【正文】 圖像的鈍化 圖像鈍化操作主要是提出圖像中的低頻成分，抑制快速變化成分（高頻成分）。在時域中的處理相對簡單，只需要對圖像進行一個 平滑濾波（低通濾波），使圖像中的每個點與其相鄰點做平滑即可[5]。 用 MATLAB 程序【 3】實現(xiàn)如圖 所示： 圖 傳統(tǒng) DCT 鈍化與小波變換鈍化 由圖 可以看出，采用 DCT 在頻域做濾波的方法得到的鈍化結(jié)果更為平滑，這是因為其分別率最高，而小波變換得到的結(jié)果在很多地方存在不連續(xù)的現(xiàn)象，這是因為對系數(shù)做抑制或放大時在閾值兩側(cè)有間斷，并且分解層數(shù)很低，只進行了 2 層分解，并沒有完全分離出圖像中頻域部分的信息。而且在做系數(shù)抑制或放大的時候，采用的標準是根據(jù)系數(shù)絕對值的大小，并沒有完全體現(xiàn)出其位置信息 ，但是在小波系數(shù)中，就很容易在處理系數(shù)的過程中加入位置信息。 圖像的銳化 圖像銳化與圖像鈍化處理原理是相反的，圖像銳化的任務是突出圖像的高頻信息，抑制其低頻陜西理工學院畢業(yè)設計 第 12 頁 共 42 頁 信息，從快速變化的成分中分離出標識系統(tǒng)特性或區(qū)分子系統(tǒng)邊界的成分，以便于進一步的分割、識別等操作。在時域中，銳化的方法是作用掩碼或做差分，同鈍化一樣，無論是掩碼和差分都很難識別點之間的關聯(lián)信息 [5]。 用 MATLAB 程序【 4】實現(xiàn)如圖 所示： 圖 傳統(tǒng) DCT 銳化與小波變換銳化 由圖 可以看出，使用 DCT 方法進行高通濾波器得 到的高頻結(jié)果比較純粹，完全是原始圖像上的邊緣信息，因此圖像非常模糊；而用小波變換得到的結(jié)果中，不只是快速變化的高頻成分，還有變換非常緩慢的低頻成分，這是因為兩者同樣在小波系數(shù)上體現(xiàn)為絕對值較低的部分，但這些成分的存在對進行進一步分析并無多大影響。 基于小波變換的圖像去噪 小波變換圖像去噪的基本思想是： 由于圖像和噪聲經(jīng)小波變換后有不同的統(tǒng)計特性，圖像本身的能量對應著幅值較大的小波系數(shù)，主要集中在高頻；噪聲能量則對應著幅值較小的小波系數(shù)，并分散在小波變換后的所有系數(shù)中。根據(jù)這一特性，可以設置一個閾值 門限，認為大于該閾值的小波系數(shù)的主要成分為有用信號，給予收縮后保留；小于該閾值的小波系數(shù)，主要成分為噪聲，予以濾除，一次達到去噪目的 [6]。 而如何選取閾值并進行閾值的量化是重點。 MATLAB 中提供了許多小波降噪和壓縮的函數(shù) ,可以查閱相關資料得知 [7]。 用 MATLAB 程序【 5】實現(xiàn)對圖像進行小波圖像閾值去噪如圖 所示： 陜西理工學院畢業(yè)設計 第 13 頁 共 42 頁 圖 對圖像進行小波圖像閾值去噪 由圖 可以看出，第一次去噪已經(jīng)濾除了大部分的高頻噪聲，但第一次去噪后的圖像中仍然含有很多的高頻噪聲；第二次去噪是在第一次去噪的基礎上再次 濾除其中的高頻噪聲。從去噪的結(jié)果可以看出，它具有較好的去噪效果。 用 MATLAB 程序【 6】實現(xiàn)對圖像進行全局閾值降噪如圖 所示： 圖 對圖像進行全局閾值降噪 用 MATLAB 程序【 7】實現(xiàn)對圖像軟閾值去噪和硬閾值去噪如圖 所示： 圖 對圖像軟閾值去噪和硬閾值去噪 由圖 可知，軟閾值去噪后的圖像相對于硬閾值去噪后的圖像平滑得多，但是其可能造成邊陜西理工學院畢業(yè)設計 第 14 頁 共 42 頁 緣模糊失真，丟失一些細節(jié)信息等現(xiàn)象，硬閾值去噪后的圖像雖然保留了圖像邊緣等局部特征，但會產(chǎn)生視覺性的失真。這是由于軟閾值的收縮性 和硬閾值的粗略性所造成的。 小結(jié) 本章主要介紹了小波變換在圖像增強中的應用，首先介紹了 Mallat 算法的基本思想及原理；然后介紹了小波變換在圖像增強中的基本原理；最后是對小波變換在圖像增強應用中的具體實現(xiàn)，包括圖像的非線性增強、圖像銳化、圖像鈍化和圖像去噪。 陜西理工學院畢業(yè)設計 第 15 頁 共 42 頁 小波變換作為信號處理的一種手段，逐漸被越來越多領域的工作者所重視和應用，并在許多應用中取得了明顯的效果。同傳統(tǒng)的處理方法相比，小波變換在信號處理方面具有更大的優(yōu)勢。其典型應用包括編碼和壓縮、信號降噪、對普通信號進行分析和檢測信號特征等。例如它可以用于機械旋轉(zhuǎn)信號的分析與處理，小波變換能夠用于語音信號的變換、分析和綜合，還可以檢測噪聲中未知瞬態(tài)信號等 [8]。小波變換由于其良好的時頻特性，已廣泛應用于旋轉(zhuǎn)機 械、往復機械、齒輪、軸承等的狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷 [6]。小波奇異性理論是機械故障檢測的基本原理。 小波奇異性理論 信號的奇異性與小波變換模極大值之間 存在 如下關系： 設 )(xg 為一光滑函數(shù)，且滿足條件 0lim1 ????????? g( x ) ,g ( x ) dx x ,不妨設 )(xg 為高斯函數(shù)，即??? 2221)(xexg ?? ,令 dg (x)/dx,ψ(x)? ,由于 ????? ?0ψ(x)dx,因此可取函數(shù) )(x? 作為基小波。 對函數(shù) )(xf 關于的小波變換可寫成： ?? ???????? ???? dxxxfddadxaxxfaa gWaf )()()()(1),(????? (41) 其中， )(1)(axgaxg a ?? ??仍為高斯函數(shù)，不妨設 0?a ,則： ?????? dxxgxfddaaW af )()(),( ??? (42) 其中，積分 ????? dxxgxf a )()( ?可看作是函數(shù) )(xf 用高斯函數(shù) )(xga? 按 尺度 a 進行光滑 處理 后的結(jié)果，當 a 很小時，用 )(xga? 對 )(xf 光滑 處理 的結(jié)果對 )(xf 的突變部分的形狀及位置影響不大，由式 (41)可知，小波變換模 ),( ?aWf 與尺度 a 下光滑后函數(shù) ????? dxxgxf a )()( ?的一階導數(shù)成正比。因此， ),( ?aWf 的極大值點對應 的 是 ????? dxxgxf a )()( ?的突變點，當尺度 a 較小時，????? dxxgxf a )()( ? 的突變點就是 )(xf 的突變點。這 表 明小波變換模極大值的位置與信號突變 點出 存在一一對應關系 [10]。 下面介紹預備定理，它是利用小波變換進行機械故障檢測的重要依據(jù)。 定理 1(預備定理 )：對于平穩(wěn)隨機信號 ,其小波變換的均值為 0，方差隨著尺度因子 a 的增大而趨于零。 一般說來，在機械設備正常工作時，系統(tǒng)輸出的信號是由平穩(wěn)隨機噪聲和確定性信號 兩部分 疊加而成，而小波變換是這兩部分小波變換 的 和。由上述預備定理 與 小波奇異性 理論的相關結(jié)論可知，確定性信號的邊沿對應的小波變換模極大值隨著噪聲的影響 而 緩慢衰減， 或者 隨著尺度因子的增大 而 增陜西理工學院畢業(yè)設計 第 16 頁 共 42 頁 大。然而，平穩(wěn)隨機噪聲也屬于平穩(wěn)隨機信號的一種，因此其小波變換的模極大值也將隨著尺度因子的增大而迅速衰減。所以，在大尺度下，信號的小波變換模極大值主要屬于確定性信號的邊沿。然而機械故障信號的出現(xiàn)恰好對應于確定性信號的邊沿。根據(jù)這一原理，結(jié)合 小波變換模極大值的位置與信號突變點之間存在的一一對應關系 ，從而能夠?qū)⑿盘柕墓收宵c與平穩(wěn)噪聲區(qū)別開來，實現(xiàn)對機械故障的檢測。 小波函數(shù)的選取及小波基波選擇的 標準 信號奇異點可通過信號的小波變換局部極大值來定位，而奇異性運用該點的利普萊茨指數(shù)來定量描述。 應 用該理論來實現(xiàn)信號的奇異性檢測，比 其他方法 更優(yōu)越。 值得 注意的是 : 選擇不同的小波分析信號 ， 其檢測效果也不一樣，因此，選擇合適的小波就非常重要 [11]。在實際中 ,Morlet 小波運用領域比較廣泛 ,可以用于信號分類和表示、特征提取、圖像識別 。對于數(shù)字信號往往選擇哈爾或多貝西作為小波基 。另外還有根據(jù)小波函數(shù)的消失矩來選擇小波基波。本小節(jié)主要介紹小波在機械故障診斷的應用，因此選擇多貝西小波基函數(shù)。 在故障的奇異性檢測中 ,信號的奇異點（突變點）可以從其小波變換的小波系數(shù)模極大值中檢測出來。其基本原理是當信號在奇異點附近的利普萊茨指數(shù) 0?σ 時 ,其小波變換的模極大值根據(jù)尺波規(guī)則性系數(shù)相似性選擇小波基 ,主要是從小波分析和傅里葉變換的基本思想相似 , 傅里葉變換是以正弦波為基波 ,用其各次諧波來近似某一函數(shù) ,其中傅里葉系數(shù)代表著各次諧波分量在函數(shù)中的權值 ,這一權值實質(zhì)上表明了各次諧波與這一函數(shù)的相似性 。而小波分析則是利用小波的窗函數(shù)特性來進行分段逼近 ,同時小波系數(shù)的大小也反映了小波與函數(shù)某段的相 似度 [11]。同時函數(shù)與小波的規(guī)則性系數(shù)都反映各自的平滑程度和可微性 ,這樣根據(jù)相似性 ,能夠用平滑的小波 ,即用規(guī)則性系數(shù)大的小波 ,來表示平滑的函數(shù) 。用不平滑的小波 ,即規(guī)則性系數(shù)小的小波 ,來表示波動性大的函數(shù) 。當 0?σ 時 ,則隨尺度的增大而減小。也就是說在一個合適的尺度下 ,通過小波變換 ,根據(jù)小波系數(shù)模極大值和奇異點的關系 ,能夠檢測出信號的奇異點。本文提出的基于小波規(guī)定性系數(shù)小的函數(shù)表示非平滑函數(shù)。需要說明的是這里的相似不是絕對的相等或非常接近 ,僅僅表示一種趨勢。這一思想和利 用小波消失矩選擇小波函數(shù)具有一致性 ,因此小波的規(guī)則性系數(shù) 與 小波的消失矩有著同樣的變化趨勢 [12]。 這可從多貝西小波的消失矩和其小波規(guī)則性系數(shù)的關系看出 ,見表 1。 表 1 部分 db系小波規(guī)則性系數(shù)表 小波名稱 db1 db2 db3 db4 db5 db7 db10 規(guī)則性系數(shù) 0 不同小波基對信號奇變檢測仿真對比 不同小波基 對突變信號突變點進行檢測 用多貝西小波族的部分小波對突變信號突變點檢測來說明不同小波基檢測之間的差異， MATLAB程序【 8】實現(xiàn)如圖 所示，為多貝西小波族的 db db db db db9 對突變點的檢測結(jié)果。 陜西理工學院畢業(yè)設計 第 17 頁 共 42 頁 圖 多貝西小波族部分小波基對突變點的檢測 由圖 可以看出， db1 的檢測結(jié)果最好，這是因為突變信號的突變點的利普萊茨指數(shù)為 0，而db1 小波的規(guī)則性系數(shù)也是 0，即它們在突變點處具有最大的相似性，因此 db1 能最有效的刻畫出突變點的特征。雖然 db db db db9 也能檢測出突變點，但是它們所得檢測圖的幅值都要比 db1小，這是因為它們的規(guī)則性系數(shù)大，規(guī)則性系數(shù)和突變信號的突變點處的 相似性較小 [13]。 不同小波基對緩變信號的檢測 在實際的機械故障中也存在著大量的緩變信號，如果僅僅是檢測出信號奇變的突變點，可按照規(guī)則性系數(shù)相似方法，選擇規(guī)則性系數(shù)較小的小波基，對其檢測的小波基的選擇仍可根據(jù)小波基規(guī)則性系數(shù)來確定 [14]。這里依然用多貝西小波族的部分小波基來說明，用 db db db db5和 db7在一個確定的尺度下對緩變信號進行檢測， MATLAB 程序【 9】仿真結(jié)果如圖 所示。 圖 Daubechies 小波族部分小波基對緩變點的檢測 陜西理工學院畢業(yè)設計 第 18 頁 共 42 頁 由圖 可以看出， db5 和 db7 檢測所得的結(jié)果和緩變信號比較接近，即就是說用 db5 和 db7能準確的刻畫這一緩變信號的特征。由于原始信號變化比較平穩(wěn)且連續(xù)，所以它有著較大的利普萊茨規(guī)則性系數(shù)，而 db5 和 db7 的規(guī)則性系數(shù)要比圖 中的其他小波規(guī)則性系數(shù)大，這就表明對緩變信號的檢測要用規(guī)則性系數(shù)較大的小波效果比較好。然而也不是越大越好， 規(guī)則性系數(shù)越大的小波基檢測的結(jié)果和實際信號的差別可能越大，因此也要考慮相似性。同時，這也說明了對緩變信號檢測的小波基選擇要比突變信號困難得多，并且在實際中也不可能準確算出系統(tǒng)輸出信號的規(guī)則性系數(shù)。 在實際中往往可以通過系統(tǒng)觀測信號是否光滑連續(xù)，按照規(guī)則性系數(shù)相似的方法，在一定范圍內(nèi)選擇小波基，并要通過不同小波基反復嘗試比較，才能最終確定。 小波在機械故障診斷中的具體實現(xiàn) 在機械故障檢測中，故障通常表現(xiàn)為輸出信號發(fā)生突變這一特點，而傳統(tǒng)的傅里葉變換在處理時域上有變化的信號存在不足之處，因此，利用小波分析對故障檢測具有一定優(yōu)勢，小波檢測信號的突變點的一般方法是：對信號進行多尺度分析，在信號出現(xiàn)突變時，其小波變換后的系數(shù)具有模極大值，因而可以通過對模極大值點的檢測來確定故障發(fā)生的時間點 [15]。 用 MATLAB 程序【 10】實現(xiàn)信號檢測故障，如圖 所示： 圖 信號檢測故障顯示效果 從圖 中的小波分解的層系數(shù)可以明顯看出，在 500?t 時，系統(tǒng)工作出現(xiàn)了異常狀況；在1000?t 時，系統(tǒng)工作又恢復了正常。由此可以看出，小波分析在檢測信號奇異點上具有無法替代的優(yōu)勢，因此利用小波分