【正文】 的檔案，方便我們下次再使用。 中原大學(xué)國際貿(mào)易學(xué)系 Chung Yuan Christian University, Taiwan. 第 3 章 回歸模型的檢定 一般初學(xué)者在跑完回歸模型之后，通常會急著去解釋回歸估計的結(jié)果，或者馬上對回歸系數(shù)進(jìn)行檢定，但其實這樣的步驟并不是正確的。因為古典的回歸模型對模型的殘差有一些基本的假設(shè)，在符合這些假設(shè)的前提下，線性回歸模型所估計出來的系數(shù)才用擁有「最佳線性不偏估計式」(BLUE) 的性質(zhì)。簡單地說，若線性回歸模型的殘差不符合特定的假設(shè)，會使我們的統(tǒng)計決策與推論不正確，例如無法拒絕應(yīng)該拒絕的虛無假設(shè)，或者拒絕了不應(yīng)該拒絕的虛無假設(shè)，這些都是我們在例用回歸模型來分析數(shù)據(jù)時，不可不慎之處。以下先介紹常見的的回歸殘差的檢定，后節(jié)再介紹回歸系數(shù)的檢定。 線性回歸殘差的假設(shè) 根據(jù)高斯馬可夫定理 (GaussMarkov Theorem)，若簡單線性回歸殘差符合以下^ ^的假設(shè)，我們使用一般最小平方法來估計 b、b 時，就可以得到具有 BLUE 的性1 2質(zhì)的估計量。換言之，我們應(yīng)該要檢定回歸模型的殘差 (residuals)，看看是否符合以下的性質(zhì)： (1) 殘差期望值為零 (zero mean) : E(u) = 0 2 2(2) 殘差具同質(zhì)變異 (homoskedasticity) : var(u) = σ ，σ 為一固定常數(shù)。 (3) 殘差無自我相關(guān) (nonautocorrelation) : cov(ut, uts) = 0, for s ≠0。 (4) 因變數(shù)與殘差無相關(guān) (orthogonality) : cov(x, u) = 0, for any i。 中原大學(xué)國際貿(mào)易學(xué)系 Chung Yuan Christian University, Taiwan. 楊奕農(nóng) CYCU gretl 入門手冊 25 若想要讓所得到之估計式也將具有常態(tài)分配的性質(zhì)，則應(yīng)該要加上第 5 個假設(shè)： (5) 殘差為常態(tài)性 (normality) 不過，一般來說，只要樣本數(shù)夠大，一般最小平方法所得到估計式之分配，將可漸進(jìn)為常態(tài)分配 (Hill, Griffiths, and Judge, 2001)。所以在進(jìn)行回歸分析的時候，上述第 (5) 個假設(shè)是否成立，在樣本數(shù)多的時候就相對較不重要。 由于在回歸式中有常數(shù)項時，最小平方法 (OLS) 所估計之殘差，都很接近 0，因此通常我們不會特別去檢定 E(u) = 0 是否成立。而因變數(shù)與殘差無相關(guān)之檢定，在文獻(xiàn)中比較少看到，所以以下分別介紹如何檢定殘差是否符合假設(shè) (2)(3)，以及 (5) 的檢定。 殘差同質(zhì)變異之檢定: White 檢定 這一類常見的檢定有兩種，一種是 White 檢定 (又分成只含平方項，以及含交乘項兩種形式)，其基本原理就是在估計完回歸式后，取得回歸之樣本殘差，將之取平方后當(dāng)做應(yīng)變量，然后對常數(shù)項、自變量、和自變量的平方，再跑一次輔助回2歸式 (auxillary regression)，最后將此輔助回歸式之樣本數(shù)乘上 R 可得到 LM 統(tǒng)計量，其服從自由度為 n1 的卡方分配： 2 2T R ~ χ n( )1(注意，n = 輔助回歸式中不含常數(shù)項之待估參數(shù)之?dāng)?shù)目，此例中，n = 2)。下圖中我們示范在 gretl 中如何執(zhí)行 White 只含平方項的異質(zhì)變異檢定。在剛剛所估計簡單回歸的結(jié)果窗口中，點(diǎn)選 [檢定/殘差異質(zhì)性檢定/White 檢定 (含交乘項)]， 中原大學(xué)國際貿(mào)易學(xué)系 Chung Yuan Christian University, Taiwan. 26 gretl 入門手冊 楊奕農(nóng) CYCU 即可看到殘差異質(zhì)性的檢定結(jié)果如下。其中應(yīng)變量 uhat^2，即代表回歸殘差取平方 2(在 gretl 中殘差被稱之為 uhat，就是 u^ 的意思)，而 White 檢定所得到的 TR = ，其對應(yīng)之 p 值為 ，所以不管顯著水平是 1%、5%、10% 的情況下，都無法拒絕 White 類型的「無異質(zhì)變異」之虛無假設(shè)。 中原大學(xué)國際貿(mào)易學(xué)系 Chung Yuan Christian University, Taiwan. 楊奕農(nóng) CYCU gretl 入門手冊 27 殘差同質(zhì)變異之檢定: ARCH LM 檢定 如果你的樣本數(shù)據(jù)是時間序列數(shù)據(jù)的話，通常會再進(jìn)行 ARCH 類型的異質(zhì)變異檢定。如果樣本數(shù)據(jù)不是時間序列數(shù)據(jù)，則不需要進(jìn)行這種檢定。 要執(zhí)行 ARCH LM 檢定，請在估計結(jié)果窗口中，點(diǎn)選 [檢定/ARCH 異質(zhì)變異檢定]，gretl 會要求你輸入欲檢定之落后期數(shù) (Lag order for ARCH test) 如下圖所示 (此例落后期輸入為 8)， 按確定后即可得到 ARCH LM 檢定的結(jié)果如下圖。初步來看，我們會認(rèn)為落后期填入 8 時，LM = ，其 p 值，P(ChiSquare(8) ) = ，據(jù)此得到無法拒絕落后 18 期都沒有自我相關(guān)異質(zhì)變異之結(jié)果。但你應(yīng)該可以發(fā)現(xiàn)，下圖中中原大學(xué)國際貿(mào)易學(xué)系 Chung Yuan Christian University, Taiwan. 28 gretl 入門手冊 楊奕農(nóng) CYCU 的落后 1 期之系數(shù)，alpha(1) 的 pvalue 有打了一個 * 號，這表示此回歸模型在落后 1 期時可能有 ARCH 異質(zhì)變異存在。 所以我們應(yīng)該重復(fù)上述的檢定步驟，但是這次落后期數(shù)填入 1，檢定結(jié)果如下： 果然得到的結(jié)果，LM = ，其 pvalue ，因此意味著若顯著水平選擇 5%時，統(tǒng)計推論反倒是應(yīng)該是拒絕「無 ARCH 型自我相關(guān)異質(zhì)變異」之虛無假設(shè)。 中原大學(xué)國際貿(mào)易學(xué)系 Chung Yuan Christian University, Taiwan. 楊奕農(nóng) CYCU gretl 入門手冊 29 2另外還有一種常見的自我相關(guān)異質(zhì)變異的檢定是 LjungBox 的 Q 檢定。要進(jìn)行這一種檢定，必需先將回歸模型之殘差取平方，然后用 LjungBox 的 Q 檢定來得到檢定結(jié)果。我們先回到回歸結(jié)果窗口，點(diǎn)選 [儲存/殘差平方]，然后 gretl 會要求你輸入要將殘差平方儲存成什么變量名稱，通常我們就用 gretl 給的預(yù)設(shè)名稱即可。 按確定之后，回到主工作文件窗口來看，你應(yīng)該會看到窗口中多了一個 usq1 的變量 (你看到的變量名稱可能和我的不一樣，不用覺得奇怪，你只要記住是不是剛剛在變數(shù)屬性中填入的名稱即可)，如下圖。 中原大學(xué)國際貿(mào)易學(xué)系 Chung Yuan Christian University, Taiwan. 30 gretl 入門手冊 楊奕農(nóng) CYCU 點(diǎn) usq1，再按鼠標(biāo)右鍵 接著用點(diǎn)選 usq1 這個變量，再按鼠標(biāo)右鍵，選 [自我相關(guān)圖]，在隨后出現(xiàn)的對話窗口中的 maximum lag 項中填入你想檢定的落后期數(shù) (此例為 8)，按確定之后會出現(xiàn)兩個窗口，一個是顯示自我相關(guān)函數(shù) (ACF) 和 偏自我相關(guān)函數(shù) (PACF) 2的圖；LjungBox 的 檢定則是在另一個窗口如下： 中原大學(xué)國際貿(mào)易學(xué)系 Chung Yuan Christian University, Taiwan. 楊奕農(nóng) CYCU gretl 入門手冊 31 我們可以發(fā)現(xiàn)，在上一個窗口所顯示的結(jié)果，LAG 一欄表示落后期數(shù)，Qstat. 一2欄下方所顯示的數(shù)值才是我們要注意看的 LjungBox Q 值，通常我們會依落后期2 2 2數(shù)，將之分別表示為 Q (1)= 、Q (2)= 、…、Q (8)= ，而從各個2 2Q 值所對應(yīng)的 pvalue 來看，特別是 Q (1) 的 pvalue= ，若用 5% 的顯著水平來推論，則應(yīng)該得到無 ARCH 自我相關(guān)異質(zhì)變異的結(jié)論 (注意，這個結(jié)果和先前示范的 ARCH LM 檢定結(jié)果并不一致，這是常見的情況，勿需大驚小怪)。 殘差無自我相關(guān)之檢定 要進(jìn)行殘差無自我相關(guān)之檢定，要回到回歸結(jié)果窗口，在選單上點(diǎn)選 [檢定/殘差自我相關(guān)檢定]，然后在隨后出現(xiàn)的對話窗口中的「欲檢定之落后期數(shù)」 項中填入你想檢定的落后期數(shù) (此例仍為 8)， 中原大學(xué)國際貿(mào)易學(xué)系 Chung Yuan Christian University, Taiwan. 32 gretl 入門手冊 楊奕農(nóng) CYCU 按確定之后會出現(xiàn)以下的檢定結(jié)果窗口。在窗口中出現(xiàn)的自我相關(guān)檢定其實有 32種，分別為聯(lián)合檢定 F 統(tǒng)計量：LMF=、前面介紹過的 LM 檢定：TR = 、以及 LjungBox 的 Q 檢定：Q(8)= ；而其對應(yīng)的 pvalue 分別為 、和 。這些 pvlaue 值都很小，顯示模型的殘差顯著具有自我相關(guān)的現(xiàn)象。 殘差常態(tài)性之檢定 所謂殘差常態(tài)性檢定，就是檢定回歸模型的常態(tài)是否符合常態(tài)分配的假設(shè)。要進(jìn)行常態(tài)性檢定，同樣地回到回歸結(jié)果窗口，在選單上點(diǎn)選 [檢定/殘差常態(tài)性檢定]， 中原大學(xué)國際貿(mào)易學(xué)系 Chung Yuan Christian University, Taiwan. 楊奕農(nóng) CYCU gretl 入門手冊 33 檢定結(jié)果會出現(xiàn)兩個窗口，以下僅列出其中一個如下圖所示： 上圖用紅線所框起來的部份，Chisquared(2)= 是 DoornikHansen 檢定的統(tǒng)計值，從其對應(yīng)的 pvlaue = 來看，應(yīng)該的推論應(yīng)該是『無法拒絕「殘差為常態(tài)分配」的虛無假設(shè)』。 中原大學(xué)國際貿(mào)易學(xué)系 Chung Yuan Christian University, Taiwan. 34 gretl 入門手冊 楊奕農(nóng) CYCU 除了 DoornikHansen 常態(tài)性檢定之外，gretl 也提供了其它常態(tài)性檢定，例如很常見的 JarqueBera 常態(tài)性檢定。要得到其它常態(tài)性檢定的結(jié)果，必需先將回歸模型之殘差存成一個變量，然后再進(jìn)行常態(tài)性檢定。我們先回到回歸結(jié)果窗口，點(diǎn)選 [儲存/殘差]，然后 gretl 會要求你輸入要將殘差存成什么變量名稱，通常我們就用 gretl 給的預(yù)設(shè)名稱即可 (此例為填入 uhat2)， 最后再按確定。顯示出來的檢定結(jié)果如下，其中 JB 值 (JarqueBera 統(tǒng)計量的簡稱) = ，其對應(yīng)之 pvalue = ，所以結(jié)果和 DoornikHansen 常態(tài)性檢定相同，推論都是『無法拒絕「殘差為常態(tài)分配」的虛無假設(shè)』。 中原大學(xué)國際貿(mào)易學(xué)系 Chung Yuan Christian University, Taiwan. 楊奕農(nóng) CYCU gretl 入門手冊 35 由以上 節(jié)對回歸殘差的檢定，可知對于第 2 章所估計以下這個回歸模型 Ct = b1 + b2 Yt 其殘差檢定，無法拒絕 White 類型的異質(zhì)變異虛無假設(shè)，簡單地說，也就「沒有 White 類型的異質(zhì)變異」；可是 ARCHLM 檢定卻指出在 5%的顯著水平之下，必需拒絕「沒有 ARCH 類型的異質(zhì)變異」之虛無假設(shè)；換言之，就是有 ARCH 型之異質(zhì)變異。 另外在殘差的自我相關(guān)上，LM 檢定和 Q 檢定都一致地拒絕「無自我相關(guān)」的虛無假設(shè)，這指出回歸殘差仍有自我相關(guān)的問題有待處理。至于在殘差常態(tài)性的檢定上，DoornikHansen 常態(tài)性檢定和 JarqueBera 常態(tài)性檢定 (還有其它的檢定) 的結(jié)果是，我們沒有證據(jù)指出殘差不符合常態(tài)分配的虛無假設(shè)。 綜合來說，我們所示范的這個回歸模型之殘差，并不符合高斯馬可夫定理對線性回歸殘差假設(shè)的要求，所以沒有再進(jìn)一步修正回歸模型之前，其實是不適合對回歸系進(jìn)行檢定。但由于如何修正回歸模型的計量方法，已超過本手冊的介紹范圍，無法在此深入說明，大家可自行參考計量的書籍。 下節(jié)我們就直接略過回歸模型的修正討論，而「假裝」以上所有對回歸殘差的假設(shè)都符合高斯馬可夫定理對線性回歸殘差假設(shè)的要求，徑行介紹在 gretl 中如何檢定回歸系數(shù)。 回歸系數(shù)的檢定 如果我們想對回歸系數(shù)進(jìn)行檢定，當(dāng)然必需先建立系數(shù)的虛無假設(shè)。例如，我們的虛無假設(shè)是 H0: b2 = 0 中原大學(xué)國際貿(mào)易學(xué)系 Chung Yuan Christian University, Taiwan. 36 gretl 入門手冊 楊奕農(nóng) CYCU 這樣的虛無假設(shè)檢定已經(jīng)不需要再任何特別的步驟了，因為之前跑完回歸的結(jié)果，就已經(jīng)有足夠的信息讓我們來進(jìn)行判斷。 回到第 2 章的回歸模型結(jié)果 (再次顯示如下以方便參考)，注意看 Yt 的系數(shù)是 ，而跟在后面的 pvalue= ***，這告訴我們 p 值很小很小，