概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第3章課后題答案(已改無(wú)錯(cuò)字)
2023-02-14 17:04:05 本頁(yè)面
【正文】 165。 le2lxyeydy=1(x+1)2 在x0時(shí)，px(x)=0。 設(shè)二維隨機(jī)變量(x,h)的聯(lián)合分布密度為236。1+xy239。p(x,y)=237。4239。238。0|x|1,|y|1其它 證明：x與h不獨(dú)立，但x與h獨(dú)立。證：由于p(x,y)185。px(x)ph(y)，所以x與h不獨(dú)立。由于236。1239。x11+tyx)=237。242。(242。dy)dt=x14239。0238。236。1239。y11+txy)=237。242。(242。dx)dt=y14239。0238。236。1239。x239。239。y)=237。y239。xy239。239。238。022x1x0x163。1 x163。0y1y0y163。1 y163。0x,y1P(x2P(h20x163。1,y1x1,0y163。1 0x,y163。1其它P(x2x,h2所以對(duì)一切的x,y，都有P(x2x,h2y)=P(x2x)P(h2故x2與h2相互獨(dú)立。 y)， 設(shè)隨機(jī)變量x具有密度函數(shù)236。2239。cosp(x)=237。p239。238。02xp2163。x163。其它p2求Ex,Dx。p解：Ex=242。p2x2p=cos2xdx=0Dx=Ex2p242。p2x22pcos2xdx=p21212 設(shè)隨機(jī)變量x具有密度函數(shù)236。x239。p(x)=237。2x239。0238。0x163。11x2其它求Ex及Dx。 解 Ex= Ex2242。=1 xdx+132242。21x(2x)dx=1，2242。 xdx+2242。12x(2x)dx=7/6，2Dx=Ex(Ex)=1/6。 設(shè)隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為236。0239。F(x)=237。a+barcsinx239。1238。x11163。x1x179。1試確定常數(shù)(a,b)，并求Ex與Dx。 解：由分布函數(shù)的左連續(xù)性，236。a+barcsin1=1,237。a+barcsin0=0,238。故a=1/2,b=1/p。Ex=242。11xd(12+1parcsinx) =242。1x1px2dx=0，Dx=Ex=242。1x1px2dx=2p242。1xdxx220=2p242。p/20sintdt=1/2。 2 隨機(jī)變量x具有密度函數(shù)236。Axaex/f,x0p(x)=237。 x163。0238。0,其中a1,b0,求常數(shù)A,Ex及Dx。解：1=242。165。0Axeax/bdx=A242。b0ba+1yeaydy=Aba+1T(a+1)，故A=1ba+1T(a+1)。Ex= Ex=242。242。165。0165。AxAxa+1eex/bdx=Abdx=Aba+2T(a+2)=(a+1)b, a+2x/ba+30T(a+3)=(a+1)(a+2)b2Dx=Ex2(Ex)=(a+1)b 22 設(shè)隨機(jī)變量x服從(1112,2)上的均勻分布，求h=sinpx的數(shù)學(xué)期望與方差。 解：Eh=242。212sinpxdx=0,1Dh=Eh2=242。212sinpxdx=1/2。 2 地下鐵道列車(chē)的運(yùn)行間隔時(shí)間為五分鐘，一個(gè)旅客在任意時(shí)刻進(jìn)入月臺(tái)，求候車(chē)時(shí)間的數(shù)學(xué)期望與方差。解：設(shè)旅客候車(chē)時(shí)間為x（秒），則x服從[0,300]上的均勻分布，則Ex=Ex2242。 30013001 xdx=150（秒），22=242。300300xdx=30000(秒），2Dx=30000150。 =7500(秒）2 設(shè)x1,x2,Kxn為正的且獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量（分布為連續(xù)型或離散型），證明：對(duì)任意的k(1163。k163。n)，有230。x1+L+xk246。k247。E231。231。x+L+x247。=n。 n248。232。1nn證：xj/229。xi同分布(j=1,L,n)，又xj/229。xii=1i=1n233。249。163。1，所以E234。xj/229。xi都存在且相等i=1235。nn233。n249。233。249。(j=1,L,n)。由于1=E234。229。xi/229。xi=nE234。x1/229。xi，所以i=1i=1235。i=1235。n230。x1+L+xk246。233。249。k247。=kE234。x1/229。xi=。 E231。231。x+L+x247。i=1235。nn248。232。1 設(shè)x是非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量，證明：對(duì)x0，有P(xx)179。1Exx。證：P(xx)=242。x px(t)=1242。165。xpx(t)dt1179。1=1242。165。txxpx(t)dt179。1242。x165。 tpx(t)dtExx。Exr 若對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量x，有Er165。(r0)，證明有P(xe)163。rrer。證：P(xe)=163。242。exepx(x)dx163。165。r242。xxeepx(x)dxr1r242。165。xpx(x)=Ex/e。r 已知隨機(jī)變量x與h的相關(guān)系數(shù)為r，求x1=ax+b與h1=ch+d的相關(guān)系數(shù)，其中a,b,c,d均為常數(shù)，a,c皆不為零。解：rxh=1E[(x1Ex1)(h1Eh1)]E(x1Ex2)1accov(x,h)aDxcDh1E(h1Eh1)2 =236。rac0=r=237。rac0ac238。ac,x2,L,xn中任意兩個(gè)的相關(guān)系數(shù)都是r，試證：r179。證：0163。E=163。1n1。[229。ni=1ni=1ni=1(xiExi)]2229。229。nDxi+2rDxi=1+r229。1163。ij163。nDx1Dxj 229。(Dx!163。ij163。ni+Dxj)=229。i=1Dx1[1+r(n1)]，1n1故1+r(n1)179。0,r179。（設(shè)x,h都是連續(xù)型或離散型隨機(jī)變量）： （1）若x與h都有p179。1階矩，則有[E+hp]1/p163。[Ex163。2p1p]1/p+[E+E’p]1/p E+hp(Expp)(2)若x與h都具有p0階矩，則Ex+hp163。2(Epp+Epp)證：（1）p179。1時(shí)，[Ex+h證明略。p]1/p163。[Exp]1/p+[E]1/p即所謂的明可夫斯基不等式，在p179。1時(shí)，x是x的下凸函數(shù)，故x+y2pp163。|x|p+|y|2p 即|x+y|163。2pp1(|x|p+|y|p故Ex+hp163。2p1(Exp+Ep （2）在p0時(shí)，|x+y|p163。(|x|+|y|)p163。|2x|p+|2y|p=2p(|x|p+|y|p)，故Ex+hp163。2(Epp+Ep) 設(shè)二維隨機(jī)變量(x,h)的聯(lián)合分布密度為236。(n1)(n2)239。p(x,y)=237。(1+x+y)n239。0238。x0,y0其它 其中n2。求x=1條件下h的條件分布密度。165。解：px(x)=242。(n1)(n2)(1+x+y)n dy=n2(1+x)n1,x0。故p|x236。2n1(n1)(2+y)n(y|1)=237。238。0y0其它 設(shè)隨機(jī)變量x服從N(m,t2)分布，隨機(jī)變量h在x=x時(shí)的條件分布為N(x,s2)，求h的分布及x關(guān)于h的條件分布。2236。(xm)2(yx)252。(y|x)=exp237。253。 222pst2t2s238。254。解：p(x,y)=px(x)ph|xph(y)=1242。165。165。2236。(ym)252。165。p(x,y)dx=exp237。exp22253。242。165。2pts238。2(s+t)254。12236。s2+t2233。ms+yt234。x237。2222s+t235。238。2ts2249。252。253。dx254。=2p(t12+s22236。(ym)252。exp237。， 22253。2(s+t))238。254。故 h~N(m,s2+t).px|h(x|y)2=p(x,y)ph(y)=2+s222236。239。(s+t)(2
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