【正文】 圖 1 圖 2 石景山 24．（ 1）如圖 1，在矩形 ABCD 中， AB=2BC， M 是 AB 的中點．直接寫出∠ BMD 與∠ ADM 的倍數(shù)關系； （ 2）如圖 2，若四邊形 ABCD 是平行四邊形， AB=2BC， M 是 AB 的中點，過 C 作 CE⊥ AD 與 AD 所在直線交于點 E． ①若∠ A 為銳角，則∠ BME 與∠ AEM 有怎樣的倍數(shù)關系，并證明你的結論； ②當 ????? A0 時，上述結論成立； 當 ????? 180A 時，上述結論不成立 ． 平谷 ABC 和 DBE 按圖 ① 方式擺放，其中 ∠ ACB＝ ∠ DEB＝ 90176。， ∠ A＝ ∠ D ＝ 30176。，點 E 落在 AB 上， DE 所在直線交 AC 所在直線于點 F． （ 1）求證： AF＋ EF=DE； （ 2）若將圖 ① 中的 DBE△ 繞點 B 按順時針方向旋轉角 ? ，且0 60???176。 176。 ，其它條件不變，請在圖 ② 中畫出變換后的圖形，并直接寫出 ⑴ 中的結論是否仍然成立； （ 3）若將圖 ① 中的 △ DBE 繞點 B 按順時針方向旋轉角 ? ，且60 180???176。 176。，其它條件不變，如圖 ③ ．你認為 ⑴ 中的結論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出 AF、 EF 與 DE之間 的關系，并說明理由． 解： （ 1）證明： MDBACEADM BC圖 1 圖 2 （ 2）結論： AF＋ EF=DE .(填成立還是不成立 ) 門頭溝 ：在 △ ABC 中， BC=2AC， ∠ DBC=∠ ACB， BD=BC， CD交線段 AB 于點 E． （ 1） 如圖 l，當 ∠ ACB=90176。 時， 直接寫出 線段 DE、 CE 之間的數(shù)量關系 ； （ 2） 如圖 2，當 ∠ ACB=120176。 時，求證： DE=3CE； （ 3） 如圖 3，在 （ 2） 的條件下，點 F 是 BC 邊的中點，連接 DF， DF 與 AB 交于 G， △ DKG和 △ DBG 關于直線 DG 對稱 （ 點 B的對稱點是點 K） ， 延長 DK 交 AB于點 H．若 BH=10，求 CE 的長 . 豐臺 24． 已知： △ ABC 和 △ ADE 是兩個不全等的等腰直角三角形，其中 BA=BC， DA=DE，聯(lián) 結 EC，取 EC 的中點 M， 聯(lián) 結 BM 和 DM． （ 1） 如圖 1， 如果 點 D、 E 分別 在邊 AC、 AB 上， 那么 BM、 DM 的 數(shù)量 關系 與位置關系是 ； （ 2）將圖 1 中的 △ ADE 繞點 A 旋轉 到圖 2 的位置時 ， 判斷 （ 1）中的結論是否 仍然 成立 ，并說明理由 ． 房山 25 ． 如圖 1 ， 在△ ABC 中，∠ ACB=90176。， AC=BC= 5 ， 以 點 B 為圓心，以 2 為半徑作圓 . 圖 1EDACB圖 2EDACBFGKH圖 3EDACBD CBAEM MEABCD 圖 1ABC圖 2DACBP⑴ 設 點 P 為 ☉ B 上的一個動 點，線段 CP 繞著點 C 順時針旋轉 90176。，得到線段 CD， 聯(lián)結 DA， DB， PB， 如圖 2． 求證： AD=BP； ⑵ 在 ⑴ 的條件下， 若∠ CPB=135176。，則 BD=___________； ⑶ 在 ⑴ 的條件下， 當∠ PBC=_______176。 時， BD 有最大值，且最大值 為__________； 當∠ PBC=_________176。 時， BD 有最小 值，且最 小 值 為 __________． 昌平 25． 如圖，在四邊形 ABCD 中，對角線 AC、 BD 相交于點 O，直線 MN 經(jīng)過 點 O，設銳角∠ DOC=∠ ? ，將△ DOC 以直線 MN 為對稱軸翻折得到△ D’OC’， 直線 A D’、 B C’相交于點 P． （ 1）當四邊形 ABCD 是矩形時，如圖 1，請猜想 A D’、 B C’的數(shù)量關系以及 ∠ APB 與∠ α的大小關系； （ 2）當四邊形 ABCD 是平行四邊形時，如圖 2，（ 1）中的結論還成立嗎？ （ 3）當四邊形 ABCD 是 等腰 梯形時，如圖 3，∠ APB 與∠ α 有怎樣的 等量 關系？ 請證明 ． 圖 3圖 2圖 1DCBANC 39。OMPD 39。DCBANC 39。OMPD 39。D 39。PMOC 39。NAB CD 順義 25． 問題： 如圖 1， 在 Rt△ ABC 中， 90C? ? ? ， 30ABC? ? ? ， 點 D 是 射線 CB 上任意一點，△ ADE 是等邊三角形， 且點 D 在 ACB? 的內(nèi)部， 連接 BE．探究線段 BE 與DE 之間的數(shù)量關系． 請你完成下列探究過程： 先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明 . （ 1） 當 點 D與點 C 重合時（如圖 2），請你補 圖 1DEBCA 全圖形．由 BAC? 的度數(shù)為 ， 點 E 落在 ，容易得出 BE與 DE 之間的數(shù)量關系為 ； （ 2） 當 點 D在如圖 3 的位置 時， 請 你 畫出圖形，研究 線段 BE 與 DE之間的數(shù)量關系是否 與（ 1）中的結論相同 ，寫出你的猜想 并加以證明 ． DBCAABC ( D )圖 3圖 2 海淀 24． 在 □ ABCD 中， ∠ A =∠ DBC, 過點 D 作 DE=DF, 且 ∠ EDF=∠ ABD , 連接 EF、 EC, N、 P 分別為 EC、 BC 的中點，連接 NP． （ 1） 如圖 1，若點 E 在 DP 上 , EF 與 DC 交于點 M, 試探究線段 NP 與線段 NM 的數(shù)量 關系及 ∠ ABD 與 ∠ MNP 滿足的等量關系， 請直接寫出 你的結論； （ 2）如圖 2，若 點 M 在 線段 EF 上 , 當點 M 在何位置 時，你在（ 1）中得到的結論仍然 成立， 寫出你確 定的點 M 的位置，并證明（ 1）中的結論 . 圖 1 圖 2 延慶 1， 已知：已知： 等邊△ ABC，點 D 是邊 BC 上一點 （點 D 不與 點 B、 點 C重合）， 求 證： BD+DC AD 下面的證法供你參考： 把 ACD? 繞點 A瞬時間針旋轉 ?60 得到 ABE? ， 連接 ED， 則有 ABEACD ??? ,DC=EB ∵ AD=AE, ?60??DAE ∴ ADE? 是等邊三角形 ∴ AD=DE 在 DBE? 中， BD+EB DE 即： BD+DCAD CABD圖 1 M B D C F E A N P P N A E F C D B 實踐探索： （ 1）請你仿照 上面 的思路，探索解決下面的問題： 如圖 2， 點 D是等腰直角三角形△ ABC 邊上的點（點 D 不與 B、 C重合）， 求證： BD+DC 2 AD （ 2）如果 點 D運動到 等腰直角三角形△ ABC外或內(nèi)時， BD、 DC和 AD之間又存在怎樣的數(shù)量關系 ？ 直接寫出結論 . 創(chuàng)新應用： （ 3） 已知： 如圖 3， 等腰 △ ABC中， AB=AC，且 ∠ BAC=? （ ? 為鈍角）， D是等腰 △ABC外一點， 且 ∠ BDC+∠ BAC =180186。， BD、 DC與 AD之間存在怎樣的數(shù)量關系？寫出你的猜想，并證明 . 密云 24． 已知：正方形 ABCD 中， 45MAN??，繞點 A 順時針旋轉，它的兩邊分別交 CB、DC（或它們的延長線）于點 M、 N． （ 1）如圖 1，當 MAN? 繞點 A 旋轉到 BM DN? 時，有 BM DN MN??．當 MAN? 繞點 A 旋轉到 BM DN? 時，如圖 2，請問圖 1 中的結論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理由； （ 2）當 MAN? 繞點 A 旋轉到如圖 3 的位置時，線段 BM DN， 和 MN 之間有怎樣的等量關系？請寫出你的猜想，并證明． CAB D圖 2 CDAB圖 3 通州 25． 已知四邊形 ABCD， 點 E 是射線 BC 上的一個動點（點 E 不與 B、 C 兩點重合），線段 BE 的垂直平分線交射線 AC 于點 P，聯(lián)結 DP， PE. （ 1） 若四邊形 ABCD 是正方形，猜想 PD 與 PE 的關系 ， 并證明你的結論 . （ 2） 若四邊形 ABCD 是矩形，（ 1）中的 PD 與 PE 的關系還成立嗎？ （填：成立或不成立） . （ 3） 若四邊形 ABCD 是矩形， AB=6， cos∠ ACD=35 ， 設 AP=x， △ PCE 的面積為 y,當 AP12AC 時，求 y 與 x 之間的函數(shù)關系式 . 東城 24. 已知 ∠ ABC=90176。，點 P 為射線 BC上任意一點（點 P 與點 B不重合），分別以 AB、AP 為邊在 ∠ ABC 的內(nèi)部 作等邊△ ABE 和 △ APQ,連結 QE 并延長交 BP 于點 F. （ 1） 如圖 1， 若 AB= 32 ， 點 A、 E、 P恰好在一條直線上時， 求 此時 EF 的長 （直接寫出結果） ； （ 2）如圖 2，當點 P 為射線 BC 上任意一點時，猜想 EF 與圖中的哪條線段相等（不能添加輔助線產(chǎn)生新的線段）， 并加以證明； （ 3） 若 AB= 32 ，設 BP=x ， 以 QF 為 邊的等邊三角形的面積 y，求 y 關于 x 的函數(shù)關系式． 朝陽 25. 在矩形 ABCD中，點 P 在 AD 上， AB=2， AP=1，將三角板的直角頂點放在點 P處，三角板的兩直角邊分別能與 AB、 BC 邊相交于點 E、 F，連接 EF． （ 1）如 圖， 當點 E與點 B重合時，點 F恰好與點 C重合，求此時 PC的長； （ 2） 將三角板從 （ 1）中 的位置開始，繞點 P順時針旋轉，當點 E與點 A 重合時停止，在這個過程中，請你觀察、探究并解答 ： ① ∠ PEF 的大小是否發(fā)生變化？請說明理由； ② 直接寫出從開始到停止，線段 EF 的中點 所 經(jīng)過的路線長 ． B C A D A D B C P DC (F )AB (E ) FP DCABE 代數(shù)綜合 西城 23. 已知 關于 x 的 一元二次方程 2 10x px q? ? ? ? 的一 個實數(shù) 根為 2． (1) 用含 p 的代數(shù)式表示 q； (2) 求證：拋物線 2y x px q? ? ? 與 x 軸有兩個交點； (3) 設拋物線 21y x px q? ? ? 的頂點為 M，與 y 軸的交點為 E，拋物線 22 1y x px q? ? ? ? 頂點為 N，與 y 軸的交點為 F，若四邊形 FEMN 的面積等于 2，求 p 的值 ． 石景山 23． 已知：關于 x 的方程 ? ? ? ? 01342 ????? mxmx 有兩個不相等的實數(shù)根 ． （ 1）求 m 的取值范圍 ； （ 2）拋物線 C ： ? ? ? ?1342 ?????? mxmxy 與 x 軸交于 A 、 B 兩點． 若 1?m 且直線 1l : 12 ??? xmy 經(jīng)過點 A ,求拋物線 C 的函數(shù)解析式； （ 3）在（ 2）的條件下， 直線 1l : 12 ??? xmy 繞著點 A 旋轉得到直線 2l ： bkxy ?? ，設直線 2l 與 y 軸交于點 D ，與拋物線 C 交于點 M（ M 不與點 A 重合），當23?ADMA時，求 k 的取值范圍． 平谷 23. 已知拋物線 2 2 3 ( 0 )y a x a x a a? ?