 P(0) = 0及 P(1) = 1時， a = ?及 b = ?，因此由上式計算出總誤碼率 Pe = 0。在物理意義上，這時由于發(fā)送碼元只有一種可能性，即是確定的“ 1‖。因此，不會發(fā)生錯誤。同理，若 P(0) = 1及 P(1) = 0 ，總誤碼率也為零。 21)0(21)1()0/1()0()1/0()1(222222?????????????????????? ??????dxePdxePPPPPPbxaxe?? ???? ????25 第 10章 數字信號最佳接收 ?當先驗概率相等時： P(0) = P(1) = 1/2， a = b。這樣，上式可以化簡為 式中 上式表明，當先驗概率相等時，對于給定的噪聲功率??2，誤碼率僅和兩種碼元波形之差 [s0(t) – s1(t)]的能量有關，而與波形本身無關。差別越大， c 值越小，誤碼率 Pe也越小。 ?當先驗概率不等時： 由計算表明，先驗概率不等時的誤碼率將略小于先驗概率相等時的誤碼率。就誤碼率而言，先驗概率相等是最壞的情況。 dxeP cxe ? ???? 22221 ?????? ??? sT dttstsc 0 210 )]()([2126 第 10章 數字信號最佳接收 ? 先驗概率相等時誤碼率的計算 在噪聲強度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號碼元的區(qū)別?，F(xiàn)在給出定量地描述碼元區(qū)別的一個參量，即碼元的相關系數 ? ，其定義如下： 式中 E0、 E1為信號碼元的能量。 當 s0(t) = s1(t)時， ?＝ 1，為最大值；當 s0(t) = s1(t)時，?＝－ 1，為最小值。所以 ? 的取值范圍在 1 ? ? ? +1。 100 100210200 10)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdttstsssss TTTT????????????????????? sT dttsE 0 200 )( ?? sT dttsE 0 211 )(27 第 10章 數字信號最佳接收 當兩碼元的能量相等時，令 E0 = E1 = Eb，則上式可以寫成 并且 將上式代入誤碼率公式，得到 為了將上式變成實用的形式，作如下的代數變換： 令 則有 bTEdttstsS?? 0 10)()(?)1()]()([21 0 210 ??????? ? bT Edttstsc SdxedxeP bExcxe ????????????)1( 22 22222121 ? ????????????2/xz ?222 2/ ??xz ? ??2/dxdz ?28 第 10章 數字信號最佳接收 于是上式變?yōu)? 式中 利用下式中 ??2和 n0關系 代入上式，得到誤碼率最終表示式： ?????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????2)1(121221112212/)1(2/)1(2/)1(2/)1(2222bEzEzEzEzeEe r fdzedzedzedzePbbbb? ?? x z dzexe r f 0 22)( ?)1()]()([2)( 00 20212 ??? ? ????? ? bT EndttstsnD s???????? ?????????????????? ???00 2)1(212)1(121nEe r f cnEe r fP bbe??29 第 10章 數字信號最佳接收 式中 — 誤差函數 — 補誤差函數 Eb — 碼元能量； ? — 碼元相關系數； n0 — 噪聲功率譜密度。 上式是一個非常重要的理論公式，它給出了理論上二進制等能量數字信號誤碼率的最佳（最小可能）值。在下圖中畫出了它的曲線。實際通信系統(tǒng)中得到的誤碼率只可能比它差，但是絕對不可能超過它。 ???????? ?????????????????? ???00 2)1(212)1(121nEe r f cnEe r fP bbe??? ?? x z dzexe r f 0 22)( ?)(1)( xe r fxe r f c ??30 第 10章 數字信號最佳接收 ? 誤碼率曲線 dB 31 第 10章 數字信號最佳接收 ? 最佳接收性能特點 ? 誤碼率僅和 Eb / n0以及相關系數 ?有關，與信號波形及噪聲功率無直接關系。 ? 碼元能量 Eb與噪聲功率譜密度 n0之比，實際上相當于信號噪聲功率比 Ps/Pn。因為若系統(tǒng)帶寬 B等于 1/Ts， 則有 按照能消除碼間串擾的奈奎斯特速率傳輸基帶信號時，所需的最小帶寬為 (1/2Ts) Hz。對于已調信號，若采用的是2PSK或 2ASK信號，則其占用帶寬應當是基帶信號帶寬的兩倍，即恰好是 (1/Ts) Hz。所以，在工程上，通常把 (Eb/n0)當作信號噪聲功率比看待。 nssssssbPPBnPTnPnTPnE ????0000 )/1(32 第 10章 數字信號最佳接收 ? 相關系數 ? 對于誤碼率的影響很大。當兩種碼元的波形相同，相關系數最大，即 ? = 1時，誤碼率最大。這時的誤碼率 Pe = 1/2。因為這時兩種碼元波形沒有區(qū)別，接收端是在沒有根據的亂猜。當兩種碼元的波形相反，相關系數最小，即 ? = 1時，誤碼率最小。這時的最小誤碼率等于 例如， 2PSK信號的相關系數就等于 1。 ? 當兩種碼元正交，即相關系數 ? 等于 0時，誤碼率等于 ? 例如， 2FSK信號的相關系數就等于或近似等于零。 ???????????????????????????00 21121nEe r f cnEe r fP bbe???????????????????????????00 2212121nEe r f cnEe r fP bbe33 第 10章 數字信號最佳接收 ? 若兩種碼元中有一種的能量等于零，例如 2ASK信號，則 誤碼率為 ? 比較以上 3式可見，它們之間的性能差 3dB，即 2ASK信號的性能比 2FSK信號的性能差 3dB，而 2FSK信號的性能又比 2PSK信號的性能差 3dB。 ??? sT dttsc 0 20 )]([21?????????????