河南省鄭州市20xx屆高三數(shù)學(xué)第一次質(zhì)量預(yù)測試題理含解析(已改無錯(cuò)字)
2022-12-28 08:06:20 本頁面
【正文】 p 19． （本小題滿分 12分） 如圖，矩形 CDEF 和梯形 ABCD 所在的平面 互相垂直， 90BAD ADC? ? ? ?，12AB AD CD?? ， BE DF? ． （ 1）若 M 為 EA 中點(diǎn)，求證： AC ∥ 平面 MDF ； （ 2） 求平面 EAD 與平面 EBC 所成二面角的大小． 【解析】（ 1）證明：設(shè) EC 與 DF 交于點(diǎn) N ， 連接 MN ， 在矩形 CDEF 中，點(diǎn) N 為 EC 中點(diǎn)， ∵ M 為 EA 中點(diǎn)， ∴ MN ∥ AC ， 又 ∵ AC? 平面 MDF ， MN? 平面 MDF ， ∴ AC ∥ 平面 MDF ． （ 2） ∵ 平面 CDEF? 平面 ABCD ， 平面 CDEF 平面 ABCD CD? ， DE? 平面 CDEF ， DE CD? ， ∴ DE? 平面 ABCD ． 以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系， 設(shè) DA a? ， DE b? ， ( , , 0) , ( 0 , 0 , ) , ( 0 , 2 , 0) , ( 0 , 2 , )B a a E b C a F a b， ( , , ) , ( 0 , 2 , ) , ( , , 0)B E a a b D F a b B C a a? ? ? ? ? ?， ∵ BE DF? ， ∴ 22( , , ) ( 0 , 2 , ) 2 0B E D F a a b a b b a? ? ? ? ? ? ? ?， 2ba? ． 設(shè)平面 EBC 的法向量 ( , , )x y z?m ， 則 00BEBC? ????????mm，即 200ax ay azax ay?? ? ? ???? ? ???， 取 1x?，則 (1,1, 2)?m ， 注意到平面 EAD 的法向量 (0,1,0)?n ， 10分 而 1c o s ,| | | | 2?? ?? ??mnmn mn， FDMACBEyzxFDMACBEN ∴平面 EAD 與 EBC 所成銳二面角的大小為 60 ． 20．（本小題滿分 12分） 已知點(diǎn) ( 1,0)M? ， (1,0)N ， 曲線 E 上任意一點(diǎn)到點(diǎn) M 的距離均是到點(diǎn) N 的距離的 3 倍． （ 1）求曲線 E 的方程； （ 2）已知 0m? ，設(shè)直線 1 : 1 0l x my? ? ? 交曲線 E 于 ,AC兩點(diǎn)，直線 2 :0l mx y m? ? ? 交曲線 E 于 ,BD兩點(diǎn)， ,CD兩點(diǎn)均在 x 軸下方．當(dāng) CD 的斜率為 1? 時(shí)，求線段 AB 的長． 【解析】（ 1）設(shè)曲線 E 上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為 (, )xy ， 由題意， 2 2 2 2( 1 ) 3 ( 1 )x y x y? ? ? ? ?， 整理得 22 4 1 0x y x? ? ? ?，即 22( 2) 3xy? ? ?為所求． （ 2） 由題知 12ll? ，且兩條直 線均恒過點(diǎn) (1,0)N ， 設(shè)曲線 E 的圓心為 E ，則 (2,0)E ， 線段 CD 的中點(diǎn)為 P ，則直線 EP ： 2yx??, 設(shè)直線 CD ： y x t?? ? ， 由 2yxy x t???? ?? ?? ，得 22( , )ttP ??， 由圓的幾何性質(zhì)， 221| | | | | | | |2N P C D E D E P? ? ?， 而 2 2 222| | ( 1 ) ( )ttNP ??? ? ?， 2| | 3ED? ， 22| 2 || | ( )2tEP ??， 解之得 0t? 或 3t? ， 又 ,CD兩點(diǎn)均在 x 軸下方，直線 CD ： yx?? ． 由 22 4 1 0,? ? ? ? ?? ???x y xyx解得21,22 12xy? ?????? ???? 或21,22 1.2? ?????? ?? ???xy 不失一般性，設(shè) 2 2 2 2(1 , 1 ) , (1 , 1 )2 2 2 2CD? ? ? ? ?， 由 22 4 1 0( 1)x y xy u x? ? ? ? ?? ???， 得 2 2 2 2( 1 ) 2( 2) 1 0u x u x u? ? ? ? ? ?，⑴ 方程⑴的兩根之積為 1，∴點(diǎn) A 的橫坐標(biāo) 22Ax ?? ， ∵點(diǎn) 22(1 , 1)22C ??在直線 1 : 1 0l x my? ? ?上，解得 21m??， 直線 1 : ( 2 1)( 1)l y x? ? ?，∴ (2 2A ? ． 同理可得， (2 2,1)B ? ，∴線段 AB 的長為 22． 21． （ 2020鄭州一測） 設(shè)函數(shù) 21( ) ln2f x x m x??， 2( ) ( 1)g x x m x? ? ?， 0m? ． （ 1）求函數(shù) ()fx的
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