【正文】 （ 5） 其中 ?? 和 ?? 分別表示入射和衍射光波的傳播矢量。 ?? 和 ?? 滿足 ?? = ?? ? ? 。 此外假設(shè)在一個波長距離內(nèi)吸收很小，折射率的變化相對于其平均值也很小，即 ： ??0??0 ? ??0 ， ??0??0 ? ??1 ， ??0 ? ??1 （ 6） 其中 ??0是真空中的波數(shù)， ??0 = 2?? ??0? 。公式 （ 6） 幾乎符合所有的實際情況。 現(xiàn)在展開 并 簡化 ??2以用在波動方程中，如下所示 ： 武漢理工大學(xué)《專業(yè)課程設(shè)計 3(信息光學(xué) )》課程設(shè)計說明書 4 ??2 = [??0(??0 ??1 ?????? ? ? ?? ) ??(??0 ??1 ?????? ? ? ?? )]2 ≈ ??2 2??????0 4???? ?????? ? ? ?? （ 7） 這里用了式 （ 6） 中的近似 ?? = ??0??0， ??是 耦合 常數(shù)，由下式給出 : ?? = 12(??0??1 ????1) （ 8） 耦合 常數(shù) ??描述了入射波 ????(???)和衍射波 ????(???)之 間的 耦合 關(guān)系。若 ?? = ，則不存在 耦合 。 由式 (5)和 (7)代入波動方程 (2)中。并假設(shè) R(z)和 S(z)都是 z 的漸變函數(shù)，因而它們的二階微分可以忽略， ?????? ? ? ?? 項 展開為它的兩個復(fù)指數(shù)分量。最后為了滿足波動方程，令所有乘有因子 exp(????? ??? ? ?? )和 exp(????? ??? ??? )的項的和為零。我們得到 R(z)和 S(z)必須分別滿足下面的方程 ： ???? ???????? ??0?? = ??????? ???? ???????? (??0 ????)?? = ??????? （ 9） 其中 ??為失配參數(shù)，由下式給出 : ?? = ??2?|???? |22?? = ????????(?? ???) ? ??24?????? （ 10） 系數(shù) ????和 ????由下式 給 出 : ???? = ?????? = ???????? ???? = ?????? = cos ?? ? ???? cos?? （ 11） 入射超短脈沖光的偏振方向垂直于入射面時 ,忽略光柵中不同頻率分量間的能量耦合 , 利用邊界條件 ?? (??,??) = ,?? ( ,??) = ??0(??) , 采用類似于 Kogelnik 耦合波理論的方法 , 解耦合波方程組 (9),得： ??(??,??) = ??0(??)*????????+1 2? ???(???????)???(??+???????) （ 12） 武漢理工大學(xué)《專業(yè)課程設(shè)計 3(信息光學(xué) )》課程設(shè)計說明書 5 ??( ,??) = ??0(??)*????????+1 2?exp (?? ?????/????) ???(???????)???(??+???????) (13) 由 耦合波 方程 (9)即可知，含有 S 波的 方程 的右方含有依賴于入射波 R 的激勵項或強迫項。正是這一項把能量從入射波轉(zhuǎn)移到衍射波中，如果 耦合 系數(shù) ??為零，那么就沒有這種 耦合 。如果失配參數(shù) ??足夠大，將會嚴(yán)重干擾 R 中激勵項的作用，使得在整個 耦合 區(qū)域內(nèi)相位失配而破壞 耦合 現(xiàn)象的產(chǎn)生。另一方面，關(guān)于入射波振幅 R 的方程也含有依賴于衍射波的激勵項，導(dǎo)致把衍射波又反過來 耦合 到入射波中。 耦合波方程的一般解 : ??(??) = ??1??????(??1??) ??2??????(??2??) （ 14） ??(??) = ??1??????(??1??) ??2??????(??2??) （ 15） 將公式 (12)和 (13)代入到 耦合 波方程，可以解得 ??1和 ??2， ??1,2 = ? 12(??0???? ??0???? j ??????)177。 12*(??0????? ??0?????j ??????)2 ? 4 ??2????????+ （ 16） 對反射體全息光柵 (???? ) ,邊界條件為 R(0)=1 和 S(d)=0，于是有 ??1 ??2 = 1,??1 exp(??1??) ??2exp(??2??) = （ 17） 于是可得衍射光波振幅為 : ??( ) = ??1 ??2 = ?????*?? ???? ???? ??1??????(??2??)???2??????(??1??)??????(??2??)???????(??1??)+?1 （ 18） 對于無吸收 (?? = ??1 = )、非傾斜透射光柵 (?? = ), ???? = ????? = ?????? ??,則 衍射光場可改寫為 : ?? = ???[?? ???? √1 ? ??2??2 ? ???????√??2 ? ??2]?1 （ 19） 其中 Φ = ????1??/λcos ??, ?? = ????1??/λcos ??。 于是得到非傾斜、無吸收反射體全息光柵的衍射效率為 : ?? = [1 1???2??2???????2√??2???2] （ 20） 武漢理工大學(xué)《專業(yè)課程設(shè)計 3(信息光學(xué) )》課程設(shè)計說明書 6 由于 kogelnik 耦合 波理論 與其它方法相比具有數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單，物理概念清晰，并且對相位型體光柵的零級和一級衍射效率的理論計算精度非常高等優(yōu)點，因而得到廣泛應(yīng)用。我們詳細(xì)敘述了 kogelnik 耦合波方程的求解過程，推導(dǎo)出來了反射體 光柵的衍射效率公式。 由于超短 脈沖 在時域的持續(xù)時間很短，根據(jù)傅里葉變換的基本知識， 這會 導(dǎo)致其在頻域的寬度會很大，即超短脈沖可以被看作是許多不同頻率平面光波的線性組合。于是，當(dāng)超短脈沖通過體全息光柵時，體光柵的角度和波長的布拉格選擇性是不能忽略 的 ,同時在考慮色散的情況下，體光柵介質(zhì)對于超短脈沖中的不同頻率成分的折射率也會各不相同，因而超短脈沖經(jīng)過體光柵時的衍射特性和單一頻率平面波會有所區(qū)別。 所以需要對單一 頻率連續(xù)光 耦合 波理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行修正推導(dǎo)出超短脈沖作用于體全息光柵時的衍射效率和衍射光強譜公式，并以光折變 LiNb??3 晶體作為反射體全息光柵的記錄介質(zhì)， 在 考慮色散情況下脈沖參數(shù)以及光柵參數(shù)對衍射光強譜的影響進(jìn)行分析。 修正的耦合波理論 體光柵的讀出如圖 1 所示，兩束偏振方向和頻率完全相同的相干光波在 LiNb??3晶體內(nèi)相互干涉形成反射型體光柵 ?? = ??0 ??1 ?????? ? ? ?? 。 其中 n1為晶體折射率變化量的 最大值 ； 設(shè)中心波長為 λ0的超短脈沖以光柵的布喇格角 θ0入射，滿足布喇格 衍射條 件 : ??????(?? ???0) = ????04????(??0)= ??02????(??0) （ 21） 對于非傾斜反射型體全息光柵而言， ?? = ， 所以 ????????0 = ??0 2????(??0)? 。 當(dāng)光柵記錄、 固化 完成后，用超短脈沖光 ????讀出記錄的體光柵。假設(shè)讀出脈沖光的中心角頻率為 ω0讀出角為 θr (晶體內(nèi)的讀出角 θr‘ )。 讀出時使脈沖光的中心角頻率滿足反射體光柵的 Bragg 條件。在此情況下，研究其衍射光的頻域特性。 假設(shè)讀出脈沖的時域分布為高斯型 : ????(??)exp(????0?? ? ??2??2) （ 22） 其中參數(shù) ?? = ????/√2ln2 , Δτ 為時域脈沖強度分布的半峰值全寬，光譜半峰值全寬 (Full Width at Half Maximum, FWHM) 即 譜寬為 ?? = 441??02/(??????) ； 經(jīng)傅里葉變換可得????(??) 的頻譜： 武漢理工大學(xué)《專業(yè)課程設(shè)計 3(信息光學(xué) )》課程設(shè)計說明書 7 ????(??) = √??????????{?*??????(1?? ? 1????)+2} （ 23） 脈沖強度的光譜半峰全寬為 Δλ = 441????2/??Δ?? ， ??為真空中的光速 。 由此可見 , 脈沖寬度愈小 , 光譜寬度就愈大 。 因此在研究色散介質(zhì)中超短脈沖激光光束的衍射時 , 應(yīng)當(dāng)考慮介質(zhì)的色散效應(yīng) 。 下面對單一頻率 耦合 波理論 中推導(dǎo)出的衍射效率公式進(jìn)行修正，得出考慮色散效應(yīng)時，超短 脈沖 經(jīng)過光折變反射型體光柵時的衍射光強 譜及 衍射效率。 在考慮材料色散時，中心頻率滿足布拉格條件， ??????????0’ = ??0 2????(??0)? ，其它頻率分量由于在記錄介質(zhì)中的折射率各不相同，將根據(jù)斯涅耳折射率定律 sin???? =n(??)sin????‘ (??) 分開，在非傾斜反射型體光柵中，傾斜因子為 ???? = ????? = ??????????’ (??)在本論文討論中，認(rèn)為所有頻率分量都以相同的角度 θr入射，于是 Φ可以重新定義為 : Φ(??) = ????1??2????????????‘ (??) (24) 因為脈沖激光光束中的頻譜分量中只有中心披長滿足反射體光柵布拉格條件，所以考慮波長失配，相移參量 ??可重新定義為 ??(??) = ??2??/2??(??)(1 ??0? 1 ???? )，于是得到失調(diào)參數(shù) : ξ(??) = ??2????Λ2??????????‘ (??)* 1????(??)? 1??0??(??0)+