【正文】 合形，復(fù)合形的形狀沒改變一次，就向最優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)一步，直至逼近最優(yōu)點(diǎn)。,由于復(fù)合形的形狀不必保持規(guī)則的圖形，對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)無特殊要求，因此這種方法適應(yīng)性強(qiáng)，在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中應(yīng)用廣泛。,初始復(fù)合形生成的方法：,1）由設(shè)計(jì)者決定k個(gè)可形點(diǎn)，構(gòu)成初始復(fù)合形。設(shè)計(jì)變量少時(shí)適用。,2）由設(shè)計(jì)者選定一個(gè)可形點(diǎn)，其余的k1個(gè)可形點(diǎn)用隨機(jī)法 產(chǎn)生。,3）由計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成初始復(fù)合形的所有頂點(diǎn)。,二、復(fù)合形法的搜索方法,1.反射,1）計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，并比較其大小，求出 最好點(diǎn)XL、最壞點(diǎn)XH 及 次壞點(diǎn)XG，即,2）計(jì)算除去最壞點(diǎn)XH 外的（k1）個(gè)頂點(diǎn)的中心XC,3）從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)來看，一般情況下，最壞點(diǎn)XH和中心點(diǎn)XC 的連線方向?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)的下降方向。,4）判別反射點(diǎn)XR的位置,若XR 為可行點(diǎn)，則比較XR 和XH 兩點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，如果f(XR) =f(XH),則將α縮小0.7倍，重新計(jì)算新的反射點(diǎn)，若仍不行，繼續(xù)縮小α，直至f(XR) f(XH)為止。,若為非可行點(diǎn)，則將α縮小0.7倍，直至可行為止。然后再重復(fù)可行點(diǎn)的步驟。,2.擴(kuò)張,3.收縮,第五節(jié) 懲罰函數(shù)法,懲罰函數(shù)法是一種很廣泛、很有效的間接解法。它的基本原理是將約束優(yōu)化問題中的不等式和不等式約束函數(shù)經(jīng)加權(quán)后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合為新的目標(biāo)函數(shù)——懲罰函數(shù)。,將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束優(yōu)化問題。求解無約束優(yōu)化問題的極小值，從而得到原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。,加權(quán)轉(zhuǎn)化項(xiàng),懲罰函數(shù)法是按一定的法則改變加權(quán)因子的值，構(gòu)成一系列的無約束優(yōu)化問題，求一系列無約束最優(yōu)解，并不斷地逼近原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。因此又稱序列無約束極小化方法。常稱SUMT方法。,根據(jù)它們?cè)趹土P函數(shù)中的作用，分別稱障礙項(xiàng)和懲罰 項(xiàng)。,障礙項(xiàng)的作用是當(dāng)?shù)c(diǎn)在可行域內(nèi)時(shí)，在迭代過程中將阻止迭代點(diǎn)越出可形域。,懲罰項(xiàng)的作用是當(dāng)?shù)c(diǎn)在非可行域或不滿足等式約束條件時(shí)，在迭代過程中將迫使迭代點(diǎn)逼近約束邊界或等式約束曲面。,按照懲罰函數(shù)在優(yōu)化過程中迭代點(diǎn)是否可行，分為： 內(nèi)點(diǎn)法、外點(diǎn)法及混合法。,一、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法,內(nèi)點(diǎn)法將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，這樣它的初始點(diǎn)及后面的迭代點(diǎn)序列必定在可行域內(nèi)。,采用內(nèi)點(diǎn)法只能求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。,轉(zhuǎn)化后的懲罰函數(shù)形式為：,障礙項(xiàng),障礙項(xiàng)的作用是阻止迭代點(diǎn)越出可行域。,例65 用內(nèi)點(diǎn)法求問題,約束最優(yōu)解。,用內(nèi)點(diǎn)法求解，首先構(gòu)造內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)：,用解析法對(duì)函數(shù)求極小值。,求解得,不滿足約束條件，舍去。無約束極值點(diǎn)為：,下面介紹內(nèi)點(diǎn)法中的初始點(diǎn)、懲罰因子初值及其縮減系數(shù)的選取和收斂條件的確定。,1.初始點(diǎn)的選取,初始點(diǎn)應(yīng)選離約束邊界較遠(yuǎn)的可行點(diǎn)。程序設(shè)計(jì)時(shí)，一般，考慮具有人工輸入、和計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成可行初始點(diǎn)的兩種功能。,2.懲罰因子的初值的選取,懲罰因子的初值選取應(yīng)適當(dāng)，否則會(huì)影響迭代計(jì)算的正常進(jìn)行。太大會(huì)影響迭代次數(shù)，太小會(huì)使懲罰函數(shù)的形態(tài)變壞，難以收斂到極值點(diǎn)。,1 ）取r0 =1，根據(jù)試算的結(jié)果，再?zèng)Q定增加或減少r0 值。,2）按經(jīng)驗(yàn)公式,計(jì)算r0 值。這樣選取的r0 ，可以是懲罰函數(shù)中的障礙項(xiàng)和原目標(biāo)函數(shù)的值大致相等，不會(huì)因障礙項(xiàng)的值太大則其支配作用，也不會(huì)因障礙項(xiàng)的值太小而被忽略掉。,3.懲罰因子的縮減系數(shù)c的選取,在構(gòu)造序列懲罰函數(shù)時(shí)，懲罰因子r是一個(gè)逐次遞減到0的數(shù)列，相鄰兩次迭代的懲罰因子的關(guān)系為：,懲罰因子的縮減系數(shù) 通常的取值范圍：0.10.7之間。,4.收斂條件,內(nèi)點(diǎn)法是將懲罰因數(shù)定義于可行域內(nèi)，而外點(diǎn)法與內(nèi)點(diǎn)法不同，是將懲罰項(xiàng)函數(shù)定義于可行區(qū)域的外部。序列迭代點(diǎn)從可行域外部逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。,二、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法,外點(diǎn)法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。,對(duì)于約束優(yōu)化問題,懲罰因子，它是由小到大。,懲罰項(xiàng),由懲罰項(xiàng)可知，當(dāng)?shù)c(diǎn)不可行時(shí)，懲罰項(xiàng)的值大于零。,當(dāng)?shù)c(diǎn)離約束邊界越遠(yuǎn)時(shí)，懲罰項(xiàng)愈大，這可看成是對(duì)迭代點(diǎn)不滿足約束條件的一種懲罰。,轉(zhuǎn)化后的外點(diǎn)懲罰函數(shù)的形式為：,例66 用外點(diǎn)法求問題,約束最優(yōu)解。,首先構(gòu)造外點(diǎn)懲罰函數(shù)：,用解析法求解,求解得,外點(diǎn)法懲罰銀子按下式遞增,遞增系數(shù)，通常取c=510。,與內(nèi)點(diǎn)法相反計(jì)算r0 值。選取的r0 太大則會(huì)使懲罰函數(shù)等值線偏心或變形，難以取得極小值。但r0太小，勢必增加迭代次數(shù)。,經(jīng)驗(yàn)計(jì)算一般取r0 =1，c=10常?？梢匀〉脻M意的效果。,也可以通過經(jīng)驗(yàn)公式獲得r0 值,外點(diǎn)法的特點(diǎn)： 1．初始點(diǎn)可以任選，但應(yīng)使各函數(shù)有定義 2．對(duì)等式約束和不等式約束均可適用 3．僅最優(yōu)解為可行設(shè)計(jì)方案 4．一般收斂較快 5．初始罰因子要選擇得當(dāng) 6．懲罰因子為遞增，遞增率c有c1 。,內(nèi)點(diǎn)法的特點(diǎn)： 1．初始點(diǎn)必須為嚴(yán)格內(nèi)點(diǎn) 2．不適于具有等式約束的數(shù)學(xué)模型 3．迭代過程中各個(gè)點(diǎn)均為可行設(shè)計(jì)方案 4．一般收斂較慢 5．初始罰因子要選擇得當(dāng)6．罰因子為遞減，遞減率c有0c1。,三、混合懲罰函數(shù)法,1. 混合懲罰函數(shù)法及其算法步驟,在構(gòu)造懲罰函數(shù)時(shí)，可以同時(shí)包括障礙項(xiàng)與懲罰項(xiàng)，并將懲罰因子統(tǒng)一用r（k）表示：,由于內(nèi)點(diǎn)法容易處理不等式約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，而外點(diǎn)法又容易處理等式約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，因而可將內(nèi)點(diǎn)法與外點(diǎn)法結(jié)合起來，處理同時(shí)具有等式約束和不等式約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。,這種同時(shí)處理等式和不等式約束的懲罰函數(shù)法稱為混合懲罰函數(shù)法。混合懲罰函數(shù)法與前述內(nèi)點(diǎn)法和外點(diǎn)法一樣，也屬于序列無約束極小化(SUMT)方法中的—種方法。,第八章機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例,第一節(jié)應(yīng)用技巧,一、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般過程,機(jī)械設(shè)計(jì)的全過程一般可分為：,1.建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。 2.選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法。 3.編寫計(jì)算機(jī)程序。 4.準(zhǔn)備必須的初始數(shù)據(jù)并上機(jī)計(jì)算。 5.對(duì)計(jì)算機(jī)求得的結(jié)果進(jìn)行必要的分析。,二、建立數(shù)學(xué)模型的基本原則,數(shù)學(xué)模型的建立要求確切、簡潔的反映工程問題的客 觀實(shí)際。,數(shù)學(xué)模型的三要素：設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件。,1.設(shè)計(jì)變量的選擇,在充分了解設(shè)計(jì)要求的基礎(chǔ)上，應(yīng)根據(jù)各設(shè)計(jì)參數(shù) 對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響程度分析其主次，應(yīng)盡量減少設(shè)計(jì) 變量的數(shù)目，以簡化優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。,應(yīng)注意各設(shè)計(jì)變量應(yīng)相互獨(dú)立，否則會(huì)使目標(biāo)函數(shù) 出現(xiàn)“山脊”或“溝谷”，給優(yōu)化帶來困難。,3.約束條件的確定,2.目標(biāo)函數(shù)的確定,把最重要的指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)，其余的次要的指標(biāo)可 作為約束條件。,對(duì)于一般機(jī)械，可按重量最輕或體積最小的要求建立目標(biāo)函數(shù)；,對(duì)應(yīng)力集中現(xiàn)象尤其突出的構(gòu)件，則以應(yīng)力集中系數(shù)最小為追 求的目標(biāo)。,對(duì)于精密儀器，應(yīng)按其精度最高或誤差最小的要求建立目標(biāo)函 數(shù)。,約束條件是就工程設(shè)計(jì)本身而提出的對(duì)設(shè)計(jì)變量取值 范圍的限制條件。,三、數(shù)學(xué)模型的尺度變換,1.目標(biāo)函數(shù)的尺度變換,2.設(shè)計(jì)變量的尺度變換,當(dāng)各設(shè)計(jì)變量之間在量級(jí)上相差很大時(shí)，在給定的搜索 方向上各自的靈敏度相差也很大。靈敏度大的搜索變化 快，靈敏度小的搜索變化慢。為了消除這種差別，可以 對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行重新標(biāo)度。使它成為無量綱或規(guī)格化的 設(shè)計(jì)變量，這種處理稱設(shè)計(jì)變量的尺度變換。,3.約束函數(shù)的規(guī)格化,約束函數(shù)的尺度變換稱規(guī)格化。,由于各約束函數(shù)所表達(dá)的意義不同，使得各約束函數(shù) 值在量級(jí)上相差很大。,例如某熱壓機(jī)框架的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，許用應(yīng)力為 [σ]= 150MPa，而下橫梁的許用撓度[δ]=0.5mm，約束函數(shù)