【正文】 種專業(yè)工具箱將 MATLAB 的應(yīng)用擴(kuò)展到非常廣的領(lǐng)域。 (2)界面友好、編程效率高， MATLAB 的指令表達(dá)方式與標(biāo)準(zhǔn)教科書的數(shù)學(xué)表達(dá)式非常相近，用戶不需要有較高的計(jì)算機(jī)編程基礎(chǔ)，只要按照計(jì)算要求輸入表達(dá)式， MATLAB 將為用戶計(jì)算出結(jié)果。同時(shí)使用 MATLAB 語(yǔ)言設(shè)計(jì)的程序，其編譯和執(zhí)行速度都超過(guò)了傳統(tǒng) c 和 Fortran 語(yǔ)言設(shè)計(jì)的程序，在工程計(jì)算方面的編程效率也高于其它編程語(yǔ)言。 (3)擴(kuò)展性強(qiáng)， MATLAB 的最重要特點(diǎn)之一就是它的可擴(kuò)展性。這個(gè)特點(diǎn)使得用戶能夠自由地開(kāi)發(fā)自己的應(yīng)用程序。這些年來(lái)，許多使用 MATLAB 的科學(xué)家、工程師和技術(shù)人員已經(jīng)開(kāi)發(fā)出相當(dāng)多的不同領(lǐng)域的應(yīng)用程序。 MATLAB 的應(yīng)用范圍： MATLAB 由主包和各種工具箱組成。主包是 MATLAB 的核心，工具箱是擴(kuò)展的有專門功能的函數(shù)。例如，控制系統(tǒng)工具箱應(yīng)用于連續(xù)和離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)、 遼寧工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 5 頻域和時(shí)域響應(yīng)等控制領(lǐng)域；信號(hào)處理工具箱應(yīng)用于自適應(yīng)去噪和壓縮、譜分析和估計(jì)等信號(hào)處理領(lǐng)域；通信工具箱應(yīng)用于信號(hào)編碼、調(diào)制解調(diào)等通信領(lǐng)域。應(yīng)用 MATLAB的各種工具箱可以在很大程度上減小用戶編程時(shí)的復(fù)雜度，因此 MATLAB 在很廣的領(lǐng)域內(nèi)得到了應(yīng)用，其典型應(yīng)用有；自動(dòng)控制、圖像信號(hào)處理、生物醫(yī)學(xué)工程、語(yǔ)音處理、雷達(dá)工程、信號(hào)分析、振動(dòng)理論、時(shí)序分析與建模、化學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等 MATLAB 語(yǔ)言的優(yōu)點(diǎn) MATLAB 作為一個(gè)以矩陣和數(shù)組為核心計(jì)算的軟件，對(duì)矩陣迭代法中的矩陣迭代計(jì)算尤其適合 [10]。就所查的資料看，以前的學(xué)者和研究人員迭代求解系統(tǒng)固有頻率與主振型時(shí)，大部分都是用 Visiual Basic 或 Fortran 語(yǔ)言來(lái)編寫程序 [11]。限于 Vi siual Basic 或 Fortran 本身語(yǔ)句以及語(yǔ)法的局限性，用這種高級(jí)語(yǔ)言編寫的程序涉及到選擇合適的算法和編寫冗長(zhǎng)的語(yǔ)言代碼以及鍵入和調(diào)試等一系列問(wèn)題。即使有現(xiàn)成的標(biāo)準(zhǔn)予程序可供調(diào)用，要在一些較復(fù)雜的、科研問(wèn)題中編寫一個(gè)完整的程序仍然是一個(gè)復(fù)雜的、技巧性很強(qiáng)的工作。因此，用高級(jí)語(yǔ)言編寫的程序一般代碼段較長(zhǎng)，需要調(diào)用的子程序較多，整個(gè)程序的通讀性較差。相反， MATLAB 則有簡(jiǎn)潔、可讀性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。 本文研究的內(nèi)容 振動(dòng)機(jī)械在國(guó)民經(jīng)濟(jì)中占有重要的位置，振動(dòng)篩是振動(dòng)機(jī)械中的重要一員。一直以來(lái)有許多人對(duì)振 動(dòng)篩進(jìn)行設(shè)計(jì)和研究，但是，振動(dòng)篩的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)近年來(lái)剛剛起步。振動(dòng)特性是振動(dòng)篩非常重要的有別于非振動(dòng)機(jī)械的一個(gè)本質(zhì)特點(diǎn)，卻往往被設(shè)計(jì)者和制造者簡(jiǎn)單化?？陀^的說(shuō)，一般的振動(dòng)都是非線性的，但在許多情況下可以近似看作線性來(lái)處理。線性振動(dòng)理論不論從基礎(chǔ)理論還是實(shí)驗(yàn)技術(shù)方面近年來(lái)都有很大的發(fā)展，特別是應(yīng)用現(xiàn)代化振動(dòng)測(cè)試儀器測(cè)量振動(dòng)信號(hào)以及應(yīng)用計(jì)算機(jī)軟件來(lái)分析處理振動(dòng)信號(hào)，為從事振動(dòng)研究的科技人員帶來(lái)了極大的方便。 把振動(dòng)的理論應(yīng)用到工程實(shí)際中去，切實(shí)解決工程中遇到的實(shí)際的振動(dòng)問(wèn)題是研究振動(dòng)理論的根本目的 。需要對(duì)該力學(xué)模型進(jìn)行深入的分析（借助 MATLAB 軟件進(jìn)行仿真分析）。 本文主要利用 MATLAB 對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行模擬分析對(duì)于虛擬抽象的理論圖像化，處理單自由度振動(dòng)的 3 個(gè)阻尼和強(qiáng)迫單自由度阻尼振動(dòng)，多自由度系統(tǒng)振動(dòng)矩陣迭代求解。 王超：基于 MATLAB 的振動(dòng)系統(tǒng)編程分析 6 2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度振動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立 [12] 建立和分析有粘性阻尼時(shí)的自由度振動(dòng)微分方程。以靜平衡位置為原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)，由牛頓定律得運(yùn)動(dòng)方程為 [13]: 0??? kxxcxm ??? (21) 令 mkm n ?? 2,2 ? 其中 n 稱為衰減系數(shù)，單位為 s1 ； n? 是相應(yīng)的無(wú)阻尼時(shí)的固有頻率，式 (21)可以寫為 ： 02 2 ??? xxnx n???? (22) 如果進(jìn)一步令 nn??? (23) 其中無(wú)量綱的 ? 稱為相對(duì)阻尼系數(shù)，則式 (22)可寫為： 02 2 ??? xxx nn ??? ??? (24) 為了求解，令 x xc? kx x m m c m 遼寧工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 stex? (26) 代入 (24)后得到特征方程： 02 22 ??? nnss ??? (27) 他的兩個(gè)特征根為： 122,1 ???? ???? nns (28) 根據(jù)相對(duì)阻尼系數(shù) ? 的不同大小，可以將阻尼分為三種狀態(tài)： 1?? 時(shí)為過(guò)阻尼， 1?? 時(shí)為臨界阻尼， 10 ??? 時(shí)為欠阻尼。 1） 過(guò)阻尼狀態(tài) 1?? ， 1s 與 2s 是兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根，令 12* ?? ??? n （ 29） 初始條件 00 )0(,)0( xxxx ?? ?? （ 210） 系統(tǒng)初始條件響應(yīng)為 )()( ** 00*0 tshxxtchxetx ntn ??????? ??? ? ? （ 211） 臨界阻尼狀態(tài) ns ?? ??? ,1 是二重根，方程 （ 24） 的通解為系統(tǒng)對(duì)式 （ 210） 的初始條件的響應(yīng)為 ])([)( 000 txxxetx ntn ?? ??? ? ? （ 212） 欠阻尼狀態(tài) 1?? ，其中 21 ??? ?? nd （ 213） 初始條件響應(yīng) )s inc o s()( 000 txxtxetx dd ndtn ??????? ??? ? ? （ 214） 參數(shù)設(shè) 定與求解 阻尼比 ? 分別?。粦?yīng)用 Matlab 對(duì)式 (211)和 (212),（ 214） 求解。程序如下： 王超：基于 MATLAB 的振動(dòng)系統(tǒng)編程分析 8 clear,format pact。 a=。t=0::18。w0=1。 k=1。x0=1。 wd=w0.*sqrt(1a*a)。x1=wd y=exp(a*w0.*t).*(x0.*cos(wd.*t)+((x1+a*wd*x0)./wd)*sin(wd.*t)) figure(1),plot(t,y,39。r39。)。hold on a=。t=0::18。 w0=1。wd=1。x1=wd。 y=exp(wd.*t).*(x0+(x1+wd*x0).*t)。 figure(1),plot(t,y,39。d39。)。hold on a=。t=0::18。w0=1。wd=w0*sqrt(a*a1)。 y=exp(a*w0.*t).*(x0.*cosh(wd.*t)+(x1+a*w0*x0)/w0.*sinh(t))。 figure(1),plot(t,y,39。v39。)。hold on 結(jié)論 ： 圖 22 為 Matlab 計(jì)算后給出的響應(yīng)曲線 ， 從中可以得到一些重要的結(jié)論 [14]： 在 10 ??? 的情況下，階躍信號(hào)輸入時(shí)，輸出信號(hào)為衰減振蕩，其振蕩角頻率（阻尼振蕩角頻率）為 d? ，幅值按指數(shù)衰減越大，阻尼越大，衰減越快。 1?? 時(shí)，振蕩系統(tǒng)等同于兩個(gè)一階系統(tǒng)串聯(lián)。此時(shí)雖然不產(chǎn)生振蕩，但也需要經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到 穩(wěn)態(tài)。 在一定的 ? 之下，欠阻尼系統(tǒng)能夠更快地達(dá)到穩(wěn)態(tài)值；而過(guò)阻尼系統(tǒng)反應(yīng)遲飩，動(dòng)作緩慢，所以系統(tǒng)通常設(shè)計(jì)成欠阻尼系統(tǒng)， ? 取值為 2 遼寧工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 9 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 4t ( s )x(t)a = 1 . 0a = 2 . 0a = 0 . 5 圖 22 算例繪制無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)的固有頻率和周期隨靜變形的變化曲線。 固有頻率 n? 和周期 n? stng?? ? ， gstn ??? 2? 取 2/ smg? 。可以利用下列 MATLAB 程序畫出 st? 在 0~ 范圍內(nèi) n? 和 n? 的變換曲線： % g=。 for i=1:101 t(i)=+()*(i1)/100。w(i)=(g/t(i))^。 tao(i)=2*pi*(t(i)/g)^。 end plot(t,w)。gtext(39。w_n39。)。 hold on。plot(t,tao)。gtext(39。T_n39。)。 王超：基于 MATLAB 的振動(dòng)系統(tǒng)編程分析 10 xlabel(39。delta_s_t39。)。 title(39。39。)。0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 0 . 4 0 . 4 5 0 . 505101520253035wnTnd e l t as tE x a m p l e 2 . 1 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) [15] 簡(jiǎn)諧激勵(lì)是激勵(lì)形式中最簡(jiǎn)單的一種，雖然它在實(shí)際中存在的場(chǎng)合比較少但掌握系統(tǒng)對(duì)于簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)的規(guī)律，是理解系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)或更一般形式激勵(lì)的響應(yīng)基礎(chǔ)。圖所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，質(zhì)量塊上作用有簡(jiǎn)諧激振力 tPtP ?sin)( 0? (215) 遼寧工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 其中 0P 為激振力幅， ? 為激振頻率。以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立圖示的坐標(biāo)系。從圖的受力分析，得到運(yùn)動(dòng)微分方程為： tpkxxcxm ?s in0??? ??? (216) 由常微分方程理論知道，方程 ()的通解 x 由相應(yīng)的齊次 方程的通解 hx 和非齊次方程的任意特解 px 兩部分組成，即 )()()( txtxtx ph ?? (217) 當(dāng)欠阻尼時(shí)，式中 )(txh 為有阻尼自由振動(dòng)，它的特點(diǎn)是振動(dòng)頻率為阻尼固有頻率，振幅按指數(shù)規(guī)律衰減，稱為瞬態(tài)振動(dòng)或瞬態(tài)響應(yīng)； )(txp 是一種持續(xù)的等幅振動(dòng)，它是由于簡(jiǎn)諧激勵(lì)振力的持續(xù)作用而產(chǎn)生的，稱之為穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)或穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，在間隔充分長(zhǎng)時(shí)間考慮的振動(dòng)就是這種穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，而在剛受到外界激勵(lì)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)則是上述兩種振動(dòng)之和。可見(jiàn)，系統(tǒng)受簡(jiǎn)諧激勵(lì)后的響應(yīng)可以分為兩個(gè)階段，一開(kāi)始的過(guò)程稱為過(guò)渡階段，經(jīng)充分長(zhǎng)時(shí)間后，瞬態(tài)響應(yīng)消失這時(shí)進(jìn)入過(guò)渡階段，經(jīng)充分長(zhǎng)時(shí)間后，瞬態(tài)響應(yīng)消失，這是進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段。 將方程（ 215）的兩端同 除以質(zhì)量 m ，并且令 22 nmc ??? （ 218） 其中 ? 為相對(duì)阻尼系數(shù)， n? 為相應(yīng)的無(wú)阻尼系統(tǒng)的固有頻率，則方程（ 215）成為 xm? P(t) kx xc? c k x m P(t) 王超：基于 MATLAB 的振動(dòng)系統(tǒng)編程分析 12 tmpxxx nn ???? s in2 02 ??? ??? （ 219） 上述方程特解可以通過(guò) )sin( ?? ?? tBx 或者 tBtAx ?? s inc o s ?? 來(lái)求得，這里介紹用復(fù)數(shù)方法求式（ 219）的特解。先將式（ 219）寫為下列的復(fù)數(shù)形式 tinn empxxx ???? 022 ??? ??? （ 220） 其中 x 是復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)形式的特解為 tiBex ?? （ 221） 其中 B 稱為復(fù)振幅，其意義是包含有相位的振幅。將式（ 221）代入（ 220），解得 ????? nn imPB 21220 ??? （ 222） 記 ? 為頻率比，它定義為 n???? （ 223） 則式（ 222）可以寫成 ??????? ii BeekpikPB ?? ??????? 222020 )2()1( 121 1 （ 224） 式中 2220 )2()1(1 ??? ??? kpB （ 225） 21 12 ???? ?? ?tg （ 226） 將式（ 224）代入（ 221），得到復(fù)數(shù)形式的特解為 )( ???? tiBex （ 2