【正文】 。一個(gè)復(fù)雜的入射波可以分解成幾個(gè)簡單的分量，而合成的電子加速度以及再發(fā)射過程，可以通過把這些簡單的分量疊加起來得到。這樣，就可以把 E⊥ 和 E∥ 看作是到達(dá) O點(diǎn)的任一電磁輻射的振幅分量。 假定入射輻射的強(qiáng)度為 I0，并假定該輻射是未極化的，則 E⊥ 2=E∥ 2∝ 21 I0=CI0 …………………… () 散射輻射的強(qiáng)度，是用單位立體角的功率來定義的，當(dāng)以 2θ角散射時(shí)，它可由下式給出 I2θ =c1 r2[(E⊥ ’ )2+( E∥ ’ )2] 分母的 c是光速 =21 (mce 2024??)2(1+cos22θ )I0 …………………… () 湯姆遜散射是相干的，即入射輻射和散射輻射之間有一個(gè)確定的位相關(guān)系。自由電子的位相移動(dòng)為π。不過，所有與 X射線衍射有關(guān)的過程，電子都是束縛在原子中的。這種非自由的多電子散射形式，后面再討論它。下面我們先來計(jì)算由單個(gè)電子散射的總功率。在圖 ， O點(diǎn)表示一個(gè)電子， OX為入射線的方向。在立體角 dΩ內(nèi)（它是由半頂角γ和γ +dγ構(gòu)成的兩個(gè)圓錐表面之間的區(qū)域確定的）散射的總功率是 dP=Iα dΩ 并且，由于 dΩ =2π sinγ dγ ,Ir可由 （ ） 式給出，由此得到： dP=π (mce 2024??)2(1+cos2γ )I0sinγ dγ …………… () 對(duì)全球積分，即得單電子散射的總功率 * * ?? ??? ???0 2 sin)c os1( d= ???? ? ???? ????? 0 20 s inc oss in dd=? ? ?? ??030 3c osc os ????????? = )3 0c os()3c os()0c os(c os 33 ????????? ?? =38 92 P=π (mce 2024??)2I0 ????? d? ? ?0 2 sin)c os1( =02202438 Imce ???????? ??? …………………… () 一個(gè)單位體積內(nèi)含有 n個(gè)電子的物質(zhì)， 把它浸在橫截面為β的平行入射線中，入射線的功率就是β I0（因?yàn)閺?qiáng)度 I0是入射線單位面積上的功率）。在射線跡徑的單位長度上，被射線穿過的電子數(shù)為 nβ ,因而每單位跡徑所散射的總功率就可由（ ） 得到。 Pl= 02202438 nImce ???? ???????? ……………………（ ） Pl與入射線功率（β I0） 之比稱為該物質(zhì)的散射能力，即 nmceIP 220201 438 ?????????? ????? …………………………（ ） 量?是在射線跡徑 的單位長度（米）上散射出來的那部分入射輻射。 如果物質(zhì)中的電子全部是自由電子，可由式（ ） 估計(jì)物質(zhì)的散射能力。例如，原子量小于 30的，比重為 ，每立方米約含 3179。 1029個(gè)電子，將此 n值代入（ ）式，就可以得到 )103()(38 29215 ??? ??? ≈ 20 這是穿過 1米厚的晶體的散射能力，若以 1mm直徑大小的晶體計(jì)，則散射能力只有 %21000120 ???? 這表明，通常被散射的入射 X射線只占 2%甚至更少。 167。３．２． 5 康普頓（ Compton）散射 實(shí)際 上，物體散射的輻射是由兩部分組成的，第一部分是湯姆遜散射，其波長與入射波長相同；第二部分的波長大于入射輻射的波長，波長的變化與散射角有關(guān)，這第二種成分就是康普頓（ Compton）散射的結(jié)果，它與入射輻射是不相干的。我們來看看這個(gè)過程。在圖 （ a）中，入射光子沿 PO 方向移動(dòng)，與電子碰撞后沿 OQ 移動(dòng)，而電子則反沖到 OR方向。根據(jù)彈性碰撞的能量守恒原理，我們得到 221 mvdhchc ??? ??? 或近似為 22 21 mvdhc ??? ……… () 除能量外，動(dòng)量也必須守恒。圖 (b)中，給出了相應(yīng)的動(dòng)量矢量圖。忽略被散射光子動(dòng)量的變化，由動(dòng)量矢量圖可得 ?? sin21 hmv ? ……………… () 從（ ）和 ()消去 v后，得到 93 )2c os1( ?? ??mchd …………… () 式中mch=,當(dāng) 2θ =180176。時(shí)，（背散射），波長變化最大， dλ =,波長變化只與散射角有關(guān)，而與入射波長無關(guān)。這 197。的變化對(duì)于 1 197。左右的 X光來說是相當(dāng)可觀的。 167。 3． 2． 6 原子的 X射線散射 原子中的電子被束縛在確定的能態(tài)上．因?yàn)檫@種電子只能存在于分立的能態(tài)上，那么湯姆遜散射不改變波長，自然也不改變電子的能態(tài)，而康普頓散射引起了波長變化，相應(yīng)地應(yīng)有電子能態(tài)的變化，如從一個(gè)束縛態(tài)到另一個(gè)束縛態(tài)，或者電子完全脫離原子而釋出。 對(duì)于原子中的電子，其波 動(dòng)方程的解給出一個(gè)波函數(shù)ψ，根據(jù)該函數(shù)，電子電荷的分布為： ρ =|ψ |2 ρ代表單位體積內(nèi)的電荷密度（以電子單位表示）。當(dāng) |ψ |（ρ）是球形對(duì)稱時(shí)（這是一種特殊情況），ρ只與 r有關(guān)，是 r的函數(shù)，我們可以用ρ (r)表示電子密度。如果用球極坐標(biāo)表示位置參數(shù)，取原子中心為原點(diǎn)，那么在一個(gè)小體積元內(nèi)電荷就是 ρ (r)r2sinψ drdψ dφ (圖 )。這樣，如果散射矢量為 s，并且坐標(biāo)系的選取能使 s平行于一個(gè)坐標(biāo)軸（ψ是從這個(gè)軸測量的），那么相干散射輻射的總振幅就可以由式（ ） 得到（用積分代替加和）。我們 把由小體積元散射的波的振幅看作是電荷的 CS倍，這里 CS是一個(gè)依賴于散射矢量 s 的常量，因?yàn)?r178。 s=rscosψ，我們就得到全部電子所散射的波振幅為 ???????? ?? ddr di r srrCA rSS s i n)c os2e xp()(0 0 2 0 2 ?? ? ? ??? ? ? ……… () 94 特別要注意，對(duì)ψ和φ的積分限包括整個(gè)空間。 如果電子密度分布是球形對(duì)稱的，那么， AS也是中心對(duì)稱的。若 P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ r,ψ ,φ ） ，則對(duì)映點(diǎn) P’ 的坐標(biāo)為（ r,π ψ ,π +φ ） ， P 和 P’ 的電子密度相同，這兩點(diǎn)體積元的貢獻(xiàn)加和 exp[2π irscosψ ]+exp[2π irscos(π ψ )] = exp[2π irscosψ ]+exp[2π irscosψ ] =2cos(2π rscosψ ) 由此可見，對(duì)于中心對(duì)稱的電子密度分布來說， AS 是一個(gè)實(shí)數(shù)量。（ ） 式可以改寫成： ???????? ?? ddr drsrrCA rSS s i n)c os2e xp ()(0 0 2 0 2? ? ??? ? ?? ……… () 因?yàn)棣?(r)與ψ和φ無關(guān)，這就可以對(duì)后面兩個(gè)變量積分，從而得到： drrs rsrrCA rSS ???? 0 2 2 2s i n)(4 ? ??? ………………………… () AS 是由位于原點(diǎn) 的一個(gè)點(diǎn)電子給出的，對(duì)于給定的散射矢量 s，由ρ (r)求出散射振幅PS,它是 AS的一部分。作為點(diǎn)電子，其電子密度具有δ函數(shù)的性質(zhì)： δ (r)=0 if r≠ 0 δ (r)=1 if r=0 并且 ? ?1)( drr? ，積分范圍包括圍繞原點(diǎn)的任一有限空間體積。對(duì)一個(gè)δ函數(shù)型的電子密度來說，遠(yuǎn)離原點(diǎn)的地方對(duì) AS無貢獻(xiàn)，并且因?yàn)? 12 2sin 0 ??????? ?rrsrs?? 95 而按定義有 1)(4 0 2 ???xr drrr?? 于是，可得： （ AS） 0=CS …………（ ） 由此得到： drrs rsrrAAP rsSS ????? 0 20 2 2s i n)(4)( ? ??? …（ ） 這里，我們看出， P 僅依賴于 s 的大小，所以 P的下標(biāo)不需用矢量符號(hào)了。如果一個(gè)原子含有 z個(gè)電子，那么總電子密度ρ a(r)就是每個(gè)電子密度的和，即： ??? zj ja rr 1 )()( ?? …………………… () 總電子密度的相干散射振幅就可以由分別取得的每個(gè)電子的振 幅之和來獲得。我們定義一個(gè)原子的散射因子 fa，是一個(gè)原子的相干散射輻射的振幅與位于原子中心的一個(gè)電子的相干散射輻射振幅之比。 由（ ） 和 ()式可得： ?? ??? ?? zj jSr aa pdrrs rsrrf 00 2 )(2 2s i n)(4 ? ??? …………………… () 我們由 ()式可知，來自一個(gè)原子中電子的相干散射的強(qiáng)度是 PS2I2θ ，可是按波動(dòng)力學(xué)給出的散射總強(qiáng)度是 I2θ ，所以康普頓散射的強(qiáng)度就必須是（ 1PS2） I2θ 。但是，來自一個(gè)原子中電子的康普頓散射與來自其它電子的康普頓散射是不相干的，所以全部電 子散射的總強(qiáng)度是每個(gè)電子分別散射的強(qiáng)度之和，這樣我們就得到： ?? ??? zj jS IpI 1 2})(1{ ?康普頓 ……………………………… () ?221)( IPI zj jS???????? ??湯姆遜 ……………………………… () 在入射方向上，即當(dāng) s=0(θ =0)時(shí)，有 12 2sin 0 ??????? ?srsrs?? 于是 P0=1，因此在入射方向上的散射輻射不存在非相干的康普頓散射成分。 P值隨著θ的增加而降低，不過對(duì)于絕大多數(shù)緊緊束縛在原 子中的那些電子來說，降低的速度較小。 注意，在（ ） 式中，是強(qiáng)度的加和，在（ ） 式中，是振幅的加和。當(dāng) s很大時(shí)，非相干散射是很可觀的。但在晶體的 X射線衍射條件下，大量原子是協(xié)同散射的，相干散射是振幅疊加在一起，對(duì)總的散射強(qiáng)度起著主導(dǎo)作用，因而一般可以不考慮非相干散射。 167。 晶體衍射 167。 一維原子列的衍射 晶體是由三維周期排列的原子組成的。每個(gè)原子都能散射 X射線。每個(gè)原子的輻射散射與所有其他原子的散射是相干的。上一節(jié)我們已經(jīng)看到了如何計(jì)算合成的散射振幅?，F(xiàn)在我 96 們來研究原子排列的周 期性質(zhì)在晶體 X射線衍射中的影響。先考慮一維原子列的衍射。 n個(gè)原子排成一列，相鄰原子相隔一矢量距離 a。 以前，我們?cè)l(fā)現(xiàn)，如果散射體是中心對(duì)稱排列的，而且原點(diǎn)選在對(duì)稱中心上，那么相應(yīng)的散射就是實(shí)的。假定 n是奇數(shù)，我們把位于對(duì)稱中心的原子取做坐標(biāo)原點(diǎn)，那么情況就更簡單了。 在散射矢量 s 的方向上相對(duì)距離大于點(diǎn)陣范圍處的散射輻射振幅，如果表示為位于原點(diǎn)的點(diǎn)電子的散射輻射振幅的一部分則為： ???????)1(21)1(212c o snnqan qfA sa? …………………………（ ） 其中 fa是原子散射因子。這個(gè)表達(dá)式可以簡化為 sasasa ???? ???????? s i n2c o s2s i n2)1(21)1(21nnqan qfA sasasasa ????????? )2(s i n)2(s i n[s i ns i n2 nnnf a ???? sa ??? )4(sin n? +…… + ])(s in)2(s in sasa ?????