【正文】 趨勢(shì) 數(shù)據(jù)的特征和測(cè)度 離散程度 平均數(shù) 中位數(shù) 眾 數(shù) 變異系數(shù) 方差和標(biāo)準(zhǔn)差 四分位差 平均差 全距 四分位數(shù) 平均指標(biāo) 變異指標(biāo) 平均指標(biāo) （概念、種類(lèi)、特點(diǎn)、作用） 平均指標(biāo)是指 同質(zhì)總體 中各單位某一 數(shù)量標(biāo)志 值在一定時(shí)間和空間條件下所達(dá)到的 一般水平 的綜合指標(biāo) ， 用來(lái)描述靜態(tài)數(shù)列分布集中趨勢(shì) 。 概念 種類(lèi) 位置平均數(shù) 眾數(shù) (Mode) 中位數(shù) (Median) 四分位數(shù) （ Quartile） 數(shù)值平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù) (Average ) 調(diào)和平均數(shù) (Harmean) 幾何平均數(shù) (Geomean) 特點(diǎn) （ 1） 反映總體各單位數(shù)量標(biāo)志而非品質(zhì)標(biāo)志的一般水平 （ 2） 抽象掉了總體各單位數(shù)量標(biāo)志值的差異 （ 3） 反映總體分布的集中趨勢(shì) 。 作用 （ 1） 平均指標(biāo)可以消除因總體范圍不同而帶來(lái)的總體數(shù)量差異 ， 從而使范圍不同的總體具有可比性 。 （ 橫向 ） （ 2） 同一現(xiàn)象總體在不同時(shí)間上的平均指標(biāo)可以反映現(xiàn)象總體的發(fā)展變化趨勢(shì)或規(guī)律性 。 （ 縱向 ） （ 3） 進(jìn)行數(shù)量上的估計(jì) 、 推斷 ， 是抽樣推斷理論里需計(jì)算的基本指標(biāo) 。 在建國(guó)初期 ， 我國(guó)人口的平均壽命不到 40歲 。 現(xiàn)在我國(guó)人口的平均壽命已經(jīng)超過(guò) 70歲 ， 城市人口的平均壽命已經(jīng)達(dá)到 77歲 。 這說(shuō)明了什么問(wèn)題 ？ 一、平均指標(biāo) （算術(shù)平均數(shù)） 總體單位總數(shù)總體標(biāo)志總量算術(shù)平均數(shù) ? 基本計(jì)算公式： 具體計(jì)算公式： （ 1）簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)（不分組資料）： 設(shè)一組數(shù)據(jù)為： x1 ， x2 ， … ， xn nxnxxxx n ?????? ?21（ 2）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)（分組資料）： 設(shè)分組后的數(shù)據(jù)為： x1 ， x2 ， … ， xk 相應(yīng)的頻數(shù)為： f1 ， f2， … ， fk ??????????fxfffffxfxfxxnnn??212211加權(quán)平均數(shù) (權(quán)數(shù)對(duì)均值的影響 ) ? 甲乙兩組各有 10名學(xué)生 ， 他們的考試成績(jī)及其分布數(shù)據(jù)如下 ? 甲組： 考試成績(jī)（ X ） : 0 20 100 ? 人數(shù)分布（ F ）： 1 1 8 ? 乙組： 考試成績(jī)（ X ） : 0 20 100 ? 人數(shù)分布（ F ）： 8 1 1 X甲 0 1+20 1+100 8 n ? ? 10 i=1 ? xif ? 82（分） X乙 0 8+20 1+100 1 n ? ? 10 i=1 ? xif ? 12（分） 幾點(diǎn)注意： ? （ 1） 影響算術(shù)平均數(shù)大小的因素有二： ? 變量值 x的大小 ， 變量值越大 ， 平均數(shù)越大 ? 各組次數(shù) ， 但非次數(shù)絕對(duì)數(shù) ， 而是次數(shù)的相對(duì)數(shù) ， 次數(shù)結(jié)構(gòu)或比重 、 頻率 (f/∑f) ? （ 2） 加權(quán)算術(shù)平均數(shù)偏向于頻率大的變量值 ，頻率大的標(biāo)志值大 ， 算術(shù)平均數(shù)也大 ， 頻率大的標(biāo)志值小 ， 算術(shù)平均數(shù)就小 。 ? （ 3） 當(dāng) f1=f2=f3=…… =fn時(shí) ， 加權(quán)平均數(shù) = 簡(jiǎn)單平均數(shù) ? （ 4） 組距數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)時(shí) ， 假定該組標(biāo)志值是完全均勻分布的 ， 以各組的組中值為各組變量值 ， 計(jì)算的平均數(shù)是近似值 。 ? ?affaxx ??? ??affaxx ????affaxx ??????????????a為接近平均數(shù)的常數(shù) ， 或中間組的組中值 △ 為等距數(shù)列的組距 算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì) ? （ 1） ∑（ x – x） = 0 ? （ 2） ∑( x –x)2= 最小值 ? （ 3） 各變量值加 （ 減 、 乘 、 除 ） 一個(gè)常數(shù) a， 其算術(shù)平均數(shù)也應(yīng)加 （ 減 、 乘 、 除 ） 常數(shù) a 某企業(yè)工人日產(chǎn)量如下表，求該企業(yè)平均日產(chǎn)量 產(chǎn)量 工人數(shù) 組中值 (xa)/△ (xa)f/△ 60以下 10 55 60—70 19 65 70—80 50 75 80—90 36 85 90—100 27 95 100—110 14 105 110以上 8 115 合計(jì) 164 產(chǎn)量 工人數(shù) 組中值 (xa)/△ (xa)f/△ 60以下 10 55 3 30 60—70 19 65 2 38 70—80 50 75 1 50 80—90 36 85 0 0 90—100 27 95 1 27 100—110 14 105 2 28 110以上 8 115 3 34 合計(jì) 164 39 85101643985101085????????????? ??????????????????ffxaffaxx? 平均指標(biāo)在實(shí)際中的應(yīng)用 ——《 平均指標(biāo)在教師教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)中的作用 》 二、平均指標(biāo) （調(diào)和平均數(shù)） ???????????????????????????mxmmxmxmxmmmmmmmxmxmxHxnxxxnnxxxHnnnnnnnn11111111111111112211212122112121??????概念 變量值的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù) 。 公式 n為變量個(gè)數(shù) ， x為變量 m為權(quán)數(shù) ? 算術(shù)平均數(shù)的基本公式中缺分母資料時(shí)采用此方法 ，注意區(qū)分變量和權(quán)數(shù) 。 常用的是加權(quán)式 。 ? 在研究同一問(wèn)題時(shí) ， 加權(quán)調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的意義是相同的 ， 只是由于所掌握的資料不同 ， 而采用不同的計(jì)算方法而已 。 如果權(quán)數(shù) m=xf， 即總體標(biāo)志總量等于總體單位數(shù)與標(biāo)志值的乘積 ， 則加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就等于加權(quán)調(diào)和平均數(shù) 。 原來(lái)只是計(jì)算時(shí)使用了不同的數(shù)據(jù) ！ ???? ? ? ??iiiiiiiiffXXfXfXH適用 例：某農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)某種蔬菜價(jià)格早市 /斤 ， 午市 /斤 ， 晚市 /斤 。 （ 1） 早 、 中 、 晚各買(mǎi) 1斤 ， 平均價(jià)格是多少 ？ （ 2） 早 、 中 、 晚各買(mǎi) 1元錢(qián)的 ， 平均價(jià)格是多少 ？ （ 3） 早 、 中 、 晚各買(mǎi) 1元 、 2元 、 3元 ， 平均價(jià)格又是多少 ？ 例：某公司所屬甲、乙兩企業(yè)的勞動(dòng)生產(chǎn)率及產(chǎn)值資料如下： 甲企業(yè) 乙企業(yè) 勞動(dòng)生產(chǎn)率 （元 / 人） 人數(shù) （人） 勞動(dòng)生產(chǎn)率 （元 / 人） 產(chǎn)品產(chǎn)值 （元） 800 — 1000 1000 — 1200 1200 以上 20 50 30 950 1050 1300 16150 6300 0 32500 合計(jì) 100 —— 111650 要求：分別計(jì)算甲、乙兩企業(yè)的平均勞動(dòng)生產(chǎn)率。 三、平均指標(biāo) （幾何平均數(shù)） 概念 適用 n個(gè)變量值的連乘積的 n次方根 。 ?當(dāng)標(biāo)志總量等于總體各單位標(biāo)志值的乘積時(shí) ， 用幾何平均法 。 多用于計(jì)算平均比率 、 平均速度 。 ?例如 ， 各年的發(fā)展速度 ， 生產(chǎn)流水線(xiàn)各道工序的產(chǎn)成品合格率 ，按復(fù)利計(jì)息的各年本利率等等 。 n in n xxxxxG ??? ?321簡(jiǎn)單式：? ???? f fif fnnfff ixxxxxG ?321321加權(quán)式：取對(duì)數(shù)求解： 簡(jiǎn)單式： lgG =(lgx1+lgx2+lg x3+ … + lgxn） /n =∑lgx/ n 加權(quán)式 ： lgG =（ f1lgx1+ f2lgx2+ f3lgx3+ … + fn lgxn） = ∑(flgx)/ ∑f 公式 例 1：某地區(qū) 2021—2021年國(guó)民經(jīng)濟(jì)環(huán)比發(fā)展速度分別為80%、 90%、 120%、 150%， 則四年的平均發(fā)展速度為多少 ？ 例 2：某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品要經(jīng)過(guò)三道工序 ， 第一道工序的產(chǎn)品合格率是 92%， 第二道工序的產(chǎn)品合格率是 95%， 第三道工序的產(chǎn)品合格率是 90%， 要求計(jì)算該產(chǎn)品三道工序的平均合格率 。 例 3：銀行對(duì)某筆投資的年利率按復(fù)利計(jì)算 ， 25年利率如下 ， 求平均年利率 年限 利率（ %） 年數(shù)（年） 第 1年 第 2—5年 第 6—13年 第 14—23年 第 24—25年 3 5 8 10 15 1 4 8 10 2 算術(shù)平均數(shù) X、調(diào)和平均數(shù) H、幾何平均數(shù) G三者之間的關(guān)系： ? H≤G ≤X nxxxxxxxxxnnnnn???????????212121111無(wú)眾數(shù) 原始數(shù)據(jù) : 10 5 9 12 6 8 一個(gè)眾數(shù) 原始數(shù)據(jù) : 6 5 9 8 5 5 多于一個(gè)眾數(shù) 原始數(shù)據(jù) : 25 28 28 36 42 42 總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值 ， 不受極端值的影響 眾數(shù) (眾數(shù)的不唯一性 ) 四、平均指標(biāo)（眾數(shù)） 眾數(shù)作為總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，能直觀(guān)的說(shuō)明總體各單位該標(biāo)志值的集中趨勢(shì)，故能說(shuō)明該現(xiàn)象數(shù)量方面的一般水平。 只有當(dāng)總體單位數(shù)比較多，且標(biāo)志值的分布具有明顯的集中趨勢(shì)時(shí)，眾數(shù) 的確定才有意義，如果標(biāo)志值的分布呈均勻分布，該數(shù)列無(wú)眾數(shù)。 當(dāng)某種社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象不可能或無(wú)必要全面登記出各單位標(biāo)志值及各標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)，來(lái)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)時(shí)，可用最普遍出現(xiàn)的標(biāo)志值，即眾數(shù)來(lái)代替其一般水平。 單項(xiàng)數(shù)列眾數(shù)的確定 觀(guān)察法：次數(shù)最多的標(biāo)志值即為眾數(shù) 。 例如 ， 某企業(yè)工人月工資資料如下表： 月工資額（元） 工人數(shù)（人） 1700 15 1800 30 1900 17 2021 9 合計(jì) 71 次數(shù) d △ 1 X Y △ 2 0 L M 0 U 各組標(biāo)志值 組距數(shù)列眾數(shù)的確定 ?先確定眾數(shù)組 ， 然后推算出眾數(shù)的近似值 。 眾數(shù)的計(jì)算公式 （算例見(jiàn)課本 64頁(yè)） dUMdLM??????????????21202110上限公式：下限公式：?其中： L —— 表示眾數(shù)組的下限 U —— 表示眾數(shù)組的上限 △ 1 —— 眾數(shù)組次數(shù)與前一組次數(shù)之差 △ 2 —— 眾數(shù)組次數(shù)與后一組次數(shù)之差 d —— 表示眾數(shù)所在組的組距 五、平均指標(biāo) （中位數(shù)） Me 50% 50% 概念 適用 在有序數(shù)列中 ， 處于中間位置的變量值 中位數(shù)不受數(shù)列中極端標(biāo)志值的影響 ，在總體標(biāo)志值差異很大的情況下 ， 中位數(shù)具有較強(qiáng)的代表性 ， 可用中位數(shù)代表數(shù)列的一般水平 。 未分組資料中位數(shù)的確定 先排序 ， 再找到中位數(shù)的位置 ， 在第(n+1)/2項(xiàng) ， 該項(xiàng)對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值即為