小二乘法ppt課件(已改無(wú)錯(cuò)字)
2023-05-30 01:03:31 本頁(yè)面
【正文】 是一致的，算術(shù)平均值原理可以看做是最小二乘法原理的特例。 第三節(jié) 精度估計(jì) 對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)最小二乘法處理的最終結(jié)果，不僅要給出待求量的最可信賴的估計(jì)量，而且還要確定其可信賴程度，即應(yīng)給出所得估計(jì)量的精度。 一、測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì) 為了確定最小二乘估計(jì)量 X1， X2， … ， Xt的精度，首先需要給出直接測(cè)量所得測(cè)量數(shù)據(jù)的精度。測(cè)量數(shù)據(jù)的精度也以標(biāo)準(zhǔn)差 σ來(lái)表示。因?yàn)闊o(wú)法求得 σ的真值，因而只能依據(jù)有限次的測(cè)量結(jié)果給出 σ的估計(jì)值 ，所謂給出精度估計(jì)，實(shí)際上是求出估計(jì)值 。 （一）等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì) 設(shè)對(duì)包含 t個(gè)未知量的 n個(gè)線性參數(shù)方程組（5－ 7）進(jìn)行 n次獨(dú)立的等精度測(cè)量，獲得了 n個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù) l1， l2， … ， ln。其相應(yīng)的測(cè)量誤差分別為 δ1， δ2， … ， δn，它們是互不相關(guān)的隨機(jī)誤差。因?yàn)橐话闱闆r下真誤差 δ1， δ2， … ，δn是未知的，只能由殘余誤差 νl， ν2， … ， νn給出 σ的估計(jì)量。 前面已證明 是自由度為（ n－ t）的 χ2變量。根據(jù) χ2變量的性質(zhì)，有（ 539）取 （ 540）可以證明它是 σ2的無(wú)偏估計(jì)量 因?yàn)榱?xí)慣上，式 540的這個(gè)估計(jì)量也寫成 σ2，即 （ 541）因而測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量為（ 543）例 5． 3? 試求例 5． 1中銅棒長(zhǎng)度的測(cè)量精度。已知?dú)堄嗾`差方程為將 ti， li，值代人上式，可得殘余誤差為（二）不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì) 不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)與等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)相似，只是公式中的殘余誤差平方和變?yōu)榧訖?quán)的殘余誤差平方和，測(cè)量數(shù)據(jù)的單位權(quán)方差的無(wú)偏估計(jì)為（ 544） 通常習(xí)慣寫成（ 545） 測(cè)量數(shù)據(jù)的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差為 （ 546） 二、最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì) 最小二乘法所確定的估計(jì)量 X1， X2， … ， Xt的精度取決于測(cè)量數(shù)據(jù)的精度和線性方程組所給出的函數(shù)關(guān)系。對(duì)給定的線性方程組，若已知測(cè)量數(shù)據(jù) l1， l2， … ， ln的精度，就可求得最小二乘估計(jì)量的精度。 下面首先討論等精度測(cè)量時(shí)最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)。 設(shè)有正規(guī)方程 現(xiàn)要給出由此方程所確定的估計(jì)量 xl， x2， … ， xt的精度。為此，利用不定乘數(shù)法求出 xl， x2， … ， xt的表達(dá)式，然后再找出估計(jì)量 xl， x2， … ， xt的精度與測(cè)量數(shù)據(jù) l1， l2， … ， ln精度的關(guān)系，即可得到估計(jì)量精度估計(jì)的表達(dá)式。 設(shè) d11， dl2， … ， dlt； d2l， d22， … ， d2t： … ； dtl， dt2， … ， dtt分別為下列各方程組的解： 則各估計(jì)量 xl， x2， … ， xt的方差為（ 552） 相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為（ 553） 式中， σ為測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。不等精度測(cè)量的情況與此類似。 矩陣形式的結(jié)果表達(dá)利用矩陣的形式可以更方便地獲得上述結(jié)果。設(shè)有協(xié)方差矩陣 (nn階矩陣 )式中等精度獨(dú)立測(cè)量若 l1， l2， … ， ln為等精度獨(dú)立測(cè)量的結(jié)果，即且相關(guān)系數(shù) ρij = 0，即 Dlij = 0協(xié)方差矩陣 于是估計(jì)量的協(xié)方差為 式中各元素即為上述的不定乘數(shù)，可由矩陣 (ATA)求逆而得，或由式 (5—51) 求得。 各估計(jì)量 xl， x2， … ， xt的方差為不等精度測(cè)量同樣，也可得不等精度測(cè)量的協(xié)方差矩陣 式中 σ—— 單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差。矩陣式中各元素即為不定乘數(shù)，可由 (ATPA
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