【正文】 02 ?n .???????????? 10 分 設(shè)平面 ADH 與平面 ADE 所成銳二面角的大小為 ? 則5551c o s2121 ??????nnnn? .?????????????? ? 11分 所以平面 ABH與平面 ADE所成銳二面角的余弦值為 55 ????? ? 12 分 解法三 :過點 A 作 DHAA //39。39。 且 DHAA ?39。39。 至點 39。A ,延長 EB 至點 39。E ,使 39。39。39。 AAEE? . 連結(jié) HEHAEA 39。,39。39。,39。39。39。 ,則 HEAAED 39。39。39。? 為三棱柱 . 延長 ABEA ,39。39。39。 交于點 39。A ,連結(jié) 39。HA 由三棱柱性質(zhì) ,易知 DEHE//39。 ,則 ?39。HE 平面 39。39。EBA . 過點 B 作 39。39。EABM? 于點 M , 過 M 作 HAMN 39。? 于點 N . ?BM? 平面 39。39。EBA , BMHE ?? 39。 , 39。39。 EABM ?? , ??BM 平面 HEA 39。39。 ,即 HABM 39。? , MNBM? . HAMN 39。?? , ?? HA39。 平面 BMN , 故 BNM? 為平面 HAA 39。39。39。 與平面 AHA39。 所成銳二面角的一個平面角 , 即為平面 ADE 與平面 ABH 所成銳二面角的一個平面角 . ?????????? 8分 易得 39。39。39。39。 EABEBA ?? ,即 39。39。BEA? 為正三角形 . 39。39。 EABM ?? , 2139。,23 ??? MABM . 39。39。39。 EAHE ?? , 339。tan ??? HA E ,則 ?6039。??HAE ,故 4139。,43 ?? NAMN . NABN 39。?? , 41539。39。 22 ???? NABABN .故 55c os ??? BNMNB NM ,?? 11分 即平面 ADE 與平面 ABH 所成銳二面角的余弦值為 55 .??? 12分 【解析】（ 1）取線段 AB 中點 M ， 連接 EM ， A B C D E F 19 題圖 在正方體 11ABBA 中，1 31, 2AM A E??， 在 Rt EAM? 和 1Rt FAE? 中，1123AE AMA F A E??， 又1 2E A M F A E ?? ? ? ?， ∴ 1Rt EAM Rt FA E??～ ， ∴ 1AEM A FE? ? ? ， 從而1 1 1 2A E M A E F A F E A E F ?? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 2FEM ???， 即 EF EM? ． 又 ,EF C E M E C E E??， ∴ EF? 平面 CEM ， ∵ CM? 平面 CEM ， ∴ CM EF? ， 在等腰三角形 CAB? 中， CM AB? ， 又 AB 與 EF 相交，知 CM? 平面 1AB ， ∵ CM? 平面 ABC ， ∴ 平面 11ABBA? 平面 ABC ； （ 2）在等腰三角形 CAB? 中，由 ,2CA CB AB?? 知 2CA CB??， 且 1CM? ， 記線段 11AB 中點為 N ， 連接 MN ， 由（ 1）知， ,MC MA MN 兩兩互相垂直， 以 M 為坐標(biāo)原點，分別以 ,MC MA MN 為正交基底建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 Oxyz ，則111( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , ) , ( 0 , , 2 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 1 , 0 , 2 )24C E F A C， 設(shè)平面 CEF 的法向量為 ( , , )x y z?n ， 則 ,CE EF??nn， 即1 02 2 023 3 2042x y z x y zyzyz? ? ? ? ??? ? ??? ?????? ? ? ???， 取 2z? ， 則 4, 5yx??， 從而得到平面 CEF 的一個法向量 (5,4,2)?n ． 1 (1, 1, 2)AC ?? ， 記直線 1AC 與平面 CEF 所成角為 ? ， 則 11 1|| | 5 4 4 | 3 0s in | c o s , | 18| | | | 4 5 6ACAC AC? ? ??? ? ? ? ? ?? ?nn n． 故直線 1AC 與平面 CEF 所成角的正弦值為 3018 ． 方法一： （ Ⅰ ）證明： ∵ AE⊥ 平面 ABC， BF? 平面 ABC． ∴ AE⊥ BF， ∵ BF⊥ AC， AE AC A? ， ∴ BF⊥ 平面 AEC， DF? 平面 AEC， ∴ BF⊥ DF， …………………………………………… ..… 2 分 x yzMEFC 1B 1A 1BCA A B C D E F y x z EABCDFG∵ 3 90ABC BAC? ? ? ?，又 44AC CD??， ∴ 30BAC??． 1CD? ． ∴ 1si n 3 0 4 22B C A C? ? ? ?， 又 BF⊥ AC． ∴ 1c o s 6 0 2 12C F B C C D? ? ? ? ?， 又 CD∥ AE， AE⊥ 平面 ABC， ∴ CD⊥ 平面 ABC． 又 AC? 平面 ABC． ∴ CD⊥ AC， ∴ 45DFC??． 又 3AF AC C F AE? ? ? ?， ∴ 45EFA??， ∴ 90EFD??，即 DF⊥ EF． ……………………………..…4 分 又 BF EF F? ， BF、 EF? 平面 BEF． ∴ DF⊥ 平面 BEF， BE? 平面 BEF． ∴ DF⊥ BE； ………………………………………………………6 分 （ Ⅱ ） 如圖，過點 F 作 FG DE? 于點 G ，連接 BG ． 由 （ Ⅰ ） 知 BF⊥ 平面 AEC，又 DE? 平面 AEC， (所以 BF DE? ． 又 BF FG F? ， BF 、 FG? 平面 BFG ， 所以 DE? 平面 BFG ．又 BG? 平面 BFG ， ) 所以 BG FG? ． (三垂線定理 ) 故 BGF? 二面角 B DE F??的平面角 ． ………………… 8 分 在 Rt EAF? 中， 2 2 2 23 3 3 2E F E A A F? ? ? ? ?． 在 Rt FCD? 中， 2 2 2 21 1 2F D F C CD? ? ? ? ?． ………… .…… 9 分 在 Rt EFD? 中， 2 2 2 2( 3 2 ) ( 2 ) 2 5E D E F F D? ? ? ? ?． 由 EF FD FG ED? ? ?得 3 2 2 3 5525E F F DFG ED??? ? ?． ……… 10 分 在 Rt BFC? 中， 2 2 2 22 1 3B F B C F C? ? ? ? ?． 在 Rt BFG? 中， 22 9 2 3 0355B G B F F G? ? ? ? ?． …………… 11 分 所以3565c o s42 3 05FGBFGBG? ? ? ?． ∴ 二面角 B DE F??的平面角的余弦值為 46 . …….……… ..………12 分 方法二： 過 F 作 //Fz AE ，由 AE⊥ 平面 ABC 可知 Fz⊥ 平面 ABC， 又 AC 、 BF? 平面 ABC，于是 Fz AC? ， Fz BF? ， 又 BF⊥ AC， ∴ BF、 AC、 Fz 兩兩垂直． 以 F 為原點， FA、 FB、 Fz 依次為 x、 y、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）． …7 分 由 (Ⅰ )可得 3ta n 3 0 3 33B F A F? ? ? ? ?． 于是 (0, 0, 0)F ， (0 , 3 , 0)B ， ( 1, 0,1)D ? ， (3,0,3)E ， ( 1 , 3 , 1 )BD ? ? ? ， ( 3 , 3 , 3 )BE ?? ， A B C D E F y x z ( 0 , 3 , 0 )FB ? ． 由 (Ⅰ )知 FB 是平面 DEF 的一個法向量． 設(shè) ( , , )n x y z? 是平面 BDE 的一個法向量，則 ????????????????，033303zyxBEnzyxBDn 取 2z? ，得到 ( 1 , 3 , 2 )n ?? ． ………………………………10 分 ∴ 36c o s4| | | | 2 2 3n F Bn F B n F B?? ? ? ? ?? ?， …………………11 分 又二面角 B DE F??是銳二面角． ∴ 二面角 B DE F??的平面角的余弦值為 46 . …….……………12 分 方法二： (Ⅰ )證明：過 F 作 //Fz AE ，由 AE⊥ 平面 ABC 可知 Fz⊥ 平面 ABC， 又 AC 、 BF? 平面 ABC，于是 Fz AC? ， Fz BF? ， 又 BF⊥ AC， ∴ BF、 AC、 Fz 兩兩垂直． 以 F 為原點， FA、 FB、 Fz 依次為 x、 y、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）． …1 分 ∵ 3 90AB