【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 KK微分環(huán)節(jié)sjω一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)建立典型環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型后，可進(jìn)行時(shí)域和頻域的相關(guān)分析。時(shí)域分析主要獲得典型環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)、單位脈沖響應(yīng)、零輸入響應(yīng)以及相應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。由于微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)的時(shí)域響應(yīng)發(fā)散，所以對(duì)這些環(huán)節(jié)不作時(shí)域分析。在其他典型環(huán)節(jié)中，慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)域分析最具有意義和價(jià)值。頻域分析可獲得典型環(huán)節(jié)的頻率特性，反映了正弦信號(hào)作用下典型環(huán)節(jié)系統(tǒng)響應(yīng)的性能。在控制工程中，頻率分析法常常是用圖解法進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)的，常用的頻率特性有三種圖解表示。對(duì)表42中頻率特性G( jω)可進(jìn)一步求出對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性，在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)平面中作出曲線，即為Bode圖。以頻率為參變量，將幅頻與相頻特性同時(shí)表示在復(fù)平面上，即得到Nyquist圖（極坐標(biāo)圖）。以頻率為參變量，將對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性組合成一張圖，縱坐標(biāo)表示對(duì)數(shù)幅值，橫坐標(biāo)表示相應(yīng)的相角，即得到Nichols圖。 VI設(shè)計(jì)(1) 程序流程圖典型環(huán)節(jié)建模與分析的程序流程圖如圖44所示。程序開始時(shí)，選擇所要分析的典型環(huán)節(jié)類型，然后輸入相關(guān)參數(shù)，建立起傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)增益模型。對(duì)典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型加以顯示，同時(shí)對(duì)模型進(jìn)行時(shí)域分析或頻域分析并將分析結(jié)果顯示出來。如果不按下“停止”按鈕，將重復(fù)執(zhí)行上述操作。用戶重新選擇典型環(huán)節(jié)類型、變更對(duì)應(yīng)的參數(shù)，即可獲得相應(yīng)的系統(tǒng)模型及相關(guān)分析。圖44 典型環(huán)節(jié)建模與分析程序流程圖(2) 子VI的選擇本程序中用到的子VI及其功能如表43所示：表43 典型環(huán)節(jié)建模與分析程序中用到的VI序號(hào)名稱功能1CD Construct Transfer Function 建立傳遞函數(shù)模型2CD Draw Transfer Function 繪出傳遞函數(shù)模型3CD Draw ZeroPoleGain 繪出零極點(diǎn)增益模型4CD Step 計(jì)算系統(tǒng)的階躍響應(yīng)5CD Impulse 計(jì)算系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)6CD Initial 計(jì)算系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)續(xù) 表43序號(hào)名稱功能7CD Parametric Time 計(jì)算系統(tǒng)在指定激勵(lì)（階躍、脈沖或零輸入）下的響應(yīng)信號(hào)及其動(dòng)態(tài)參數(shù)8CD 繪制系統(tǒng)的Bode圖9CD 繪制系統(tǒng)的Nyquist圖10CD 繪制系統(tǒng)的Nichols圖(3) 程序設(shè)計(jì)典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型較為簡(jiǎn)單，采用控制設(shè)計(jì)工具包“Model Construction”子VI庫(kù)下的“CD Construct Transfer Function ”就可以很方便的建立起傳遞函數(shù)模型。為方便程序設(shè)計(jì)，可考慮將典型環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T、τ均以T代替，這樣將減少一個(gè)變量，程序中只需引入K、T、ζ三個(gè)變量。采用分支結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)對(duì)典型環(huán)節(jié)的選擇，并利用屬性節(jié)點(diǎn)控制這三個(gè)變量所對(duì)應(yīng)的輸入控件的顯示，使得選擇某一個(gè)典型環(huán)節(jié)之后，只顯示出與之對(duì)應(yīng)的參數(shù)，方便用戶的輸入。建立傳遞函數(shù)模型后，將其連接到“CD Draw Transfer Function ”和“CD Draw ZeroPoleGain ”，就可以以圖片的形式顯示出典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)增益模型。這里給出二階振蕩環(huán)節(jié)建模的子分支程序，如圖45所示，其他典型環(huán)節(jié)建模的子分支程序與之類似。圖45 二階振蕩環(huán)節(jié)建模的程序框圖對(duì)典型環(huán)節(jié)的分析涉及到時(shí)域分析和頻域分析，如果在一個(gè)VI里面實(shí)現(xiàn)，前面板將顯得過于龐大，因此設(shè)計(jì)兩個(gè)VI分別實(shí)現(xiàn)時(shí)域分析和頻域分析。時(shí)域分析由于涉及脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)和零輸入響應(yīng)，可采用分支結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，采用下拉列表實(shí)現(xiàn)三個(gè)分支的選擇。將系統(tǒng)模型直接連接到“CD Step ”、“CD Impulse ”和“CD Initial ”，三個(gè)子VI的輸出端“Step Response Graph”、“Impulse Response Graph”和“Initial Response Graph”均連接到“XY圖”控件，用于顯示系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)曲線，采用2個(gè)“XY圖”控件，分別以單曲線形式和多曲線形式顯示。考慮到還需要獲得相應(yīng)的響應(yīng)指標(biāo)，可將系統(tǒng)模型和時(shí)域響應(yīng)數(shù)據(jù)連接至“CD Parametric Time ”， 該VI將計(jì)算出系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的動(dòng)態(tài)參數(shù)。由此設(shè)計(jì)出的時(shí)域分析子程序如圖46所示： 圖46 時(shí)域分析子程序框圖這段時(shí)域響應(yīng)程序在后面的程序設(shè)計(jì)中還會(huì)多次用到，因此將其用順序結(jié)構(gòu)做成一個(gè)模塊，用到的時(shí)候稍作修改即可使用。將可進(jìn)行時(shí)域分析的典型環(huán)節(jié)的模型連接到該模塊，即可完成典型環(huán)節(jié)時(shí)域分析的VI設(shè)計(jì)，其前面板及程序框圖如圖47所示：（a）（b）圖47 “”的前面板和框圖對(duì)典型環(huán)節(jié)的頻域分析只需將典型環(huán)節(jié)的模型連接到“CD ”、“CD ”和“CD ”，它們的輸出端連接到“XY圖”控件，便可獲得典型環(huán)節(jié)的Bode圖、Nyquist圖和Nichols圖。頻域分析VI的前面板及程序框圖如圖48所示：（a）（b）圖48 “”的前面板和框圖 質(zhì)點(diǎn)－彈簧－阻尼器系統(tǒng) 建模與模型轉(zhuǎn)換及其VI設(shè)計(jì)(一) 建模與模型轉(zhuǎn)換質(zhì)點(diǎn)－彈簧－阻尼器系統(tǒng)[6,16]（簡(jiǎn)稱Mkf系統(tǒng)，下同）如圖49所示：圖49 質(zhì)點(diǎn)－彈簧－阻尼器系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)示意圖本系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)定義如下：M ：小車質(zhì)量k ：彈簧彈性系數(shù)f ：粘性摩擦系數(shù)F ：加在小車上的力y ：小車位移在小車M上作用一個(gè)外力F，小車的位移為y。設(shè)阻尼器的摩擦力與成正比，彈簧彈力與y成正比。對(duì)于該機(jī)械系統(tǒng)，根據(jù)牛頓第二定律有：即：（41）(1) 傳遞函數(shù)模型在初始條件為零的條件下，對(duì)方程（41）式進(jìn)行拉普拉斯變換，得到：由此可得傳遞函數(shù)：（42）(2) 狀態(tài)空間模型選擇位移y和速度為狀態(tài)變量，而位移為系統(tǒng)的輸出，力F為輸入量，則有：于是該機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：（43）(3) 模型轉(zhuǎn)換傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式是對(duì)系統(tǒng)的兩種描述方式，二者都是在系統(tǒng)微分方程的基礎(chǔ)上建立起來的。在系統(tǒng)初始松弛的條件下，對(duì)狀態(tài)空間表達(dá)式進(jìn)行Laplace變換并且化簡(jiǎn)，可以求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。根據(jù)傳遞函數(shù)可得到系統(tǒng)的微分方程（初始松弛），選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量便可以得到相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式?？梢妭鬟f函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式之間是可以相互轉(zhuǎn)換的。一般而言，由狀態(tài)空間表達(dá)式可得到唯一的傳遞函數(shù)；而由傳遞函數(shù)可得到多個(gè)不同的狀態(tài)空間表達(dá)式，這取決于狀態(tài)變量的選擇。在此只討論將狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)。針對(duì)Mkf系統(tǒng)，根據(jù)其狀態(tài)空間表達(dá)式（43）式求出輸出量對(duì)輸入量的傳遞函數(shù)（即傳遞函數(shù)）見（44）式，它與（42）式的結(jié)果一致。（44）(二) VI設(shè)計(jì)(1) 子VI的選擇本程序中用到的子VI及其功能如表44所示：表44 Mkf系統(tǒng)建模與模型轉(zhuǎn)換程序中用到的VI序號(hào)名稱功能1CD Draw Transfer Function 繪出傳遞函數(shù)模型2CD Draw ZeroPoleGain 繪出零極點(diǎn)增益模型3CD Draw StateSpace 繪出狀態(tài)空間模型4CD Convert to Transfer Function 將系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式5CD Convert to ZeroPoleGain 將系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益形式6CD 計(jì)算并返回系統(tǒng)的極點(diǎn)(2) 程序設(shè)計(jì)在本程序中，先建立Mkf系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，然后將其轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)增益模型。建立系統(tǒng)模型既可采用控制設(shè)計(jì)工具包 “Model Construction”子VI庫(kù)下的子VI實(shí)現(xiàn)，也可以使用MathScript節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)。在典型環(huán)節(jié)的建模中由于模型簡(jiǎn)單采用了前者，而建立Mkf系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型時(shí)，兩種方法的差別不大、優(yōu)劣不明顯，此處選擇后者。其MathScript節(jié)點(diǎn)代碼如下：%求狀態(tài)空間sys(A,B,C,D) a=[0 1。k/M f/M]。 b=[0。1/M]。 c=[1 0]。 d=[0]。 sys=ss(a,b,c,d)。將系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型連接至“CD Convert to Transfer Function ”和“CD Convert to ZeroPoleGain ”，可實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型到傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)增益模型的轉(zhuǎn)換。系統(tǒng)模型可通過相應(yīng)的模型繪制VI以圖片形式顯示出來。由于當(dāng)系統(tǒng)極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)時(shí)，得到的零極點(diǎn)增益模型與傳遞函數(shù)模型相同，失去該模型的意義，因此可考慮增加“CD ”計(jì)算并以復(fù)數(shù)形式返回系統(tǒng)的極點(diǎn)，彌補(bǔ)這一缺陷?！癈D ”的輸入端連接系統(tǒng)模型，輸出端連接到復(fù)數(shù)數(shù)組形式的顯示控件。為實(shí)現(xiàn)程序的實(shí)時(shí)性，可將通過上述步驟獲得的程序放入While循環(huán)結(jié)構(gòu)，加入布爾按鈕控制程序停止。至此完成了Mkf系統(tǒng)建模與模型轉(zhuǎn)換VI的設(shè)計(jì)，其前面板及程序框圖如圖410所示： 圖410 “”的前面板和框圖 模型分析及其VI設(shè)計(jì)上一小節(jié)所設(shè)計(jì)的“”實(shí)現(xiàn)了Mkf系統(tǒng)狀態(tài)空間模型、傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)增益模型的建立。本小節(jié)將在此基礎(chǔ)上完成Mkf系統(tǒng)的性能分析和相應(yīng)的VI設(shè)計(jì)。(一) 模型分析對(duì)Mkf系統(tǒng)的模型分析基于狀態(tài)空間模型和傳遞函數(shù)模型。在傳遞函數(shù)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行時(shí)域分析和頻域分析，由于Mkf系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（42）式實(shí)質(zhì)上是一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)，此處不再贅述。在狀態(tài)空間模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行的狀態(tài)空間分析，主要有以下方面：(1) 線性變換選取不同的狀態(tài)變量，得到的狀態(tài)空間表達(dá)式也不相同。各狀態(tài)空間表達(dá)式之間存在著線性變換關(guān)系。利用線性變換，可得到便于應(yīng)用且簡(jiǎn)單的狀態(tài)空間表達(dá)式[17]。引入非奇異變換矩陣P，對(duì)狀態(tài)變量x進(jìn)行線性變換，可得到新的系統(tǒng)方程：（45）適當(dāng)選擇變換矩陣P，可將系數(shù)矩陣A轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型（對(duì)角形、約當(dāng)形或模態(tài)形），使得系統(tǒng)達(dá)到最弱耦合形式。(2) 能控性分析根據(jù)能控性的秩判據(jù)來判斷系統(tǒng)的能控性：計(jì)算，如果系統(tǒng)的能控性矩陣滿秩，則系統(tǒng)能控。(3) 能觀測(cè)性分析根據(jù)能觀測(cè)性的秩判據(jù)來判斷系統(tǒng)的能觀測(cè)性：計(jì)算，如果系統(tǒng)的能觀測(cè)性矩陣滿秩，則系統(tǒng)能觀測(cè)。(二) VI設(shè)計(jì)，主要的不同點(diǎn)在于利用MathScript節(jié)點(diǎn)計(jì)算出了系統(tǒng)的阻尼比ζ和無阻尼自然振蕩頻率，在0ζ1時(shí)給出了詳細(xì)的時(shí)域響應(yīng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。這里直接給出前面板及程序框圖如圖411所示： （a）（b）（c）（d）圖411 “”的前面板和框圖需要說明的是，以上是一個(gè)VI程序，實(shí)現(xiàn)了Mkf系統(tǒng)時(shí)域與頻域分析。在程序框圖中使用分支結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)時(shí)域分析與頻域分析的選擇，同時(shí)采用了屬性節(jié)點(diǎn)控制前面板上相關(guān)控件的顯示與隱藏。接下來設(shè)計(jì)Mkf系統(tǒng)狀態(tài)空間分析的VI程序，本程序中用到的子VI及其功能如表45所示：表45 Mkf系統(tǒng)狀態(tài)空間分析程序中用到的VI序號(hào)名稱功能1CD Canonical StateSpace Realization將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為規(guī)范形式的實(shí)現(xiàn)2CD Draw StateSpace 繪出狀態(tài)空間模型3CD Controllability 計(jì)算系統(tǒng)的可控性矩陣4CD Observability 計(jì)算系統(tǒng)的可觀性矩陣，建立起系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。將系統(tǒng)模型連接至“CD Canonical StateSpace ”，在其輸出端可以獲得狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型，同時(shí)可得到對(duì)應(yīng)的變換矩陣。添加“CD Controllability ”和“CD Observability ”，并將系統(tǒng)模型連接至這兩個(gè)VI，計(jì)算出該系統(tǒng)的可控性矩陣和可觀測(cè)性矩陣，同時(shí)這兩個(gè)VI也可以分別通過輸出參數(shù)“Is Controllable?”和“Is Observable?”給出可控性和可觀測(cè)性的判定結(jié)果。通過以上的步驟，可完成Mkf系統(tǒng)狀態(tài)空間分析VI的設(shè)計(jì)，其前面板及程序框圖如圖412所示：圖412 “”的前面板和框圖 PID設(shè)計(jì)及其VI設(shè)計(jì)(一) PID控制PID控制一般采用圖413所示的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，即串聯(lián)控制[8]：控制器r(t)受控對(duì)象e(t)u(t)y(t)圖413 串聯(lián)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)控制器接受誤差信號(hào)e(t)后，按一定的運(yùn)算規(guī)律輸出控制信號(hào)，作用于被控對(duì)象，消除擾動(dòng)對(duì)被控對(duì)象的影響，使被控量y(t)達(dá)到給定值。輸出y(t)能否達(dá)到給定值，以及以怎樣的途徑，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，即控制過程的品質(zhì)如何，不僅與受控對(duì)象的特性有關(guān)，而且與控制器的特性，即控制器的運(yùn)算規(guī)律有關(guān)。本設(shè)計(jì)中采用的控制器為PID控制器，其構(gòu)成方式有多種，這里采用由P、I、D環(huán)節(jié)并聯(lián)的結(jié)構(gòu)，其傳遞函數(shù)為：（46）等式的右邊分別對(duì)應(yīng)于比例(P)、微分(D)和積分(I)環(huán)節(jié)。KP、KD、KI分別為比例增益、微分增益和積分增益，其參數(shù)值確定之后，PID控制器的形式也就確定了。（47）PID控制器在閉環(huán)系統(tǒng)中的工作過程為：誤差信號(hào)e(t)，即被控量期望值r(t)與實(shí)際輸出值y(t)之間的差值，被輸入到PID控制器，控制器計(jì)算出誤差信號(hào)的微分和積分，其輸出為（47）式：該信號(hào)被輸入受控對(duì)象，獲得新的輸出y(t)，此輸出與給定值r(t)比較后得到新的誤差信號(hào)e(t)，再輸入到PID控制器中，重復(fù)上述過程。P、I、D控制作用的特性為：比例控制將減少上升時(shí)間，并減小穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，但不能消除穩(wěn)態(tài)誤差；積分控制可以消除穩(wěn)態(tài)誤差，但可能導(dǎo)致動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程變差；微分控制將增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減少超調(diào)量，改善動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程。三種控制作用對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的影響總結(jié)于表46中。表46 P、I、D控制作用對(duì)閉環(huán)