【正文】 算，也稱對(duì)數(shù)平均值，兩邊取對(duì)數(shù)有： )/)lg((lg 11 nxG ni i???? () （ 3） 加權(quán)幾何平均 )/)lg((lg 111 ?? ???? ni ini ii fxfG () 幾何均值適用于表達(dá)呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布資料的平均水平。也常用于速度、比率等變量的平均。 （ 4） 調(diào)和均值 調(diào)和均值（ harmonic mean ）用 H 表示，為觀察值的倒數(shù)求平均，然后再取倒數(shù)而得到的平均值，也稱倒數(shù)平均值。調(diào)和平均值有簡單調(diào)和平均值與加權(quán)調(diào)和平均值兩種。簡單調(diào)和平均值為： 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 9 of 29 ??? ni ixnH 1 )/1(/ () 加權(quán)調(diào)和平均值為： ?? ??? ni iini i xffH 11 )/(/ () 調(diào)和均值適用于表達(dá)呈極嚴(yán)重的正偏態(tài)分布資料的平均水平。 （ 5） 中位數(shù) 中位數(shù)（ median）用 M 表示，它將總體或樣本的全部觀察值分成兩部分，每部分各有 50%的觀察值，其計(jì)算方法為：先將原始觀察值按由小到大順序排列后，位次處于中間的那個(gè)觀察值為中位數(shù)。觀察值為奇數(shù)時(shí)，處于中間的那個(gè)數(shù)為中位數(shù)。偶數(shù)時(shí)處于中間的兩個(gè)數(shù)的均值為中位數(shù)。 中位數(shù)是位置平均值，它不受極端值的影響，在具有個(gè)別極大或極小值的分布數(shù)列中，中位數(shù)比算術(shù)平均值更具有代表性。 （ 6） 眾數(shù) 頻數(shù)最大的變量值稱為眾數(shù)（ mode），列為頻數(shù)表的資料，頻數(shù)最大的組的組中值為眾數(shù)。適用于粗略地表示呈單峰分布資料的集中趨勢。當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)較少時(shí)，眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的個(gè)數(shù)據(jù)。 （ 7） 百分位數(shù) 百分位數(shù)（ percentile）以 xP 表示，它將總體或樣本的全部觀察值分成兩個(gè)部分，其中有%x 的觀察值小于 xP ，（ 100－ x ） %個(gè)觀察值大于 xP 。如百分之 25 分位數(shù)或稱第 25 百分位數(shù) 25P ，表示有 25%個(gè)觀察值小于 25P ； 75%個(gè)觀察值大于 25P 。中位數(shù) M 就是百分之 50 分位數(shù) 50P 。 2． 離散程度的指標(biāo) （ 1） 全距 全距（ range）也稱極差是一種離散指標(biāo)，是最大與最小觀察值之差。用極差反映總體分布的離散程度雖然簡便，但它只從兩端數(shù)值考察，忽略了中間數(shù)據(jù)的變動(dòng)情況，不能說明整體的差異程度，尤其是存在極端值情況下，使用極差往往會(huì)造成錯(cuò)誤的結(jié)論。 （ 2） 標(biāo)準(zhǔn)差與方差 標(biāo)準(zhǔn)差（ standard deviation）與方差（ variance）是一種常用 的離散指標(biāo)，結(jié)合均值能給出正態(tài)分布的特征。標(biāo)準(zhǔn)差的平方為方差，標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越大，表示觀察值的分布越分散；反之，標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越小，表示觀察值的分布越集中。如果標(biāo)準(zhǔn)差為 0，表示這組觀察值都為一個(gè)相同的值。實(shí)際應(yīng)用時(shí)常以均值177。標(biāo)準(zhǔn)差的寫法綜合觀察值的集中和離散特上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 10 of 29 征。 總體的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別以 ? 和 2? 表示，樣本的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別以 s 和 2s 表示，當(dāng)用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s 作為 ? 的估計(jì)值時(shí)，有： 1 )(2??? ? n xxs () 其中， n 為樣本含量， 2)(? ?xx 稱為離均差平方和，也可以如下計(jì)算： nxxxx /)()( 222 ??? ??? () 如用頻數(shù)表資料，有： 1)( 2??? ??fxxfs () （ 3） 變異系數(shù) 變異系 數(shù)（ coefficient of variantion）是一種離散指標(biāo)，簡記為 CV ，它是標(biāo)準(zhǔn)差與均值之比，用百分?jǐn)?shù)表示： %100/ ?? xsCV () 由于 CV 無量度單位，而且消除了原始資料的平均水平的影響，因此常用于比較量度單位不相同的指標(biāo)或者平均水平相差懸殊的指標(biāo)的變異程度。 （ 4） 標(biāo)準(zhǔn)誤差 標(biāo)準(zhǔn)誤差（ standard error）是統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差。因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)量是樣本觀察值的函數(shù)，一旦樣本改變， 統(tǒng)計(jì)量的取值也會(huì)隨之改變。為了避免與樣本觀察值的標(biāo)準(zhǔn)差相混淆，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把反映一群性質(zhì)相同的統(tǒng)計(jì)量離散程度大小的量稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差。從理論上來說，只要給出了一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，就有其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。在參數(shù)估計(jì)中，用樣本的統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)參數(shù)時(shí)，統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差越小，表示抽樣誤差小，統(tǒng)計(jì)量較穩(wěn)定，與參數(shù)較接近。 用 xs 、 ps 、 rs 、 cvs 分別表示統(tǒng)計(jì)量 x （樣本均值）、 p （樣本率）、 r （樣本相關(guān)系數(shù)）、CV （變異系數(shù)）的標(biāo)準(zhǔn)誤差，它們的計(jì)算公式分別為： nssx ? () n pps p )1( ?? () 212??? n rsr () n CVCVs CV 2 )21(22 ?? () 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 11 of 29 （ 5） 四分位數(shù)間距 四分位數(shù)間距（ interquartile range）是一種離散指標(biāo)，它是第 3 個(gè)四分位數(shù) 3Q 與第 1 個(gè)四分位數(shù) 1Q 之差，即 257513 PP ??? 。 （ 6） 偏度系數(shù) 偏度系數(shù)（ skewness） 返回分布的偏斜度 ，簡記為 SKEW。偏斜度反映以平均值為中心的分布的不對(duì)稱程度。正偏斜度表示不對(duì)稱部分的分布更趨向正值。負(fù)偏斜度表示不對(duì)稱部分的分布更趨向負(fù)值。偏斜度的計(jì)算公式 為樣本觀察 值 ix 消除量綱影響的三階中心矩，然后按樣本數(shù) n 進(jìn)行無偏修正， 定義如下 ： 3)()2)(1( ? ???? s xxnn nSKE W i () 式中 ， s 為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差。 （ 7） 峰度系數(shù) 峰度系數(shù)（ kurtosis） 返回?cái)?shù)據(jù)集的峰值 ，簡記為 KURT。峰值反映與正態(tài)分布相比某一分布的尖銳度或平坦度。正峰值表示相對(duì)尖銳的分布。負(fù)峰值表示相對(duì)平坦的分布。峰值的計(jì)算 為樣本觀察值 ix 消除量綱影響的四階中心矩減去 3（因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的四階原點(diǎn)矩為3），然后按樣本數(shù) n 進(jìn)行無偏修正， 公式如下： )3)(2( )1(3)()3)(2)(1( )1(24?? ?????? ?? ? nn ns xxnnn nnKU R T i () 式中 ， s 為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差。 二、 正態(tài)性檢驗(yàn) 用于判斷總體分布是否為正態(tài)分布的檢驗(yàn)稱為正態(tài)性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)資料是否服從正態(tài)分布的主要方法有： Wilk－ Shapiro(威爾克斯 夏皮羅 )的 W 檢驗(yàn)和 Dagustino的 D 檢驗(yàn)。 0H 原假設(shè)為總體 X 服從正態(tài)分布。 1． 小樣本的 W 檢驗(yàn) 在觀察值為小樣本時(shí)， Wilk與 Shapiro提出用如下的 W 統(tǒng)計(jì)量： ? ?? ???????222)()())((xxaaxxaaWiiii () 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 12 of 29 它可以看成是數(shù)對(duì)（ ii xa, ）相關(guān)系數(shù)的平方，所 以 W 的取值在 0 和 1之間。系數(shù) ia 按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布構(gòu)造，均值為 0，標(biāo)準(zhǔn)差為 1，且是對(duì)稱值。不同的樣本數(shù) n 有不同的系列值?？梢宰C明，在 0H 原假設(shè)為真時(shí)， W 的取值應(yīng)接近于 1。 2． 大樣本的 D 檢驗(yàn) 在觀察值為大樣本時(shí)， Dagustino建議用以下的 D 統(tǒng)計(jì)量： ??????223)()2 1(xxnxniDii () 在 0H 原假設(shè)為真時(shí)， D 統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)化后漸近分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 三、 總體均值的估計(jì)和 t 檢驗(yàn) 1． 總體均值的估計(jì) 總體均值用 ? 表示，總體均值的估計(jì)包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)即用樣本均值來估計(jì)總體均值： x??? 。點(diǎn)估計(jì)雖然簡單，但未考慮抽樣誤差。區(qū)間估計(jì)即按一定的概率估計(jì)總體均值在哪個(gè)范圍內(nèi)，這個(gè)范圍稱為置信區(qū)間，這個(gè)概率稱為可信度或置信度，用 ??1 表示，常取 95%（ ?? ）或 99%（ ?? ），按此確定的可信區(qū)間分別稱之為 95%或 99%可信區(qū)間。總體均值的區(qū)間估計(jì)因研究的問題和已知條件不同而用不同的方法。主要分成三種情況： （ 1） 正態(tài)總體方差已知 如果總體服從正態(tài)分布 ),( 2??N 且總體的方差 2? 已知，于是樣本的均值分布為： ),(~ 2nNX ?? () 對(duì) X 變量作標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到統(tǒng)計(jì)量： )1,0(~/ NnXU ? ??? () 稱為 U 檢驗(yàn)。則總體均值的 ??1 可信區(qū)間為： ),(22 nuXnuX ?? ?? ?? () 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 13 of 29 n/? 是抽樣誤差， nu /2 ?? ?為一定倍數(shù)的抽樣誤差，稱為極限誤差，或誤差范圍。其意義是在給定的置信度的條件下對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)所允許的最大誤差。 （ 2） 正態(tài)總體方差未知 實(shí)際上，總體均值 ? 未知而總體方差 2? 已知的情況是不常有的，通常的情況是 ? 和 2?都未知。設(shè)總體服從正態(tài) 分布 ),( 2??N 且總體的方差 2? 未知。在這種情況下，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s 來代替總體標(biāo)準(zhǔn)差 ? ，這樣就得到了統(tǒng)計(jì)量： )1(~/ ??? ntnsXt ? () 稱為 t 檢驗(yàn)。則總體均值的 ??1 可信區(qū)間為： ))1(,)1((22 nsntXnsntX ???? ?? () 2． 非正態(tài)總體 在大多數(shù)實(shí)際問題中，不能假定總體服從或近似服從正態(tài)分布。但是，根據(jù)中心極限定理，只要樣本容量 n 足夠大，樣本均值 X 的抽樣分布就近似為正態(tài)分布。若方差 2? 已知（通常根據(jù)歷史資料或經(jīng)驗(yàn)得到），則可用公式（ ）來計(jì)算總體均值的 ??1 可信區(qū)間。若 2?未知，則用樣本標(biāo) 準(zhǔn)差 s 來代替總體標(biāo)準(zhǔn)差 ? ，總體均值的 ??1 可信區(qū)間為： ),(22 nsuXnsuX ?? ?? () 3． 配對(duì) t 檢驗(yàn) 配對(duì) t 檢驗(yàn)（ paried t test）用于配對(duì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)（ paired design），它是按一些非試驗(yàn)因素條件將受試 對(duì)象配對(duì)對(duì)子，給予每對(duì)中的個(gè)體以不同的處理。配對(duì)的條件一般為年齡、性別、體重等等。其優(yōu)點(diǎn)是在同一對(duì)的試驗(yàn)對(duì)象間取得均衡，從而提高試驗(yàn)效率。有些試驗(yàn)中就同一受試對(duì)象作比較稱為自身對(duì)照，例如，觀察某指標(biāo)不同時(shí)間的變化，或試驗(yàn)前后的變化，也屬于配對(duì)試驗(yàn)。 想要比較配對(duì)試驗(yàn)中兩種處理（ ix1 和 ix2 ）的效果，或者自身對(duì)照中比較試驗(yàn)前后某指標(biāo)（ ix1 和 ix2 ） 的變化?？梢韵惹蟪龀蓪?duì)數(shù)據(jù)之差 iii xxd 21 ?? 。在這種試驗(yàn)設(shè)計(jì)的情況下，可以認(rèn)為均值 D 總體服從正態(tài)分布 ),( 2??N 且總體的方差 2? 未知。用樣本 id 標(biāo)準(zhǔn)差 ds 代替總體標(biāo)準(zhǔn)差 ? ，然后使用 t 檢驗(yàn)， 檢驗(yàn) id 是否來自均值為 0（ 0?? ）的總體。因此，配對(duì)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 14 of 29 t 檢驗(yàn)公式為： )1(~/ ?? ntns Dtd () 4． 成組 t 檢驗(yàn) 當(dāng)按完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)的兩個(gè)樣本均值比較時(shí)，可用成組 t 檢驗(yàn)（ grouped t test），比較的目的是檢驗(yàn)它 們各種所代表的總體是否具有相同的均值，其假設(shè)檢驗(yàn) 210 : ?? ?H ，211 : ?? ?H 。 設(shè)總體 ),(~ 2111 ??NX ， ),(~ 2222 ??NX ，如果 21? 和 22? 都已知，則 ),(~2221212121 nnNXX ???? ??? () 經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化變換： )1,0(~)()(2221212121 NnnXXU????????? () 如果 21? 和 22? 都未知，但方差相等 22221 ??? ?? ，其中 ? 未知需要估計(jì)。由于 21s 和22s 都是 2? 的無偏估計(jì)，集中了各自樣本中有關(guān) 2? 的信息，故可以使用合并方差估計(jì)法（ Pooled Variance Estimate），有： 2 )1()1(2 )()( 21222211212222112?? ?????? ???? ? ? nn snsnnn xxxxs p () 然后，用樣本合并標(biāo)準(zhǔn)差 ps 來代替 U 中的總體標(biāo)準(zhǔn)差 ? ，這樣就得到了統(tǒng)計(jì)量： )2(~11 )()( 21212121 ??????? nntnnsXXtp?? () 如果在 21? 和 22? 都未知的一般場合，即 2221 ?? ? 。當(dāng) 21? 和 22? 分別使用各自方差估計(jì)法（ Separate Variance Estimate），即分別使用其相合估計(jì) 21s 和 22s 代替后，有： )(~)()(2221212121* ltnsnsXXt????? ?? () 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 15 of 29 這時(shí)， *t 就不再服從 )1,0(N 分布了，其形式 很像 t 統(tǒng)計(jì)量。 近似 *t 統(tǒng)計(jì)量概率水平的 Chchran 和 Cox近似是如下統(tǒng)計(jì)量的 p 值： 2221212222