【正文】 ,由 ab,各字母均為正值，所以 y1– y20，即 y2 y3– y2=［ (c– b)– vm52 ］ y3– y20,由 cb 及每字母都是正值，得 cb+ vm52 .所以，當(dāng) cb+ vm52 時(shí) y2y3,由 y2y1即y2最小，當(dāng) bacb+ vm52 時(shí)， y3y2y1,y3最小 . ：（ 1）由表中數(shù)據(jù)，知 T=12，ω = 62 ???T . 由 t=0,y= 得 A+b=. 由 t=3,y=,得 b= ， A=,b= A=21 ， ∴ y= 16cos21 ?t? (2)由題意知，當(dāng) y1 時(shí)，才可對(duì)沖浪者開(kāi)放 .∴ 16cos21 ?t? 1, t6cos? 0.∴ 2kπ – 2262 ???? ??? kt ,即有 12k– 3t13k+3. 由 0≤ t≤ 24,故可令 k=0,1,2,得 0≤ t3 或 9t15 或 21t≤ 24. ∴在規(guī)定時(shí)間內(nèi)有 6 個(gè)小時(shí)可供沖浪者運(yùn)動(dòng)即上午 9： 00 至下午 15： 00. ：由題意知，每年的經(jīng)費(fèi)是以 12為首項(xiàng)， 4為公差的等差數(shù)列，設(shè)純利潤(rùn) 與年數(shù)的關(guān)系為 f(n),則f(n)=50n– ［ 12n+ 2 )1( ?nn 179。 4］ – 72=– 2n2+40n– 72 (1)獲純利潤(rùn)就是要求 f(n)0,∴ – 2n2+40n– 720，解得 2n n∈ N 知從第三年開(kāi)始獲利 . （ 2）①年平均利潤(rùn) = nnf )( =40– 2(n+n36 )≤ n=6時(shí)取等號(hào) .故此方案先獲利 6179。 16+48=144（萬(wàn)美元），此時(shí) n=6,② f(n)=– 2(n– 10)2+128. 當(dāng) n=10 時(shí)， f(n)|max=②種方案共獲利 128+16=144（萬(wàn)美元） . 故比較兩種方案，獲利都是 144 萬(wàn)美元，但第①種方案只需 6 年，而第②種方案需 10 年，故選擇第①種方案 . ：設(shè)分別生產(chǎn) P、 Q 產(chǎn)品 x 件、 y 件，則有 ??? ?? ????? ?? ????? ?? ?? 60004 7000321202182 140006412021 25000 yx yxyx yxyx 則有依題意有 中國(guó)特級(jí)教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo) 〈數(shù)學(xué)復(fù) 習(xí)版〉 設(shè)利潤(rùn) S=1000x+2021y=1000(x+2y) 要使利潤(rùn) S 最大，只需求 x+2y 的最大值 . x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2m+n)+y(3m+4n) ∴??? ?? ?? 243 12 nm nm ∴?????????5152nm 有 x+2y=52 (2x+3y)+51 (x+4y)≤ 52 179。 7000+51 179。 6000. 當(dāng)且僅當(dāng)??? ?? ?? 60004 700032 yx yx解得??? ??10002021yx時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最大利潤(rùn) Smax=1000(x+2y) =4000000=400(萬(wàn)元 ). 另外此題 可運(yùn)用“線性規(guī)劃模型”解決 . 難點(diǎn) 2 探索性問(wèn)題 高考中的探索性問(wèn)題主要考查學(xué)生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問(wèn)題的能力，是命題者根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的，要求考生自己觀察、分析、創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題 . 1.（★★★★）已知三個(gè)向量 a、 b、 c，其中每?jī)蓚€(gè)之間的夾角為 120176。，若｜ a｜ =3, ｜ b｜ =2,｜ c｜ =1，則 a 用 b、 c 表示為 . 2.（★★★★★）假設(shè)每一架飛機(jī)引擎在飛行中故障率為 1– p，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，如有至少 50%的引擎能正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行，則對(duì)于多大的 p 而言， 4 引擎飛機(jī)比 2 引擎飛機(jī)更為安全？ ［例 1］已知函數(shù) 1)(2 ??? ax cbxxf(a,c∈ R,a＞ 0,b 是自然數(shù)）是奇函數(shù)， f(x)有最大值 21 ，且 f(1)＞ 52 . （ 1）求函數(shù) f(x)的解析式； （ 2）是否存在直線 l 與 y=f(x)的圖象交于 P、 Q 兩點(diǎn)，并且使得 P、 Q 兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（ 1， 0）對(duì)稱，若存在，求出直線 l 的方程，若不存在，說(shuō)明理 由 . 命題意圖：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、最值問(wèn)題、直線方程及綜合分析問(wèn)題的能力，屬★★★★★級(jí)題目 . 知識(shí)依托：函數(shù)的奇偶性、重要不等式求最值、方程與不等式的解法、對(duì)稱問(wèn)題 . 錯(cuò)解分析：不能把 a 與 b 間的等量關(guān)系與不等關(guān)系聯(lián)立求 b；忽視 b 為自然數(shù)而導(dǎo)致求不出 b 的具體值； P、 Q 兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系列不出解 . 技巧與方法：充分利用題設(shè)條件是解題關(guān)鍵 .本題是存在型探索題目，注意在假設(shè)存在的條件下推理創(chuàng)新，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)，否則，給出肯定的結(jié)論，并加以論證 . 解：（ 1）∵ f(x)是奇函數(shù) ∴ f(– x)=– f(x)，即 11 22 ??????? ax cbxax cbx ∴ – bx+c=– bx– c 中國(guó)特級(jí)教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo) 〈數(shù)學(xué)復(fù) 習(xí)版〉 ∴ c=0 ∴ f(x)= 12?axbx 由 a＞ 0， b 是自然數(shù)得當(dāng) x≤ 0 時(shí)， f(x)≤ 0， 當(dāng) x＞ 0 時(shí)， f(x)＞ 0 ∴ f(x)的最大值在 x＞ 0 時(shí)取得 . ∴ x＞ 0 時(shí)，22111)(babxxbaxf ??? 當(dāng)且僅當(dāng) bxxba 1? 即ax 1?時(shí)， f(x)有最大值21212?ba ∴2ba=1,∴ a=b2 ① 又 f(1)＞ 52 ，∴ 1?ab ＞ 52 ,∴ 5b＞ 2a+2 ② 把①代入②得 2b2– 5b+2＜ 0 解得 21 ＜ b＜ 2 又 b∈ N,∴ b=1,a=1,∴ f(x)= 12?xx （ 2）設(shè)存在直線 l 與 y=f(x)的圖象交于 P、 Q 兩點(diǎn)，且 P、 Q 關(guān)于點(diǎn)（ 1， 0）對(duì)稱， P(x0,y0)則 Q（ 2– x0,– y0)，∴??????????? ???020002001)2(21yx xyx x,消去 y0，得 x02– 2x0– 1=0 解之，得 x0=1177。 2 , ∴ P 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 42,21? )或 ( 42,21 ?? )進(jìn)而相應(yīng) Q 點(diǎn)坐標(biāo)為 Q（ 42,21 ?? ） 或 Q( 42,21? ). 過(guò) P、 Q 的直線 l 的方程： x– 4y– 1=0 即為所求 . ［例 2］如圖，三條直線 a、 b、 c 兩兩平行，直線 a、 b 間的距離為 p，直線 b、 c間的距離為 2p ， A、 B 為直線 a 上兩定點(diǎn)，且｜ AB｜ =2p， MN是在直線 b 上滑動(dòng)的長(zhǎng)度為 2p 的線段 . （ 1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求△ AMN 的外心 C 的軌跡 E； （ 2）接上問(wèn)，當(dāng)△ AMN 的外心 C 在 E 上什么位置時(shí)， d+｜ BC｜最小，最小值是多少？（其中 d 是中國(guó)特級(jí)教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo) 〈數(shù)學(xué)復(fù) 習(xí)版〉 外心 C 到直線 c 的距離） . 命題意圖：本題考查軌跡方程的求法、拋物線的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想及分析、探索問(wèn)題、綜合解題的能力 .屬★★★★★級(jí)題目 . 知 識(shí)依托：求曲線的方程、拋物線及其性質(zhì)、直線的方程 . 錯(cuò)解分析：①建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，如何建系是難點(diǎn)，②第二問(wèn)中確定 C 點(diǎn)位置需要一番分析 . 技巧與方法：本題主要運(yùn)用拋物線的性質(zhì)，尋求點(diǎn) C 所在位置，然后加以論證和計(jì)算，得出正確結(jié)論，是條件探索型題目 . 解：（ 1）以直線 b 為 x 軸，以過(guò) A 點(diǎn)且與 b 直線垂直的直線為 y 軸建立直角坐標(biāo)系 . 設(shè)△ AMN 的外心為 C(x,y)，則有 A(0,p)、 M（ x– p,0)， N(x+p,0)， 由題意，有｜ CA｜ =｜ CM｜ ∴ 2222 )()( ypxxpyx ?????? ,化簡(jiǎn)，得 x2=2py 它是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)， y 軸為對(duì)稱軸，開(kāi)口向上的拋物線 . （ 2）由（ 1）得，直線 C 恰為軌跡 E 的準(zhǔn)線 . 由拋物線的定義知 d=｜ CF｜，其中 F（ 0,2p ）是拋物線的焦點(diǎn) . ∴ d+｜ BC｜ =｜ CF｜ +｜ BC｜ 由兩點(diǎn)間直線段最短知，線段 BF 與軌跡 E 的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn) 直線 BF 的方程為 pxy 2141 ?? 聯(lián)立方程組 ????????pyxpxy221412得???????????.16 179)171(41pypx. 即 C 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( pp 16 179,4 171 ?? ). 此時(shí) d+｜ BC｜的最小值為｜ BF｜ = p217 . 如果把一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題看作是由條件、依據(jù)、方法和結(jié)論四個(gè)要素組成的一個(gè)系統(tǒng)，那么把這四個(gè)要素中有兩個(gè)是未知的數(shù)學(xué)問(wèn)題稱之為探索性問(wèn)題 .條件不完備和結(jié)論不確定是探索性問(wèn)題的基本特征 . 解決探索性問(wèn)題，對(duì)觀察、聯(lián)想、類比、猜測(cè)、抽象、概括諸方面有較高要求，高考題中一般對(duì)這類問(wèn)題有如下方法：（ 1）直接求解；（ 2）觀察 —— 猜測(cè) —— 證明；（ 3）賦值推斷；（ 4）數(shù)形結(jié)合；（ 5） 聯(lián)想類比；（ 6）特殊 —— 一般 —— 特殊 . 一、選擇題 1.（★★★★）已知直線 l⊥平面 α ，直線 m? 平面 β ，有下面四個(gè)命題，其中正確命題是 ( ) ① α ∥ β ? l⊥ m ② α ⊥ β ? l∥ m ③ l∥ m?α ⊥ β ④ l⊥ m?α ∥ β A.①與② B.①與③ C.②與④ D.③與④ 2.（★★★★）某郵局只有 元， 元， 元的三種郵票 .現(xiàn)有郵資為 元的郵件一件，為使粘貼郵票的張數(shù)最少，且資費(fèi)恰為 元，則最少要購(gòu)買郵票 ( ) 中國(guó)特級(jí)教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo) 〈數(shù)學(xué)復(fù) 習(xí)版〉 張 張 張 張 二、填空題 3.(★★★★ )觀察 sin220176。 +cos250176。 +sin20176。 cos50176。 =43 ,sin215176。 +cos245176。 +sin15176。 178。 cos45176。 = 43 ，寫(xiě)出一個(gè)與以上兩式規(guī)律相同的一個(gè)等式 . 三、解答題 4.（★★★★）在四棱錐 P— ABCD中，側(cè)棱 PA⊥底面 ABCD， 底面 ABCD是矩形，問(wèn)底面的邊 BC 上是否存在點(diǎn) E.（ 1）使 ∠ PED=90176。；（ 2）使∠ PED 為銳角 .證明你的結(jié)論 . 5.（★★★★★）已知非零復(fù)數(shù) z1,z2 滿足｜ z1｜ =a,｜ z2｜ =b, ｜z1+z2｜ =c（ a、 b、 c 均大于零），問(wèn)是否根據(jù)上述條件求出12zz ？ 請(qǐng)說(shuō)明理由 . 6.（★★★★ ★）是否存在都大于 2的一對(duì)實(shí)數(shù) a、 b(a＞ b)使得 ab,ab ,a– b,a+b 可以按照某一次序排成一個(gè)等比數(shù)列，若存在，求出 a、 b 的值，若不存在，說(shuō)明理由 . 7.（★★★★★）直線 l 過(guò)拋物線 y2=2px(p＞ 0）的焦點(diǎn)且與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，對(duì)于拋物線上另外兩點(diǎn) A、 B 直線 l 能否平分線段 AB？試證明你的結(jié)論 . 8.（★★★★★）三個(gè)元件 T T T3正常工作的概率分別為 、 、 ，將它們的某兩個(gè)并聯(lián)再和第三個(gè)串聯(lián)接入電路，如圖甲、乙、丙所示，問(wèn)哪一種接法使 電路不發(fā)生故障的概率最大？ 參 考 答 案 ●難點(diǎn)磁場(chǎng) ：如圖 – a與 b， c的夾角為 60176。 ,且 |a|=|– a|=3. 由平行四邊形關(guān)系可得 – a=3c+23 b,∴ a=– 3c– 23 b. 答案： a=– 3c– 23 b ：飛機(jī)成功飛行的概率分別為： 4 引擎飛機(jī)為： 4222443342224 )1(4)1(6C)1(C)1(C PPPPPPPPPP ????????? 2 引擎飛機(jī)為 222212 )1(2C)1(C PPPPPP ?????? . 要使 4 引擎飛機(jī)比 2 引擎飛機(jī)安全，則有： 中國(guó)特級(jí)教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo) 〈數(shù)學(xué)復(fù) 習(xí)版〉 6P2（ 1– P） 2+4P2（ 1– P） +P4≥ 2P(1– P)+P2,解得 P≥ 32 . 即當(dāng)引擎不出故障的概率不小于 32 時(shí)， 4 引擎飛機(jī)比 2 引擎飛機(jī)安全 . ●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、 ：① l⊥ α 且 α ∥ β ? l⊥ β ,m? β ? l⊥ m. ② α ⊥ β 且 l⊥ α ? l∥ β ,但不能推出 l∥ m. ③ l∥ m,l⊥ α ? m⊥ α ,由 m? β ?α ⊥ β . ④ l⊥ m,不能推出 α ∥ β . 答案： B ：選 元 5 張， 元 2 張， 元 1 張 .故 8 張 . 答案： B 二、 ：由 50176。 – 20176。 =(45176。 – 15176。 )=30176。 可得 sin2α +cos2(α +30176。 )+sinα cos(α +30176。 )=43 . 答案： sin2α +cos2(α +30176。 )+sinα cos(α +30176。 )=43 三、 ： (1)當(dāng) AB≤ 21 A