【正文】 權(quán)向量 W 的方法和思路 ，在理論上應解決以下問題： 1． 一致陣的性質(zhì) 1 是說：一致陣的最大特征根為 n （即必要條件），但用特征根來求特征向量時，應回答充分條件：即正互反矩陣是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互反矩陣 A 的最大特征根 n?max? 時， A 是否為一致陣？ 2． 用主觀判斷矩陣 A 的特征根 ? 和特征向量 W 連續(xù)逼近一致陣 A 的特征根 ? 和特征向量 W時，即： 由 ?? ?? kkklim 得到： WWkk ???lim 即： AAkk ???lim 是否在理論上有依據(jù)。 7 3．一般情況下，主觀判斷矩陣 A 在逼近 于一致陣 A 的過程中，用與 A 接近的 *A 來代替 A ，即有 AA?* ，這種近似的替代一致性矩陣 A 的作法，就導致了產(chǎn)生的偏差估計問題，即一致性檢驗問題，即要確定一種一致性檢驗判斷指標，由此指標來確定在什么樣的允許范圍內(nèi)，主觀判斷矩陣是可以接受的，否則，要 兩兩比較構(gòu) 造主觀判斷矩陣。此問題即一致性檢驗問題的內(nèi)容。 以上三個問題：前兩個問題由數(shù)學嚴格比較可獲得（見教材 P325，定理 定理 2）。第3 個問題： Satty 給出一致性指標（ TH1,TH2 介紹如下：） 附： Th1： （教材 P326， perronTh 比隆 1970 ）對于正矩陣 A （ A 的所有元素為正數(shù)） （ 1） A 的最大特征根是正單根 ? ； （ 2） ? 對應正特征向量 W （ W 的所有分量為正數(shù)） （ 3） WeAe eAkTkk ???lim 其中：???????????????111?e 為半徑向量， W 是對應 ? 的歸一化特征向量 證明：（ 3）可以通過將 A 化為標準形證明 Th2： n 階正互反陣 A的最大特征根 n?? ； 當 n?? 時， A 是一致陣 五、一致性檢驗 —— 一致性指標： 1．一致性檢驗指標的定義和確定 —— IC? 的定義： 當人們對復雜事件的各因素，采用兩兩比較時，所得到的主觀判斷矩陣 A ，一般不可直接保證正互反矩陣 A 就是一致正互反矩陣 A ，因而存在誤差（及誤差估計問題）。這種誤差，必然導致特征值和特征向量之間的誤差 ? ??? WW)( －及?? ? 。此時就導致問題 WmaxWA ?＝ 與問題 nWAW? 之間的差別。（上述問題中 max? 是主觀判斷矩陣 A 的特征值， W 是帶有 偏差的相對權(quán)向量）。這是由判斷矩陣不一致性所引起的。 因此，為了避免誤差太大，就要衡量主觀判斷矩陣 A 的一致性。 因為： ①當主觀判斷矩陣 A 為一致陣 A 時就有： ??? ? ??? ? ??? nknk kknk nn kk na 111 1 1?? ＝ A 為一致陣時有： 1?iia 此時存在唯一的非 n?? max?? 8 （由一致陣性質(zhì) 1： Rark(4)=1， A 有唯一非 O 最大特征根且 n?max? ） ②當主觀判斷矩陣 A 不是一致矩陣時，此時一般有： n?max? （ Th2） 此時，應有： ?? ??? ? na iik hm a xm a x ? ?? 即： ????? maxmax k kn ?? 所以，可以取其平均值作為檢驗主觀判斷矩陣的準則，一致性的指標 ， 即： 11 m a xm a x ??????? ??nn nIC k k?? 顯然： （ 1） 當 n?max? 時，有： 0??IC ， A 為完全一致性 （ 2） IC? 值越大，主觀判斷矩陣 A 的完全一致性越差，即： A 偏離 A 越遠 (用特征向量作為權(quán)向量引起的誤差越大 ) （ 3） 一般 10???IC ，認為主觀判斷矩陣 A 的一致性可以接受，否則應重新進行兩兩比較，構(gòu)造主觀判斷矩陣。 2．隨機一致性檢驗指標 —— IR? 問題：實際操作時發(fā)現(xiàn)：主觀判斷矩陣 A 的維數(shù)越大，判斷的一致性越差，故應放寬對高維矩陣的一致性要求。于是引入修正值 IR? 來校正一致性檢驗指標：即定義 IR? 的修正值表為： A 的維數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 IR? 并定義新的一致性檢驗指標為： IR ICRC ???? 隨機一致性檢驗指標 —— IR? 的解釋： 為確定 A 的不一致程度的容許范圍，需要確定衡量 A 的一致性指示 IC? 的標準。于是 Satty又引入所謂隨機一致性指標 IR? ，其定義和計算過程為： ① 對固定的 n ，隨機構(gòu)造正互反陣 A? ，其元素 )( jiaij ?? 從 1～ 9 和 1～ 91 中隨機取值，且滿足 ija? 與 jia? 的互反性，即：jiij aa ??? 1，且 1??iia . ② 然后再計算 A? 的一致性指標 IC? ，因此 A? 是非常不一致的，此時， IC? 值相當大 . ③ 如此構(gòu)造相當多的 A? ，再用它們的 IC? 平均值作為隨機一致性指標。 9 ④ Satty 對于不同的 1( ?nn ～ 11)，用 100～ 500 個樣本 A? 計算出上表所列出的隨機一致性指標 IR? 作為修正值表。 3． 一致性檢驗指標的定義 —— 一致性比率 RC? 。 由隨機性檢驗指標 RC? 可知： 當 2 ,1?n 時， 0??IR ，這是因為 1, 2 階正互反陣總是一致陣。 對于 3?n 的成對比較陣 A ，將它的一致性指標 IC? 與同階（指 n 相同）的隨機一致性指標 IR? 之比稱為 一致性比率 —— 簡稱一致性指標， 即有 ： 一致性檢驗指標 的定義 —— 一致性比率 定義： IR ICRC ???? ： IR ICRC ???? 當： 10 ?????? IR ICRC 時，認為主觀判斷矩陣 A 的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量。否則，對主觀判斷矩陣 A 重新進行成對比較，構(gòu)重新的主觀判斷矩陣 A 。 注：上式 10 ?????? IR ICRC 的選取是帶有一定主觀信度的。 六、標度 —— 比較尺度解： 在構(gòu)造正互反矩陣時，當比較兩個可能是有不同性質(zhì)的因素 iC 和 jC 對于上層因素 O的影響時，採用什么樣的相對刻度較好，即 ija 的元素的值在（ 1～ 9）或（ 1～ 91 ）或更多的數(shù)字， Satty 提出用 1～ 9 尺度最好，即 ija 取值為 1～ 9 或其互反 數(shù) 1～ 91 ，心理學家也提出：人們區(qū)分信息等級的極限解能力為 7 177。2。可見對 nn? 階矩陣，只需作出 2 )1( ?nn 個判斷值即可 標度 ija 定 義 1 3 5 7 9 2， 4， 6， 8， 倒數(shù) 1， 91 ,81 ,71 ,61 ,51 ,41 ,31 ,21 因素 i 與因素 j 相同重要 因素 i 比因素 j 稍重要 因素 i 比因素 j 較重要 因素 i 比因素 j 非常重要 因素 i 比因素 j 絕對重要 因素 i 與因素 j 的重要性的比較值介于上述兩個相鄰等級之間 因素 j 與因素 i 比較得到判斷值為 ija 的互反 10 數(shù)，ijji aa1? 1?iia 注：以上比較的標度 Satty 曾用過多種標度比較層，得到的結(jié)論認為： 1～ 9 尺 度不僅在較簡單的尺度中最好，而且比較的結(jié)果并不劣于較為復雜的尺度。 Satty 曾用的比較尺度為： ① 1～ 3, 1～ 5, 1～ 6，? , 1～ 11，以及 ② )( ?d ～ )( ?d ，其中 4 ,3 ,2 ,1?d ③ p1 ～ P9 ，其中 5 ,4 ,3 ,2?P … 等共 27 種比較尺度，對放在不同距離處的光源亮度進行比較判斷， 并構(gòu)造出成對比較矩陣，計算出權(quán)向量。同時把計算出來的這些權(quán)向量與按照物理學中光強度定律和其他物理知識得到的實際權(quán)向量進行對比。結(jié)果也發(fā)現(xiàn) 1～ 9的比較標度不僅簡單，而效果也較好（至少不比其他更復雜的尺度差） 因而用 1～ 9 的標度來構(gòu)造成對比較矩陣的元素較合適。 七、組合權(quán)向量的計算 —— 層次總排序的權(quán)向量的計算 層次分析法的基本思想： （ 1） 計算出下一層每個元素對上一層每個元素的權(quán)向量 W def：層次總排序，計算同一層次所有元素對最高層相對重要性的排序權(quán)值。 當然要先：①構(gòu) 造下一層每個元素對上一次每個元素的成對比較矩陣 ②計算出成對比較矩陣的特征向量（和法，根法，冪法） ③由特征向量求出最大特征根 max? （由和法，根法，冪法求得） ④用最大特征根 max? 用方式 1max???? n nIC ? 及 IR RCRC ???? 對成對比較矩陣進行一致性檢，并通過。 （ 2） 并把下層每個元素對上層每個元素的權(quán)向量按列排成以下表格形式：例，假定：上層 A 有 m 個元素， mAAA , , , 21 ? ，且其層次總排序權(quán)向量為 maaa , , , 21 ? ，下層 B 有 n 個元素 nBBB , , , 21 ? ，則按 jB 對 iA 個元素的單排序權(quán)向量的列向量為 ijb ，即有： 11 層次 1A 1A ? mA1 B 層總是排序權(quán)重（權(quán)向量、列向量） 1a 2a ? ma nBBB?21 11211nbbb? 22212nbbb? ???? nmmmbbb?21 ?????????mjnjjnmjjjmjjjbaWbaWbaW1122111? max? 計算出最大特根（方法：和法、根法、冪法） IC? 一致性檢驗 1max???? n nIC ? IC? 一致性檢驗比率 ???????? mjjjmjjRIaCIaIRICRC 3 檢驗 10??CR 否？ 注：①若下層元素 kB 與上層元素 jA 無關(guān)系時，取 0?kjb ②總排序權(quán)向量各分量的計算公式： ),1(1 nibaW ijmj ji ??? ?? (3) 對層次總排序進行一致性檢驗：從高層到低層逐層進行，如果 如果 B 層次某些元素對 jA 單的排序的一致性指標為 jCI ，相應的平均隨機一致性指標為jRI ，則 B 層總排序隨機一致性比率為： ??????mjjjmjjjRIaCIaRC11 當 10??CR 時，認為層次總排序里有滿意的一致性，否則應重新調(diào)整判斷矩陣的元素取值。 八、層次分析法的基本步驟： （ S1） 建立層次結(jié)構(gòu)模型 將有關(guān)因素按照屬性自上而下地分解成若干層次： 同一層各因素從屬于上一層因素，或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時又支配下一層的因素或受到下層因素的影響。 最上層為目標層（一般只有一個因素），最下層為方案層或?qū)ο髮?/決策層，中間可以有 12 1 個或幾個層次，通常為準則層或指標層。 當準則層元素過多（例如多于 9 個）時，應進一步分解出子準則層。 （ S2） 構(gòu)造成對比較矩陣 ，以層次結(jié)構(gòu)模型的第 2 層開始，對于從屬于（或影響及）上一層每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和 1～ 9 比較尺度構(gòu)造成對比較矩陣，直到最下層。 （ S3）計算（每個成對比較矩陣的）權(quán)向量并作一致性檢驗 ① 對每一個成對比較矩陣計算最大特征根 max? 及對應的特征向量（和法、根法、冪法等）???????????nWWW ?1 ② 利用一致性指標 IC? ，隨機一致性指標 RC? 和一致性比率作一致性檢驗 ?????? ??? IR ICCR ③ 若通過檢驗（即 ??RC ，或 ??IC ）則將上層出權(quán)向量???????????nWWW ?1 歸一化之后作為（ jB 到 jA ）的權(quán)向量（即單排序權(quán)向量） ④ 若 ??RC 不成立，則需重新構(gòu)造成對比較矩陣 （ S4）計算組合權(quán)向量并作組合一致性檢驗 —— 即層次總排序 ① 利用單層權(quán)向量的權(quán)值 mjWWWnj , ,11?? ???????????? 構(gòu)組合權(quán)向量表：并計算出特征根，組合特征向量，一致性 13 上 單 層 層 重