【正文】 系統(tǒng)的影響控制作用上升時(shí)間超調(diào)量調(diào)節(jié)時(shí)間穩(wěn)態(tài)誤差KP減少增加影響很小減少KI減少增加增加消除KD影響很小減少減少影響很小這些關(guān)系可能并不是十分準(zhǔn)確，因?yàn)镵P、KI和KD之間是相互依賴的，改變其中任何一個(gè)都會(huì)影響到其他兩個(gè)。表46只作為確定KP、KI和KD參數(shù)值的參考。PID控制器的設(shè)計(jì)可按以下步驟進(jìn)行：獲取受控系統(tǒng)的開環(huán)響應(yīng)，并確定哪些性能指標(biāo)需要改進(jìn)；添加比例控制，以改善上升時(shí)間；添加微分控制，以改善超調(diào)量；添加積分控制，以消除穩(wěn)態(tài)誤差；調(diào)整KP、KI和KD直到獲得理想的閉環(huán)響應(yīng)。當(dāng)然，在滿足設(shè)計(jì)要求的前提下，控制器越簡(jiǎn)單越好，并不要求必須用到三種控制作用，例如當(dāng)PI控制器滿足要求時(shí)，就沒必要再加入微分控制。設(shè)計(jì)PID控制器的關(guān)鍵在于KP、KI和KD參數(shù)的選取，即PID參數(shù)的整定，實(shí)際應(yīng)用中通常采用經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)完成。利用本小節(jié)中編寫的程序，可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)試湊法整定PID控制器參數(shù)。設(shè)計(jì)的程序?qū)?shí)現(xiàn)加入PID控制器后的開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)分析，用戶可以不斷修改PID控制器的參數(shù)，直到系統(tǒng)性能符合要求為止。在參數(shù)整定過(guò)程中可以以表46為參考，調(diào)整KP、KI和KD的參數(shù)值。(二) VI設(shè)計(jì)(1) 程序流程圖圖414 Mkf系統(tǒng)PID設(shè)計(jì)的程序流程圖Mkf系統(tǒng)的PID設(shè)計(jì)部分程序流程圖如圖414所示。程序開始時(shí)，輸入受控系統(tǒng)參數(shù)（M、f、k）和PID控制器的參數(shù)（KP、KI、KD），分別建立起受控系統(tǒng)模型和PID控制器的模型。對(duì)模型進(jìn)行串聯(lián)連接可得到設(shè)計(jì)后的開環(huán)系統(tǒng)模型，對(duì)此模型進(jìn)行頻域分析，獲得其Bode圖并計(jì)算出穩(wěn)定裕量。在串聯(lián)連接的基礎(chǔ)上進(jìn)行反饋連接即可得到設(shè)計(jì)后的閉環(huán)系統(tǒng)模型，對(duì)該模型進(jìn)行時(shí)域分析，獲得相關(guān)的時(shí)域性能指標(biāo)。根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)頻域分析和閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)域分析的結(jié)果，可以對(duì)設(shè)計(jì)的PID控制器作出評(píng)估，接下來(lái)可重新選擇PID控制器的參數(shù)，重復(fù)上述過(guò)程直到設(shè)計(jì)結(jié)果達(dá)到要求為止。(2) 子VI的選擇本程序中主要用到的子VI及其功能如表47所示：表47 Mkf系統(tǒng)PID設(shè)計(jì)程序中用到的VI序號(hào)名稱功能1CD Draw Transfer Function 繪出傳遞函數(shù)模型2CD Draw ZeroPoleGain 繪出零極點(diǎn)模型3CD Construct PID 建立傳遞函數(shù)形式的PID模型4CD 計(jì)算并返回系統(tǒng)的極點(diǎn)5CD 實(shí)現(xiàn)串聯(lián)連接并獲得系統(tǒng)模型6CD 實(shí)現(xiàn)反饋連接并獲得系統(tǒng)模型7CD Gain and Phase 計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量8CD Step 計(jì)算系統(tǒng)的階躍響應(yīng)9CD Impulse 計(jì)算系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)10CD Parametric Time 計(jì)算系統(tǒng)在指定激勵(lì)下的響應(yīng)信號(hào)及其動(dòng)態(tài)參數(shù)(3) 程序設(shè)計(jì)考慮到整個(gè)程序構(gòu)成一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)，可采用While循環(huán)結(jié)構(gòu)，加入布爾按鈕控制程序是否停止。，此處采用該小節(jié)設(shè)計(jì)出的程序。利用“CD Construct PID ”建立PID控制器的模型，“CD Construct PID ”的輸入端為KP、KI和KD，輸出為PID控制器的傳遞函數(shù)模型，將該模型連接至“CD Draw ZeroPoleGain ”，可將PID控制器模型以零極點(diǎn)形式繪制出來(lái)。接下來(lái)，利用“CD ”實(shí)現(xiàn)Mkf系統(tǒng)模型與PID控制器模型的串聯(lián)連接，獲得設(shè)計(jì)后的開環(huán)系統(tǒng)模型，將該模型連接到“CD Gain and Phase ”，即可獲得開環(huán)Bode圖并計(jì)算出幅值裕量和相角裕量。將開環(huán)系統(tǒng)模型與傳遞函數(shù)為1的模型連接到“CD ”，可得到設(shè)計(jì)后的閉環(huán)系統(tǒng)模型，即可獲得時(shí)域響應(yīng)曲線及相應(yīng)的性能指標(biāo)。利用“CD ”可以獲得原系統(tǒng)模型與設(shè)計(jì)后的閉環(huán)系統(tǒng)模型的極點(diǎn)，作為系統(tǒng)設(shè)計(jì)的參考。最后在前面板上添加適當(dāng)?shù)男揎?，如箭頭等，完整表現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)模型的獲得過(guò)程。通過(guò)以上的步驟，可完成Mkf系統(tǒng)PID設(shè)計(jì)的VI的設(shè)計(jì)，其前面板及程序框圖如圖415所示：圖415 “”的前面板和框圖 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)倒立擺系統(tǒng)是一類非線性、強(qiáng)耦合、多變量和自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)[37]，是檢驗(yàn)各種控制理論的不可多得的典型物理模型。通過(guò)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究，不僅可以解決控制中的理論問(wèn)題，還能將控制理論所涉及的三個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科：力學(xué)、數(shù)學(xué)和電學(xué)（含計(jì)算機(jī)）有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，在倒立擺系統(tǒng)中進(jìn)行綜合應(yīng)用[39]。 建模與分析及其VI設(shè)計(jì)(一) 建模一級(jí)倒立擺系統(tǒng)屬于非線性系統(tǒng)，為簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析并采用狀態(tài)反饋來(lái)控制，需要將其近似為一個(gè)線性系統(tǒng)。在實(shí)際的建模過(guò)程中，要忽略空氣流動(dòng)阻力以及各種次要的摩擦阻力[40]。這樣，可將該系統(tǒng)抽象成由小車和勻質(zhì)剛性桿組成的系統(tǒng)，如圖416所示。φ?qǐng)D416 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)示意圖本系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)定義如下：M ：小車質(zhì)量m ：擺桿質(zhì)量b ：小車摩擦系數(shù)l ：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度I ：擺桿慣量F ：加在小車上的力x ：小車位置φ ：擺桿與垂直向上方向的夾角（逆時(shí)針為正）θ ：擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖417是一級(jí)倒立擺系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖，圖示方向?yàn)槭噶空较?。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力在水平和垂直方向上的分量。圖417 小車和擺桿的受力分析應(yīng)用Newton方法來(lái)建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程[25]，過(guò)程如下：分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：對(duì)擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析，可以得到以下方程：合并以上兩式，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：（48）為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到以下方程：力矩平衡方程如下：此方程中力矩的方向，由于，故等式前有負(fù)號(hào)。合并以上兩式，約去P和N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：（49）方程中，當(dāng)擺桿與垂直向上方向之間的夾角與1（單位是弧度）相比很小，即 時(shí)，可以進(jìn)行近似處理：。為了與現(xiàn)代控制理論的表達(dá)習(xí)慣相統(tǒng)一，用u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F，線性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的微分方程表達(dá)式：（410）(1) 傳遞函數(shù)模型對(duì)方程組（410）進(jìn)行拉普拉斯變換，并假設(shè)初始條件為0，得到（411）由于輸出為擺桿擺角，求解方程組（411）的第二個(gè)方程，可以得到把上式代入方程組（411）的第一個(gè)方程，得到整理后得到以輸入力為輸入量，以擺桿擺角為輸出量的傳遞函數(shù)：（412）其中 進(jìn)而可得到以小車位移為輸出量的傳遞函數(shù)：（413）(2) 狀態(tài)空間模型由現(xiàn)代控制理論可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式：對(duì)方程組（410）中求解代數(shù)方程，得到如下解：令（p=q；引入變量p只是表明：獲得傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型的過(guò)程是相互獨(dú)立的），整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：（414） (二) 模型分析對(duì)一級(jí)倒立擺系統(tǒng)主要進(jìn)行狀態(tài)空間分析：(1) 穩(wěn)定性分析根據(jù)系統(tǒng)模型的特征根來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，計(jì)算出系統(tǒng)的開環(huán)特征根，若系統(tǒng)有極點(diǎn)位于原點(diǎn)及右半復(fù)平面，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2) 能控性分析根據(jù)能控性的秩判據(jù)來(lái)判斷系統(tǒng)的能控性：計(jì)算，如果系統(tǒng)的能控性矩陣滿秩，則系統(tǒng)能控。(3) 能觀測(cè)性分析根據(jù)能觀測(cè)性的秩判據(jù)來(lái)判斷系統(tǒng)的能觀測(cè)性：計(jì)算，如果系統(tǒng)的能觀測(cè)性矩陣滿秩，則系統(tǒng)能觀測(cè)。(4) 時(shí)域分析繪制出系統(tǒng)的開環(huán)脈沖響應(yīng)曲線和開環(huán)階躍響應(yīng)曲線。研究系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，進(jìn)一步可分析系統(tǒng)的時(shí)域性能。(三) VI設(shè)計(jì)(1) 程序流程圖倒立擺系統(tǒng)的建模與分析部分程序流程圖如圖418所示。程序開始時(shí)，輸入系統(tǒng)參數(shù)，對(duì)系統(tǒng)建立傳遞函數(shù)模型和狀態(tài)空間模型，在狀態(tài)空間模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行穩(wěn)定性分析、能控性分析、能觀測(cè)性分析，并給出時(shí)域分析結(jié)果。整個(gè)程序構(gòu)成一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)，如果不按下“停止”按鈕，將重復(fù)執(zhí)行上述操作。用戶變更系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，可立即獲得相應(yīng)的系統(tǒng)模型及相關(guān)分析，實(shí)現(xiàn)了程序的實(shí)時(shí)交互。圖418 倒立擺系統(tǒng)建模與分析程序流程圖(2) 子VI的選擇本程序中用到的子VI及其功能如表48所示：表48 倒立擺系統(tǒng)建模與分析程序中用到的VI序號(hào)名稱功能1CD Draw Transfer Function 繪出傳遞函數(shù)模型2CD Draw StateSpace 繪出狀態(tài)空間模型3CD PoleZero 繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖4CD Controllability 計(jì)算系統(tǒng)的可控性矩陣5CD Observability 計(jì)算系統(tǒng)的可觀性矩陣6CD Step 計(jì)算系統(tǒng)的階躍響應(yīng)7CD Impulse 計(jì)算系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)(3) 程序設(shè)計(jì)考慮到整個(gè)程序構(gòu)成一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)，可采用While循環(huán)結(jié)構(gòu)，加入布爾按鈕控制程序是否停止。由于倒立擺系統(tǒng)參數(shù)較多，如果采用控制設(shè)計(jì)工具包 “Model Construction”子VI庫(kù)下的子VI建模，程序?qū)@得龐大、復(fù)雜，因此采用MathScript節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)建模。將系統(tǒng)模型連接至“CD Draw Transfer Function ”和“CD Draw StateSpace ”，可將其繪制出來(lái)。倒立擺系統(tǒng)建模程序的MathScript節(jié)點(diǎn)代碼如下：%求傳遞函數(shù)gs(輸出為擺桿角度)和gspo(輸出為小車位置) q= I*(M+m)+M*m*l^2。 num=[m*l/q 0]。 den=[1 b*(I+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q]。 gs=tf(num,den)。 numpo=[(I+m*l^2)/q 0 m*g*l/q]。 denpo=[1 b*(I+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0]。 gspo=tf(numpo,denpo)。 %求狀態(tài)空間模型sys(A,B,C,D) p=q。 A=[0 1 0 0。0 (I+m*l^2)*b/p m^2*g*l^2/p 0。0 0 0 1。0 m*b*l/p m*g*l*(M+m)/p 0]。 B=[0。(I+m*l^2)/p。0。m*l/p]。 C=[1 0 0 0。0 0 1 0]。 D=[0]。 sys=ss(A,B,C,D)。對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，可以將系統(tǒng)模型直接連接到“CD PoleZero ”，在該子VI的“PoleZero Map”輸出端連接到“XY圖”控件，用于顯示系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖；該子VI的“Poles”輸出端連接到數(shù)組顯示控件，用于獲得系統(tǒng)的極點(diǎn)。對(duì)系統(tǒng)的能控性分析、能觀測(cè)性分析，可以將系統(tǒng)模型連接到“CD Controllability ”和“CD Observability ”上，通過(guò)計(jì)算能控性矩陣和能觀測(cè)性矩陣判斷其能控性和能觀測(cè)性，以布爾類型的指示燈控件給出顯示。，此處不再贅述。通過(guò)以上的步驟，可完成倒立擺建模與分析VI的設(shè)計(jì)，其前面板及程序框圖如圖419所示：圖419 “”的前面板和框圖 LQR設(shè)計(jì)及其VI設(shè)計(jì)(一) LQR設(shè)計(jì)線性二次型最優(yōu)控制算法（LQR）是現(xiàn)代控制理論中一種重要的、基本的方法，LQR算法的目的是在一定的性能指標(biāo)下，使系統(tǒng)的控制效果最佳，即利用最少的控制能量，來(lái)達(dá)到最小的狀態(tài)誤差[17,26]。本小節(jié)主要利用最優(yōu)控制算法實(shí)現(xiàn)對(duì)一階倒立擺系統(tǒng)的擺桿角度和小車位置的同時(shí)控制。二次型性能指標(biāo)最優(yōu)控制的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是除了系統(tǒng)不可控的情況外，所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)將是穩(wěn)定的。它的突出特點(diǎn)是線性的控制規(guī)律，即反饋控制作用可以做到與系統(tǒng)狀態(tài)的變化成比例，因此這類控制易于實(shí)現(xiàn)，也易于駕馭。(1) 理論分析與設(shè)計(jì)已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：，尋求最優(yōu)控制u(t)，使性能指標(biāo)（415）達(dá)到極小值。這是二次型指標(biāo)泛函[26,28]，要求S、Q、R是對(duì)稱矩陣，且S 和Q應(yīng)是非負(fù)定的或正定的，R應(yīng)是正定的。式（415）右端第一項(xiàng)是末值項(xiàng)，它是對(duì)終端狀態(tài)提出一個(gè)符合需要的要求，表示在給定的控制終端時(shí)刻t 到來(lái)時(shí)，系統(tǒng)的終態(tài)接近預(yù)定終態(tài)的程度。式（415）右側(cè)的積分項(xiàng)是一項(xiàng)綜合指標(biāo)。積分中的第一項(xiàng)表示對(duì)于一切的，對(duì)狀態(tài)的要求。用它來(lái)衡量整個(gè)控制期間系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)與給定狀態(tài)之間的綜合誤差，體現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)誤差的要求。這一積分項(xiàng)越小，說(shuō)明系統(tǒng)的性能越好。積分的第二項(xiàng)體現(xiàn)了對(duì)控制信號(hào)能量損耗的要求。如果僅要求控制誤差盡量小，則可能造成求得的控制向量u(t)過(guò)大，控制能量消耗過(guò)大，甚至在實(shí)際上難以實(shí)現(xiàn)。實(shí)際上，上述兩個(gè)積分項(xiàng)是相互制約的，要求控制狀態(tài)的誤差平方積分減小，必然導(dǎo)致控制能量的消耗增大；反之，為了節(jié)省控制能量，就不得不降低對(duì)控制性能的要求。求兩者之和的極小值，實(shí)質(zhì)上是求取在某種最優(yōu)意義下的折衷，這種折衷側(cè)重于哪一方面，取決于加權(quán)矩陣Q及R的選取。矩陣Q和R的相對(duì)大小，確定了誤差和能量損耗的相對(duì)重要性。如果重視控制的準(zhǔn)確性，則應(yīng)增大加權(quán)矩陣Q的各元，反之則應(yīng)增大加權(quán)矩陣R的各元。因?yàn)橐患?jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型（414）式是一個(gè)對(duì)于終端誤差沒有要求，且不包含末值控制性能指標(biāo)的線性定常系統(tǒng)，所以性能指標(biāo)（415）即為：（416）其最優(yōu)控制問(wèn)題屬于無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題，該問(wèn)題要求系統(tǒng)必須是能控的[17]。在此，假設(shè)控制向量u(t)是不受約束的。根據(jù)線性二次型最優(yōu)控制理論，可以組成相應(yīng)的矩陣?yán)杩ㄌ幔≧iccati）代數(shù)方程：（417）求解黎卡提方程的解陣P，進(jìn)而可確定最優(yōu)反饋增益向量，最優(yōu)控制規(guī)律由（418）式給出。可以看出，基于二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)歸結(jié)為通過(guò)適當(dāng)選取Q和R矩陣來(lái)確定向量K的各元素。（418）(2) 閉環(huán)系統(tǒng)模型基于LQR方法設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)實(shí)際上是采用狀態(tài)反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)后的閉環(huán)